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1、控制系统的分析与设计报告姓名:专业班级:任课教师:年 月曰单级倒立摆的PID控制一、单级倒立摆的建模倒立摆系统的控制问题一直是控制界研究的一个典型问题。控制 的目标是通过给小车的底座施加一个力(控制量)，是小车停留在一 个预定的位置，并且能让杆不倒下，即不超过一个预先定义好的垂直 偏离角度范围。图1为一级倒立摆系统示意图，小车质量为摆的 质量为相，小车的位置为工,摆的角度为8。设摆杆偏离垂直线的角度为同时规定摆杆重心的坐标为 G(Xgg),那么有：XG = x+lsin0, yG = I cos 0 o根据牛顿定律，建立水平 和垂直运动状态方程。摆杆围绕其重心的转动运动可以用力矩方程来 描述：
2、10 = V/sin-H cos 0式中，1为摆杆围绕其重心的转动惯量。摆杆重心的水平运动由下式描述:d2m(x + /sin &) = H摆杆重心的垂直运动由下式描述:d2m-Icos 3 = V - mgdt小车的水平运动由下式描述:d2dt2假设。很小，sin66,cos8 = l,那么以上各式变为:I0 = VIO-HI m(x + l0) = HO = V - mg mx = u H由式和式得:(5) (M+ m)x + mid u由式和式得:(1+ mF + mix = mg 10(6)由式(5)和式(6)得单级倒立摆方程:(8)刀1 +0 +-a(M+m)I+Mml2式中，I=
3、mI?9 l = -L122控制指标有4个，即单级倒立摆的摆角8,摆速心小车位置X和小车速度元，将倒立摆的运动方程转化为状态方程的形式。令x=*x(2) = 8, x(3) = x, x(4) = x 那么式和式可表示为状态方程式:x = Ax+Bu式中，A =式中，A =t2 = t0t210000 00 00 10 0t3 = mlt30t4m(m+M)g/t =7,(M+m)+MmZ2I + ml2(M+m)/ + Mml2 (M+m)I+Mml2二、单级倒立摆控制对每个控制目标都采取PD控制方式，控制器为:ui(k) = Kpiei(攵)+ Kdide%(10)式中，e仆)和为控制指标
4、而外的误差和误差变化率：4u(k) = iii(k)(11)(0) = 0, 8(0) = 0, %(0) = 0, *0) = 0,其中，摆 动角度值应转变为弧度值。取S = l,使用PID控制。用于电机控制方向与摆杆的摆动角度方 向相反，故控制器参数选负数。使用PID时倒立摆的响应结果及控制 器输出如图2和图3所示，可见，使用PID控制可实现单级倒立摆的 控制，但PID控制器的参数较难选取。bo Q 远|6uv - -.2 . .，I II ncO 5_ 101520vQ 1 -0 5! -.0：5101520time(s)图7-60采用LQR倒立摆响应结果(s=2)图7.61 LQR控制器的输出四、结论由仿真结果可以看出，采用皿r控制方式可以很好的实现对单级倒立摆的最优控制。