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1、精品_精品资料_高观点下的几何学练习题参考答案一一、填空题.1公理法的三个基本问题是相容性问题 、独立性问题和 完备性问题.2公理法的结构是原始概念的列举、定义的表达、 公理的表达和定理的表达和证明3仿射变换把矩形变成平行四边形4仿射变换把平行线变成平行线5仿射变换把正三角形变成三角形.二、简答题.1. 试给一个罗氏几何的数学模型.答：罗氏几何的 Cayley-F.kLein模型在欧氏平面上任取一个圆,把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”.罗氏平面几何的原始概念说明成：罗氏点：圆内的点.罗氏直线：圆内的开弦两个端点除外,它们可称为无穷远点.结合关系：圆内原先的点和线的结合关系.介于关系：
2、圆内弦上三点的介于关系.运动关系：欧氏平面上,将圆K 变成自身的射影变换.罗氏平行公理在罗氏平面上通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交.2. 试给一个黎曼几何的数学模型答：黎曼几何的 F.KLein 模型黎曼几何的原始概念说明成：黎氏点：欧氏球面上的点,但把每对对径点看成一点. 黎氏直线：球面上的大圆.黎氏平面：改造后的球面.黎氏点与黎氏直线的基本关系：(1) 通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线.(2) 通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线.(3) 每条黎氏直线上至少有两个黎氏点.至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上.黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交.3. 简述公理法的
3、基本思想.答：假设干个原始概念包括元素和关系、定义和公理一起叫做一个公理体系,构成了一种几何的基础.全部元素的集合构成了这种几何的空间.在这个公理体系的基础上,每个概念都必需给出定义,每个命题都必需给出证明, 原始概念、 定义、公理和定理依据规律关系有次序的排列而构成命题系统规律结构,这就是公理法思想.4. 简述公理系统的独立性答：假如一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明,即不时其余公理的推论,就称这跳公理在公理系统中是独立的.假如一个公理系统中的没一条工理都是独立的,就称这个公理系统是独立的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 试着陈述非欧几何是怎样产生的？答：众所周
4、知,欧几里得几何原本是演绎体系的里程碑,虽然它不尽完善,但它的确是建立科学演绎体系的最早的代表作,它一经问世,就引起了学术界的广泛关注,欧几里得之后的数学家们在对几何原本的讨论过程发觉,它的第五公设的内容不象前四条公设表达的那么简洁,同时它又是在其次十九条命题之后才显现的,于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理,而是一条命题了？与是他们试图去论证第五公设的独立性,在这种论证过程中,罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无冲突的科学演绎体系,即罗氏及何与黎曼几何,这两种几何与欧氏几何有共同的肯定几何公理体系,只是平行公理不同.6. 简述公理系统的完备性.答：假如公理系统的全部
5、模型都是同构的,就称这个公理系统是完备的,或称其具有完备性.7. 简述公理系统的相容性.答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的全部构成要素是无冲突的.任何一个公理系统都要满意无冲突性.证明公理系统的相容性常用的方法是模型法.三、挑选题.1. 三角形内角和等于180 度与 AA欧氏平行公理等价B罗氏平行公理等价C椭圆几何平行公设等价D不可判定2. 欧氏几何与非欧几何的本质区分为AA平行公设不同B结合公理相同C肯定公设不同D结合公理不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设点A, B,C 共线,且在仿射变换下分别变成A ,B , C ,就A , B, C 三点 A可编辑资料 -
6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 共线B三角形顶点C可能不共线D可能重合4. 正方形在仿射变换下变成BA. 正方形B平行四边形C菱形D矩形5. 正方形的以下性质中哪些是仿射的1, 41对边平行.2四角相等. 3四边相等. 4对角线相互平分.5对角线相互垂直. 6角被对角线平分. 7对角线相等. 8面积6在仿射对应下,哪些量不变？C , DA. 长度B角度C单比D交比四、运算与证明题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 求出将点 3,1 变成点 1,3 的绕原点的旋转变换,再将所得的变换用于抛物线y2x8y180 上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑
7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设所求的旋转变换为x y x cos x siny sin y cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就于是所求的旋转变换为2x yy x即 xy yx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将此变换用于所给的抛物线得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 28x y 180 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 试确定仿射变换,使y 轴、 x 轴的象分别为直线解：所求变换的公式为xy10和 xy10 ,且点 1,1 的象为原点.可编辑资料 -
8、- - 欢迎下载精品_精品资料_x y就 x0 变成直线1x 1 x2 x 1 y 1 y 12 y210其中01122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但由题设 x所以0 变成 xy 10 可知, 1x 1 y10 与 x y 10 表示同始终线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111111h因此同理此处 h, k 是参数.hxxkyxy 1y 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于点 1, 1的象为原点,于是h1, k1,所以,所求变换的逆式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x
9、x y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y由此得出所求的仿射变换为 x x y y 1xy22xy122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 求出将点 2,3 变成点 0,1 的平移变换,在这个平移变换下,抛物线2yx8 y180 变成什么曲线？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设所求的平移变换为xxay yb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将已知对应点的坐标代入上式得02a13b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是a
10、所以所求的平移变换为2,b4x x2即y y4x x 2y y 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将此变换用于所给的抛物线上2 y 4 x 28 y 4180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即 y x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 求仿射变换x 7xy1y 4x2y4的二重直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设所求的不变直线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByC0 A, B 不同时为 0可编辑资料
11、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即在所给的变换下,AxByC0 对应AxByC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于Ax ByCA7 xy1B4 x2y4C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 A4BxA2B y A4BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以消去 A, B,C 得7A4BAA2BBA4BCC123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7401200141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_绽开化简得172410可
12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得1,3,6由于当1时, AB30 ,因此不对应不变直线,分别将3,6 代入 1, 2,3得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB,CB和A24B, C0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以不变直线为 2x2 y30和4xy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 证明,直线AxByC0 将两点P x , y 与P x, y 的连线段分成的比是Ax1By1C .
13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111222Ax2By2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 设二直线l1 和l 2 交于 P 点, P 点在影消线上,l1 和l 2 经射影对应,对应直线为l1 和 l2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 P 点对应无穷远点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于射影对应保持结合性不变, 所以 P 的对应点是l1 和l 2的交点, 即无穷远点, 也就是 l1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
14、_精品资料_l 2 .二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、填空题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 设共线三点A 0,2 , B 2,0,C1,1,就 ACB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 假如两个向量线性相关,就它们的位置关系是共线或平行,夹角为0或.3. 空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面,空间中的四个向量肯定线性相关4. 设 a 与 b 是两个非零向量,假设a 与 b 线性相关,就 ab0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知向量ax1 , x2 , x3,by1 , y2 , y3,就 a 与 b
15、 之间的内积a bx1 y1x2 y2x3 y3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、挑选题.1. 以下性质或量中哪些是仿射的 1 , 3,4, 81线段的中点.2角的平分线. 3交比.4点偶的调和共轭性 5角度6三角形的面积 7两相交线段的比 8两平行线段的比 9对称轴 10对称中心2. 设 a 与 b 是两个非零向量,假设a b0 ,就 B.Aa与 b 平行Ba 与 b 垂直Ca 与 b 线性相关Da 与 b 的夹角为3设 a 与 b 是两个非零向量,就以下结论正确的选项是A.Aa ba bBa ba bCa ba bDa ba b4. 以下说法错误的选项是B , CA平面
16、上两个向量线性无关当且仅当它们不共线.B平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直C平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行D 平面上的三个向量肯定线性相关5. 设 a 与 b 是两个非零向量,假设ab0 ,就 A, CAa 与 b 平行Ba 与 b 交角为锐角.Ca 与 b 线性相关Da 与 b 的夹角为2三、运算与证明题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 设平面上的点变换1 和 2分别由xx2 y3x1 :和2 :1y2 x5 y1yxy表示,求x2112 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 321 .41
17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.2xxy2 x23x3xy7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：12y2 xy5x21即 12y7x2y9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 :xy2x7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设求111,只需从 1 中求出 x,y 即可.所以y5x2 y17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x21 : x2 yy x32 x2 y35 y12,即x21 :yx3 y4x2 y5可编辑资料 -
18、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设求12,只需从2 中求出x, y 即可,所以1xy22:yxy2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求线坐标 1,0,1 所表示的直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1,0,1 表示直线 x1x30 或 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 求线坐标 1,1, 1 所表示的直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1,1, 1 表示直线 x1x2x30 或 xy10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 求线
19、坐标2, 2,2 所表示的直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：2,2,2 表示直线 x1x2x30 或 xy10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求线坐标 0,1,1 所表示的直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 0,1,1 表示直线 x2x30 或 y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边.证明：设ABC为等腰三角形,记ABa, ACb ,就 BCba ,并设中线 ADm ,见图AabmBDCm1 a1 b1 ab222上式两端同 ba 做内积,得可编辑资料
20、- - - 欢迎下载精品_精品资料_11212m baabbaba,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据已知条件ABAC ,即 ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以m ba0 ,即 AD BC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换.证明：设在使二向量内积不变的仿射变换下,点A变成点 A ,点 B 变成点 B ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2d 2 A , B A BA BA B2AB ABABd 2 A, B可编辑资料
21、- - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 d A , B d A, B d 表示两点间的距离 .由于这个变换保持两点间的距离不变,因此它是正交变换8. 试用向量法证明：半圆的圆周角是直角.证明：设 O 为半圆的圆心, AB 为直径, C 为半圆上任意一点,见图,CcBAOa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要证明ac , 由图有ACB,取 OAa ,就 OBa ,设 OCc ,由于2OA, OB, OC 都是圆的半径,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCca, ACca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCACca ca22ca0可编辑资料 -
22、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以BC AC ,即ACB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 假设存在,求以下各点的非齐次坐标13,5,32.0,1,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1. 存在,设 x1, x2, x3 3,53 ,就这个点的非齐次坐标为 x, y x1 x3, x2 x33 ,5 .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 不存在,由于无穷远点没有非齐次坐标.10假设存在,求以下各点的非齐次坐标10,5, 6 ,21,8,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
23、品资料_解： 1. 存在,设x1, x2, x3 0,5,6 ,就这个点的非齐次坐标为 x, y x1 x3, x2 x350, .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 不存在,由于无穷远点没有非齐次坐标.11假设存在,求以下各点的非齐次坐标1 0,1,0 , 2 0,8,6 .解：1不存在,由于无穷远点没有非齐次坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2存在.设x , x , x 0,8,6 ,就这个点的非齐次坐标为 x, y x1 , x2 0,4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123x3x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
24、料_12将二次曲线 x22xyy 22xy0 化简成标准型.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： A1,B1,C1,D1,E1 ,F02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1运算不变量AB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I 1AC2,I 2BCACB0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11124011ABDI 3BCE11DEF1122判别类型I 20 , I 30 ,说明曲线为抛物线23化方程为标准方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 B0 ,方程可化简成I1 x2I 3 y I 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即2x 221 y8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得x 21 y8可编辑资料 - - - 欢迎下载