《2022年高中数学圆的方程典型例题及详细解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学圆的方程典型例题及详细解答.docx（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求过两点A1 , 4 、B 3 ,2 且圆心在直线y0 上的圆的标准方程并判定点P2 , 4与圆的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系分析： 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判定点P 与圆的位置关系,只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,如距离大于半径,就点在圆外. 如距离等于半径,就点在圆上.如距离小于半径,就点在圆内解法一：（待定系数法）可编辑资料 -
2、- - 欢迎下载精品_精品资料_设圆的标准方程为xa 2 yb 2r 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心在y0 上,故 b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2圆的方程为 xa22yr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又该圆过A1 ,4 、B 3 ,2 两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a 23a216r 24r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得： a1 ,
3、 r 220可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以所求圆的方程为 x12y220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：（直接求出圆心坐标和半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于圆过A1 , 4 、B3 , 2两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42k AB131 ,故 l 的斜率为1,又 AB 的中点为2 , 3,故 AB 的垂直平分线l 的方程为：可编辑资料 - - - 欢迎
4、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3x2 即 xy10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又知圆心在直线y0 上,故圆心坐标为C 1 , 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半径 rAC1124220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆的方程为x12y 220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又点 P 2
5、 ,4 到圆心 C 1 , 0 的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dPC2124 225r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 在圆外说明： 此题利用两种方法求解了圆的方程,都环围着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后依据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,如将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资
6、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 求半径为4,与圆 x2y 24 x2 y40 相切,且和直线y0 相切的圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 依据问题的特点,宜用圆的标准方程求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 就题意,设所求圆的方程为圆C： xa) 2 yb 2r 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆 C 与直线 y0 相切,且半径为4,就圆心
7、C 的坐标为C1 a , 4 或 C2 a ,4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又已知圆x2y 24 x2 y40 的圆心 A 的坐标为2 , 1,半径为3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如两圆相切,就CA437 或 CA431可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当C1a , 4 时 , a224127 2 , 或 a2241212 无 解 , 故 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
8、料_a2210 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求圆方程为 x22 10 2 y4242 ,或 x22102 y4242 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 当C2 a ,4 时 , a224127 2 , 或 a2 241212 无 解 , 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a226 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求圆的方程为x226 2 y4 242 ,或 x226 2 y4 242 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 对此题,易发生以下误会：可编辑
9、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 题 意 , 所 求 圆 与 直 线 y0 相 切 且 半 径 为4 , 就 圆 心 坐 标 为C a , 4, 且 方 程 形 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xa 2 y424 2 又圆x2y24 x2 y40 ,即 x22 y123 2 ,其圆心为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222A 2 , 1 ,半径为 3如两圆相切, 就 CA43 故 a2 241 272 ,解之得 a22 10 所可编辑资料 - -
10、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以欲求圆的方程为 x22 10 y44 , 或 x22 10 y44 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述误会只考虑了圆心在直线y0 上方的情形,而疏漏了圆心在直线y0 下方的情形另外,误可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解中没有考虑两圆内切的情形也是不全面的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 求经过点A0 , 5 ,且与直线x2 y0 和 2 xy0 都相切的圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析
11、：欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 圆和直线x2 y0 与 2 xy0 相切,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 C 在这两条直线的交角平分线上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又圆心到两直线x2 y0 和 2 xy0 的距离相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 21 页 - -
12、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 y5x2 y5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两直线交角的平分线方程是x3 y0 或 3xy0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又圆过点A0 , 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 C 只能在直线3xy0 上可编辑资料 - - - 欢迎下载
13、精品_精品资料_设圆心C t, 3t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 C 到直线 2 xy0 的距离等于AC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2t3t5t3t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简整理得t 26t50 解得： t1或 t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心是1 , 3 ,半径为5 或圆心是5 ,15 ,半径为 55 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求圆的方程为x12 y325 或 x52 y152125 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
14、_精品资料_说明： 此题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满意： 1截 y 轴所得弦长为2. 2 被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为3 :1 ,在满意条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 的全部圆中,求圆心到直线l： x2 y0 的距离最小的圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程满意两个条件的圆有很多个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,如能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距
15、离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一： 设圆心为Pa , b ,半径为 r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为b 和 a 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截 x 轴所得弦长为2r r 22b 2又圆截 y 轴所得弦长为2 r 2a 21 又 P a , b 到直线 x2 y0 的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 21 页 - -
16、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -a2bd5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 5d 22a2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 24b 24ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 24b 22a 2b 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b 2a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 ab
17、时取“ =”号,此时5d min5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab这时有2b2a21a 1a1或b 1b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 r 22b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆的方程为x12 y122 或 x12 y122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： 同解法一,得a2bd5 a2b5d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 24b 245bd5d 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 a 22b 21 代入上式得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
18、_2b 245bd5d 210 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述方程有实根,故85d 210 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ d55将 d55代入方程得b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 2b2a 21 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精
19、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由 a2b1知 a 、 b 同号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆的方程为x12 y122 或 x12 y122 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 此题是求点到直线距离最小时的圆的方程,如变换为求面积最小了？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5已知圆O： x2y24 ,求过点P 2,4与圆 O 相切的切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 点 P2,4不在圆 O 上,可编
20、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线 PT 的直线方程可设为yk x24依据 dr2k4221k解得k34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以y3x4即3 x4 y24100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2 说明： 上述解题过程简单漏解斜率不存在的情形,要留意补回漏掉的解2此题仍有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0 解决（也要留意漏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解）仍可以运用x0 xy0 yr,求出切点坐标x0 、y0 的值来解决
21、,此时没有漏解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 两 圆C ： x 2y2D xE1 yF10 与 C ： x2y2D xE2 yF20 相交于 A 、 B 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212点,求它们的公共弦AB 所在直线的方程分析： 第一求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁为了防止求交点,可以采纳“设而不求”的技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设两圆C1 、 C2 的任一交点坐标为x0, y0 ,就有：可编辑资料 - - -
22、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x0y022x0y0D1 x0 D2 x0E1 y0 E2 y0F10F20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： D1D 2 x0E1E2 y0F1F20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 、 B 的坐标满意方程D1D2 x E1E2 yF1F20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 D1D2 xE1E2 yF1F20 是过 A 、 B 两点的直线方程可编辑资料 - -
23、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -又过 A 、 B 两点的直线是唯独的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两圆C1 、 C2 的公共弦AB 所在直线的方程为 D1D2 x E1E2 yF1F20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 上述解法中,奇妙的躲开了求A 、 B 两点的坐标,
24、虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧,从学问内容的角度上说,仍表达了对曲线与方程的关系的深刻懂得以及对直线方程是一次方程的本质熟悉它的应用很广泛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 7、过圆 xy1外一点M 2,3 ,作这个圆的两条切线MA 、 MB ,切点分别是A 、 B ,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AB 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：1求过点M 3,1 ,且与圆 x12y24 相切的直线l 的方程 可编辑资料 - - - 欢迎下载精
25、品_精品资料_解：设切线方程为y1k x3 ,即kxy3k10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 1,0 到切线 l 的距离等于半径2 , | k3k1|2 ,解得 k3 ,k 21 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线方程为y13 x43 ,即 3x4 y130 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为x3 ,圆心 1,0 到此直线的距离等于半径2 ,故直线 x3 也适合题意.所以,所求的直线l 的方程是 3x4 y130 或 x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22、过坐标原点且
26、与圆x25y4x2 y20 相切的直线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设直线方程为y10kx ,即 kxy2k10 .圆方程可化为 x102 2 y11 25,圆心为（2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1 ）,半径为1.依题意有22 k1,解得 k23 或 k,直线方程为3y3 x 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、已知直线5x12 ya0 与圆 x 22xy 20 相切,就 a 的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载
27、精品_精品资料_解：圆 x1 2y 21的圆心为（ 1, 0）,半径为1,5a5212 21,解得 a8 或 a18.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型三：弦长、弧问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8、求直线l : 3xy60 被圆C : x 2y22x4 y0截得的弦AB 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料wor
28、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、直线3xy230 截圆x2y 24 得的劣弧所对的圆心角为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依题意得,弦心距d3 ,故弦长AB2r 2d 22 ,从而 OAB 是等边三角形,故截可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得的劣弧所对的圆心角为AOB.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10、求
29、两圆x2y 2xy20 和 x2y 25 的公共弦长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型四：直线与圆的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11、已知直线3xy230和圆x 2y24 ,判定此直线与已知圆的位置关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12、如直线yxm 与曲线 y4x2有且只有一个公共点,求实数m 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：曲线y4x 2表示半圆x2y 24 y0 ,利用数形结合法,可得实
30、数m 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围是2m2 或 m22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13 圆 x32 y329 上到直线 3x4 y110 的距离为1 的点有几个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1 、 l 2 的方程,从代数运算中查找解答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：
31、圆 x32 y3 29 的圆心为O1 3 , 3 ,半径 r3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心O1 到直线 3 x4 y110 的距离为 d ,就 d334323114223 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图, 在圆心O1 同侧,与直线3x4 y110 平行且距离为1 的直线l1 与圆有两个交点,这两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个交点符合题意又 rd321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与直线 3x4 y110 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3 x4 y110 ,且与之距离为1 的直线和圆的交点设可编辑资料 - - -