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1、C AuB）=一,（总分值 6 分）pCa）= 0.3 , P（B）= 0.4 , PAB= 0.5,求PBAu J。解：pP因为 P Qb）= P（A）- P（AB）= 1 - P（A）- P（AB）=0.5 所以 P （AB）=0.2P（Au8）=P（A）4-P（B）-P（ABf=l-0.3+l-0.4-0.5 = 0.8 pQ|Au8）=0.25二.（总分值8分）城乡超市销售一批照相机共10台,其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时, 超市已售出2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求该顾客购到正品的概率；假设顾客购到的是正品，那么已售出的两台都是次品的概率是多少？解:设B=顾客
2、买到的是正品, %=售出的两台中有i台次品,那么有：由全概公式得P（B） =Z& P（A力（耳A）=3分i i 10i=0由贝叶斯公式得PB）=由贝叶斯公式得PB）=P（A B） P（A）P（B A ） i,-99=P（B） P（B）12 三.（总分值8分）设随机变量X服从0, 4上的均匀分布，求随机变量Y=|X-2|的分布函数和概率密度。10 x2 时，F （y）= 1 2分YY当0WyV2时，|X-2|y=p2-yX2 + y）=!2+y 也 _ y2-y 42F （y）=pYy=pY(。，yo故丫的分布函数、(y)= 20y0上述被积函数仅当(时才不会为零。仅0z 1 ze-zdy =
3、1 Z2e-2o,巽他z 0.4 分五.（总分值8分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为於加W一 装一 i o 其匕.求随机变量x, y的边缘密度函数随机变量x,y是否相互独立?.求兀fjy I解（1） X的边缘概率,度为f（x）=f f（x,y）dyjl8y好5X4，#1 -2分X0-oo。，其它丫的边缘概率密度为心10/1J 10x2 idx= uf(x,y)dx= y 30，（）22分其他易见f(x,y)w f (x). f (y),所以x,y不独立。XY(Xy /X0 u 3 - 二-f=J yX2 o/l e 1 1 X y3y -1 VJ-32分y 心 o 12yX y o当。X
4、1 时，f (yx) = 5X4 X22 分0 其它六.（总分值10分）设随机变量丫服从参数为。=1的指数分布，随机变量o, Yk,k= 12求x和X的联合分布律和边缘分布律;cov(X ,X ), p .1212入1“2(1分)解：px =0,X =o=py41,Y2=py1=1-e-1px =0,X =1=py2=0(l)12px =l,x =o=py1,Y 2=plY1,Y2=pY2=e-2(i分)12X/x?的联合分布律和边缘分布律为01的边缘分布律01-e-i01 -1e-i-e-2e-2e-iX期边缘分布律l-e-2e-2（2分）cov(X ,X ) = EXX -EX EX121
5、 212因为EX = e-i,EX = e-2 ,EX X = e-2i 分121 2所以cov(X ,X )= EX X EX EX =e-2e-ie-2 =e-2 Q-e-i )口1 分 121212又 DX =e-i(l-e-i)?DX =e-2(l-e-2)?1分12七（总分值8分）某公司出口某种产品,每出口 吨可获利3月元,假设积压吨,贝U亏损2月元。已 知国外每年对此公司的产品需求为X吨,X旅从由1000, 3。00上的均匀分布,问每年应储藏多少产 品,才使公司所获利润的数学期望最大。解:设每年应储藏y吨。相应利润H（y）.H(y)/3X-2(y-X),10004X“y?分3y,
6、y X3000z X 1 JQQQxEH（y）1=EH（y）1=-5200002 分i i X ! ii因此(X ,X , X )的联合分布律为2n工.yr X X. 1136-九二奇1。也口2分 i(2) E(X)= X , D(X)=-，E)=入口2 分0X= X = 4, S2 =- X2-l(j| = 42 分io i91ii=l i=l i)九(总分值8分)某保险公司有10000人参加保险，每人每年交12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡后其家属可向保险公司领到1000元。试用中心极限定理求（1） 保险公司亏本的概率是多少？（2） 保险公司一年的利润不少于40000
7、元的概率是多少？（2.5898）= 0.9952,其中Q）是正态分布N（0, 1）的分布函数）解：设乂=一年内的死亡的人数,那么XB （10000, 0.006） -2分 (1)由中心极限定理，有保险公司亏本的概率为P(000X 10000x12 )=P(X 120)4分=7P/x )= 7储仞(隼一丝) J59M 45964=1(7.769)。0即基本不会亏本。（2）利润不少于 40000元，即支出要少于 120000- 40000=80000元，因此死亡人数不能多于 80000/1000=80 人P（X 80）= PX二 6。/5964 V5964 J十（总分值10分）一批产品中含有废品，
8、从中随机抽取75件，发现废品10件，试用最大似然估计法估 计这批产品的废品率。解：设这批产品的废品率为p。X _11,第i次抽到废品，i=l,2, ,75i 0,第i次抽到合格品于是px =1=P，P x =o=l-p,i=l,2, ,752分X 的分布律为 px =X =px(l-p)3,x =o,i；i = i,2, ,751分ii ii那么似然函数为L(p)=ti5 px. Q-py-xi = pi=j a-p5一e%3 分i=li=l两边取对数InL(p)=艺x lnp+ 75 _1 dlnL(p)dlnL(p)dp分兄X 1济(/一)口1.7 l)1=1zi=lX1分1=1dlnL
9、(p)=0dp于是最大似然估计值为力= _L5 x1分75 i 75 15 i=l十一.（总分值8分）设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.15.0设干燥时间总体服从正态分布N （pi,。2）0求日的置信水平为0.95的置信区间。t （8）=L8595, t （9）= 1.8331, t （8）= 2.306, t （9）=2.26220.050.050.0250.025解：/ t(n-l)2分有 P-t (n -1) (n -1) = 1 -oc,s/-/na/2 s/Jn a/2日的置信水平为1-a的置信区间（又Qt）
10、,X + ；，QD）4分 aa22n=9, 1-a =0.95, a/2=0,025, t(8) = 2.306,计算得：x = 6,s2 = 0.330.025N的置信水平为0.95的置信区间为16 土 鸣1|x 2.306J =(5.558,6.442)十二.（总分值10分）设X ,X , X为取自总体X U（q,Z?）的样本，令：X =min（X,X , X ）, 12 nV12 nXz =max(X ,X , X),证明：EX +EX =a+bo(n)12 n(1)()证明：因为X,X , X独立同分布，故X,、=max（X,X， X ）,12 n（n ）12 n的分布函数为F(x)=pL x=px x,X x, X x,=lT F (x)(n)12nX|i=l0,xa(x - a Y = -b-a-2x b( x-aV1 1Kf(x)_ 叫 I axb1 1x / 一( a j u d X(i)=min(X,X,勺的分布函数为X(i)=min(X,X,勺的分布函数为0?xa0,其他Xxj = lIT 1-F (x)nXji=l l-fb-xY .a x b(b-xY-1 1g(x)=g(x)=n,a x W b a.b a0,其他EX(/8xf(x)lxbn1alM的a2 分-ooa JE%) = P0xg(x)ix妞a2 分ElX(1)1+EXWl