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1、张宇数学教育系列丛书囚TU AYUN 同经典唸題O主编张宇一【数学一 解析分册】_北京理工大学出朕私张宇数学教育系列丛书三经熬蜩MO主编张宇-【数学一 解析分册】-张宇数学教育系列丛书编委(按姓氏拼音排序)蔡燧林 陈静静 崔巧莲 高昆轮 韩晴 胡金德 贾建厂姜洁 雷会娟 刘硕 柳叶子 秦艳鱼 史明洁 王成富 王慧珍 王燕星 吴金金 徐兵 严守权 亦一詰色曾凡蓄色 张乐 张青云 张婷婷 张宇 郑利娜朱杰 朱原则妙北京理工大学出感私版权专有侵权必究版权专有侵权必究图书在版编目图书在版编目（CIP）数据数据张宇考研数学题源探析经典1000题.解析分册.数学一/张宇主编.一北京：北京理工 大学出版社,
2、2020.12ISBN 978-7-5682-9374-7I.张II.张 皿高等数学-研究生-入学考试-题解IV.0）013-44中国版本图书馆CIP数据核字（2020）第257245号出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司社址/北京市海淀区中关村南大街5号邮编/100081电话/(010)68914775(总编室)（010）82562903（教材售后服务热线）（010）68948351（其他图书服务热线）网址/http；/www.bitpress,经销/全国各地新华书店印刷/天津市蓟县宏图印务有限公司开本/787毫米X 1092毫米 1/16印张/28责任编辑/高芳字数/699千字文案编辑
3、/胡莹版次/2020年12月第1版2020年12月第1次印刷责任校对/刘亚男定价/89.80元（共2册）责任印制/李志强图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线，本社负责调换第第1章 函数极限与连续.章 函数极限与连续.1强化训练.1巩固提高.12第第2章数列极限.章数列极限.17强化训练.17巩固提高.18第第3章 一元函数微分学的概念.章 一元函数微分学的概念.22强化训练.22巩固提高.25第第4章 一元函数微分学的计算.章 一元函数微分学的计算.27强化训练.27巩固提高.31第第5章 一元函数微分学的应用（一）几何应用.章 一元函数微分学的应用（一）几何应用.33强化训练.33巩固提
4、高.44第第6章一元函数微分学的应用（二）中值定理、微分等式与微分不等式.章一元函数微分学的应用（二）中值定理、微分等式与微分不等式.50强化训练.50巩固提高.55第第7章 一元函数微分学的应用（三）物理应用.章 一元函数微分学的应用（三）物理应用.59强化训练.59巩固提高.59丫丫5彳考研数学题源探析经典彳考研数学题源探析经典1000题（数学一）题（数学一）第第8章 一元函数积分学的概念与性质.章 一元函数积分学的概念与性质.61强化训练.61巩固提高.65第第9章 一元函数积分学的计算.章 一元函数积分学的计算.71强化训练.71巩固提高.82第第10章 一元函数积分学的应用（一）-几
5、何应用.章 一元函数积分学的应用（一）-几何应用.88强化训练.88巩固提高.93第第11章 一元函数积分学的应用（二）积分等式与积分不等式.章 一元函数积分学的应用（二）积分等式与积分不等式.97强化训练.97巩固提高.100第第12章 一元函数积分学的应用（三）物理应用.章 一元函数积分学的应用（三）物理应用.102强化训练.102巩固提高.104第第13章 多元函数微分学.章 多元函数微分学.106强化训练.106巩固提高.126第第14章 二重积分.章 二重积分.132强化训练.132巩固提高.150第第15章 微分方程.章 微分方程.154强化训练.154巩固提高.166第第16章
6、无穷级数.章 无穷级数.177强化训练.177巩固提高.198第第17章 多元函数积分学的预备知识.章 多元函数积分学的预备知识.208强化训练.208巩固提高.215第第18章 多元函数积分学.章 多元函数积分学.219强化训练.219巩固提高.2362目录目录罗二篇规他代数矚第第1章行列式.章行列式.247强化训练.247巩固提高.252第第2章 余子式和代数余子式的计算.章 余子式和代数余子式的计算.256强化训练.256巩固提高.256第第3章 矩阵运算.章 矩阵运算.259强化训练.259巩固提高.267第第4章 矩阵的秩.；.章 矩阵的秩.；.273强化训练.273巩固提高.274
7、第第5章 线性方程组.章 线性方程组.276强化训练.276巩固提高.283第第6章向量组.章向量组.290强化训练.290巩固提高.298第第7章特征值与特征向量.章特征值与特征向量.303强化训练.303巩固提高.307第第8章相似理论.章相似理论.314强化训练.314巩固提高.322第第9章二次型.章二次型.328强化训练.328巩固提高.3333丫勿考研数学题源探析经典丫勿考研数学题源探析经典1000题（数学一）题（数学一）第三篇桃半论与教理诡第第1章 随机事件和概率.章 随机事件和概率.339强化训练.339巩固提高.345第第2章 一维随机变量及其分布.章 一维随机变量及其分布.
8、349强化训练.349巩固提高.354第第3章 一维随机变量函数的分布.章 一维随机变量函数的分布.358强化训练.358巩固提高.362第第4章 多维随机变量及其分布.章 多维随机变量及其分布.363强化训练.363巩固提高.371第第5章 多维随机变量函数的分布.章 多维随机变量函数的分布.374强化训练.374巩固提高.379第第6章 数字特征.章 数字特征.386强化训练.386巩固提高.396第第7章 大数定律与中心极限定理.章 大数定律与中心极限定理.410强化训练.410巩固提高.411第第8章 统计量及其分布.章 统计量及其分布.414强化训练.414巩固提高.419第第9章
9、参数估计与假设检验.章 参数估计与假设检验.422强化训练.422巩固提高.4344第一篇第1章圖教极限与也钦强化训练1.(A)【解析】【解析】由于*工)在工1=1,工2 3处无定义，当乂工1山工3时，/(Z)为初等函数且为连续函数又由于”/、.zsin(z3)hm/(jc)=lim-oo,Li 工1(x 一1)(jc 一 3)20,lim/(jc)=r-3-,jcsin(jc 3)二 lim-=oo,工3-(工一1)(j:3)2一、.无sin(工一3)=lim-八0 0(乂一 1)(工一 3)-sin(j：3)lim/(jc)=lim-(_i)+工一(一1)+(z1)(工一3)2sin 43
10、2知/(jc)在(-1,0)内为有界函数，故选(A).【注】【注】若为闭区间a,门上的连续函数，则f(x)在a,刃上必定有界.若/&)为开区间(a,b)内的连续函数，且lim/(工)与lim/()都存在，则f(工)在(a,b)内必定X-*怡+2 2,即0 o0,又lim(i)7t 一 4arccos=1,则6=1,因若不然，极限不为1,即于是 a=8,6=1.选(C).9.(C)【解析】【解析】由于映駕=映亦芒九当E时该极限切于是b=0,从而恤仝 等价无穷小代换lim察=3。=l-a=丄.L0（esin 工 一 l）cos 工 Z sin z 310.（B）【解析】【解析】当乂 f 0时，工一
11、 tan jc一-yj?3,又limx-*0洛必达法则0lim/(jr)=/(0)=1，o(无0)9x-*0 J 0 x2O一=_第章函数极限与连续函数极限与连续tan故当工f 0时，1J 0fMdt一才工3(见注)，而(1+sinaj：)6 一 1 b sin无bxa 9于是 a=3,b=y.【注】由【注】由张宇高等数学18讲第1讲习题1.6(1)可知，当工亠0时，若/(工)oz,g(Q 且fS,gS,a,b均不为0,则/g(Qabh严这种复合函数的等价无穷小结论 需注意.11.(D)【解析】【解析】因为又1 4-r2 心)心)=ln rrE石石1(、|无2 一 sin2 j：ln(1+i+
12、si72 2 x sin x1+sin2 j;jc2 一 sin2 jc(jc0).9 9i x sin x limh-oi.x+sin x i.x 一 sin x lim-limx-*0 OC x0o 1.1 COS X=Z lim -L 0(72 一 1)上,n2XX丹tn4 o v 1 一 COS X=L limh-03x22XTXT=因此n=4.i i【注】【注】更希望读者看出：2 sin2 J；=Q+sin x)(x sin 工)2z x3=?4(j*-0)9这样 6 3便可直接得岀答案.12.(0【解析】【解析】已知lim一存+貲学=一存+貲学=5,即limin川一力(小=5,可知
13、工0 L%力 Hf o T(、sin 3(?5j?4+o(j?4)t(r)=-.fO.sin j：3 一 5jc4+o(j?4)1.lim-=lim-2-=limX x-*0 x所以*工)是工的高阶无穷小量，故选(C).工一 o1.sm x lim-x-*0工一 0sin13.(C)【解析】【解析】当工0时，ln(l+z)JC3 r 1.乂4 1 1 O(JC4)一 5 lim z-十 lim.2xloHf 0 J：2 1 Hf 0 JC20,I vTHr 一 1ln(1+/)/(sin x)a/1+sin2 j?11 29所以，当f 0时9g&)与A(j?)是同阶但不等价的无穷小故选(C).
14、14.(D)【解析】【解析】由题设条件得iimf 1 91 工，Z V 1 91,X=一 1 90,Z=1 9可知f()为分段函数，分段点为工=l,z=1.画出草图易知工=1为其唯一间断点.故选(D).15.(C)【解析】【解析】方法一 先求岀g/(jr)的表达式.2 一/(j?)9 f(x)0 92+/(jc)9 fix 0 9g/(z)=3(勿(考研数学题源探析经典1000题(数学一)O而心)0,仅当jc0,此时/&)=工一1；心 0,仅当工0,此时 n=x2.综合之9gA)l=12 (x 1)=3+z,(2+2,z$0,T。+工-()+lim=lim g(x2)=lim(2+)=2,；r
15、-*0 X-0 HfO所以工=0为的跳跃间断点.选(C).16.(D)【解析】所给问题为函数g(T)在点=0的连续性及间断点的类型判定问题./、.ln(1+j?a)sin xlim gx)=lim-”+1lim 土一=lim 才t,又g(0)=0,可知:当 a 1 时，lim g(z)=g(0)，此时 g(z)在 Jf=0 处连续；J-O4当a=1时，lim g(z)1，此时g(g)在=0处间断，工=0为g(z)的第一类间断点；当0 V a 0 JC 工0 uJC,lim In3-于(屯_?)=Jn3 /(2)=In 2.18.3【解析】当工0时，(1 cos jc)ln(1+2z3)-jc2
16、 2无3=jc5 9 jcsin xn J?7744,eatan2-r 一 1 j：tan2 工3.由题意得+1=4,72=3.19.y【解析】当工亠0+时，V1+tan 丿 1+sin tan x sin x_ _ tan y/x(1 一 cos y/x)a/1+tan a/z+a/1+sin 丘所以k=3I【注】本题运用了“分子有理化”和“等价无穷小”技巧.20.1【解析】方法一/(工一2)=云+2工+1=(工一2严+6Q2)+9,因此/(.)=云+6工+9,lim 空二 lim 兰土竺也=1.OO 工 工OO方法二 由于 2 2)=/+2工+1为二次函数JQ)的图像可由/(-2)的图像平
17、移得4O 第1章函数极限与连续函数极限与连续到，因此 g 也是二次函数，二次项系数也为1,因此1巴呼=1.21.y；3【解析】【解析】jc 一 sin jccos jccos=x 一 sin 2jccos=T-4-sin 4工,4由于sin j;=j:黑乂3+oQ3)(无f 0),所以当工f 0时,d!x sin 乂cos 乂cos?.x=x 44j7 -(4j?)3+o(j?)卄护4F+。（工3）=加+心）,O因 z-0 时,h sin jtcos jccos 与 cz为等价无穷小，所以 c=3.22.君；君；2【解析】当【解析】当1=时，时，2141+_+（宁）卜-討-川故人=一吉，=么2
18、靑【解析】【解析】原式limZf 0S+g涇Q，其中W介于sin,工之间.又X3X3v 6 _ 1x3故原式T24.-ei.2【解析】【解析】此为“#”i.x 一 sin x limZf 0型.r(1+乂)手一e2e知门+刃一Vlim-=lim-工-0 JC 工-0 oc洛必达法则e-ln(1+j).lim-x-*02 ln(l+无)1十x212e2 恤 z(1+z)ln(1+z)x-*-0j?2(1+jr)洛必达法则 n?1 i_ln(l+z)26 吧27+3P【解析】【解析】当 f 0 时，yl 4j?2 sin jc 1*(一 4j:2sin 工),ln(1+2jc2)2jc2，所以|.
19、/1 4j?2sin x 1工吧 j?ln（1+2j:2）26.【解析】【解析】所给问题为求极限的反问题._ 2 Hmsin_;z=3 工-0 x 35丫勿彳考研数学题源探析经典丫勿彳考研数学题源探析经典1000题（数学一）题（数学一）00,J?+1hi./+1 or(工+1)+1)(1 a)jr2 a bx (6 1)lime-+ln(l-)-l工0 x arctan x原式=lim-=hmHf 8 JQ+1 OO因此应有 1a=0,(a+6)=0,即 a 1,b=1.27.【解析】.【解析】所给极限为“+”型，不能直接利用极限四则运算法则.由 lim/(j?)存在，可知 lim/(j：)s
20、in 乂=0,当龙0 时，/1+/(j：)sin x 1 丄/(jc)si x-0 HfO 2工，因此Ji+gsix I.T/(T)sm I lim-=lim-=limj(j?)x o e x 工。Lijc.4 h-*()3,e2x 1可得 limf(j-)=12.H-*0 428.【解析】.【解析】（1）因为有界量与无穷小之积仍是无穷小，所以lim 半兰=4sin 乂lim sin4 j：0.故原式=lim(x2 a/j?+7)+limlimX-4-005 jc 7lima/jC2 5 J：+丿无2+7-5-1X1-+X(2)J1+Z _ 子原式=lim工0 x21 丄lim-1-0lim2
21、丄(3)(4)(5)洛必达法则=口(1卅+1zf 01.J?1lim-(zl)e+l洛必达法则 工于lim-2-”“lim=X0 X 工-0乙工工0 x21+/X 一 1x2工一 0工一 25工 一 1 /2工+5jc2 4lim 琴=L 2 oc 一 4lime1十丄X1_y/5x 1+丿2工+5 0+In()2丄t ln(l+te 旣令JC.击_ i=钗h=已飞v cos jrln(jc3)ln(j?一 3)lim：-_ hm cos x hm；-3+Me-e3)*+_3+ln(e-e3)o 02=(In a)2.cot Xlima-0limj?cos x sin x2 x sin xsi
22、n x3x丄 Ii.hcos x 一 sm xlim-工-0 X1+JC 11 eX=limx-*0 x x1 一 1+0(1 一 e_T)limif 0 x x2 一 1+elimx-01+2 jt e2x=limJ?-*O2+e F3_ T(10)limgin(劇)=e 叫“(需IE,由于Zf()TL 0十lim In jclnho+In x 一 1In t+1lim In j：ln(1+l0+-2In jc+1所以lim工*（工;）=e2x-*0(11)liml o+ln(sin jOTn XCOS X eJT+(12)limT0COS X?cos 2x 丿In()o x 一 sin x
23、x 一=limx-*0=limx-*0(14)原式=limL 01_1+COS Xlimx-01_1+COS Xlim In x Zf o+i-xsin.+0(“3x i-xcos xsin xlim-o-勺一 o+n x1 err21-訂+心工一訂+0（力3）+工3+o(z3)1-=2x3+o(w3)0 I 2 1sin x x sin X Xlnd+r)X limZf 0sin x-十 J7sinx：X _ 1巴 ln(l+z)=T7考研数学题源探析经典考研数学题源探析经典1000题（数学一）题（数学一）（15）原式=呱中-扣（1+4）limx-*0Oaa-ax ln(1+or)P 1+o
24、r=lim-工2（16）原式=lim弊聖=匸=lim叫In工一0ln(jc2+e2x)In e2x02a jl _ a2 工(1+az)=Tsin2a-+eJ 丿(壬+-/a2 x 9sinzeJ 叫1+石)ln(l+=lim工一 o 2 2工v sin 工 e 1工 1=：hm-z-lime 二1 1.j-*o jc 工-*o(17)原式=lim(1 4af 1+空 一 1+盗一1、n.cc1+aJ1+af1lim-x，因为nx二1+处1 _ 昭 _ 1Xlim(工0 Tl 丄(In Qi+In +*a”)=一lrKag)9 n nXx故原极限=肩53/2“叩=加10cos 4jc 一 2
25、o 1.-=一 3 lim1 9 x-*012jc3 a.A-一 4sin 4无丿(1+3_=24 lim,“+3工+cos 4工 一 2工2sin心=2乞2乂方法二对分母作等价无穷小代换后，可拆成两项，再对每一项的分子作等价无穷小代换：当,cos 4jt 1 16a:2）=一 8*，得f 0 时，a/1 x2 1 5原式=_ 3 lim 1+3 -3 lim COS 滋1x0 3g4=一 3 lim-5-3 lim工一 0 JC jf 0(19)因为 lim xx=lim =19 lim(tan xx=lim exn(工-*()+0+()+H-0+分母作等价无穷小代换：v7!+3sin2j?
26、1-3sin2j?原式=2 hm=3 厂。+3工彳o+),得3224.1,所以这是“#”型的不定式.对8O 一一一 第1章函数极限与连续函数极限与连续1 x-*0+X对分子作等价无穷小代换：当工0+时，有斟（詈）1刃n（字）=站1+（詈1）彳詈l）=tanz 再利用洛必达法则，可得原式2 1.tan x 一 x lim3 Hf()+工32 isec x 13 j:2tan xx29【解析】【解析】由当0时,sin力=工一名+fv+o（j;5）,sin 2工=2工一午）+o（去）9得3!5!3!5；sin j:(cos z 4)+3工=sin 2x 4sin j：+3力詔尸筝+筝+心卜十遥+汀心
27、f=工5+。（分）,故为工的五阶无穷小.30.【解析】（【解析】（1）工一 0+时，有tan(丿工+2 吃)故tan（厶+2 施）是x的一阶无穷小.（2）z f 0+时，有a/1 1-y 故/+彼一 1是工的+阶无穷小.（3）jc f 0+时，有3 1=e13 1石In 3,故3呢一1是z的*阶无穷小.1-r/r 2z（z 1）lim f（j：）=lim -订-厂-二=工-0一 0 z（无一1）（$十 1）故工=0是*刃的第一类间断点，为跳跃间断点.rz、1-2工（工1）W=肿+）（“）故工=1是*工）的第二类间断点，为无穷间断点.32【解析】【解析】（1）因为31.【解析】函数f（jc）在x
28、=1,0,1处无意义，故x=1,0,1是函数/Xz）的间断点.又 2工（工一1）出/&）=lim|J；：）=1，故工=1是/（工）的第一类间断点，为可去间断点.lim/（jf）=lim 角 匕、=2,lo+lo+1）（z 十 1）2,OO 9!(1)Q+夕lim/(j?)=limx-*0 0ax+bx2exp=limexp(Ino I x zaln a+6Tln b=expIn q+In b)/r-=/ab,9勺彳考研数学题源探析经典勺彳考研数学题源探析经典1000题(数学一)题(数学一)O所以，当c=庾时，/(工)在乂=0处连续.字,/(-1)(2)易知/(I).Jim/(x)=y/ah,j
29、fn a b 工olim/(jc)=lim 2占max2,6|1+jff+8mintz,6 maxa,6工f+8同理可求得lim/(jc)=mina,b,故所考虑的五者大小关系为JCf_8=max f(l)f(-1)lim f(x).x f-oo x0 J7*8丄+丄【注】(*)式中第三个是怎么来的？因为七上 2 卜取倒数便有i?T 冬T+Ty/ab.第四个是怎么来的？因2一p=匕，当a jfb=a，当“=方，当a b时,2笃.=孕a=b,显然成立.a+b a+a a+b La33.【解析】【解析】于(工)无定义的点是使1工=0和1 e色=0的点，即乂=1和工=0,所以/()的连续区间为(印，
30、0),(0,1),(1,+oo).当工0时，1 一 e在0,所以lim/(jr)=00,所以工=0是无穷间断点.x-*0当 JC-1 时，-+CC,1 一 ei f 00,所以/(1)=0,而当 z f 1+时，-00,1 X 丄E1 e总一 1,所以/(1+)=1.所以工=1是跳跃间断点.34.【解析】【解析】显然/(0)无意义.(1 0 丨 z|0/()=lim/(:)=lim(1)=1,/(1+)=lim f(j：)=lim j:2=1,x-*l X-1+1+则工=1为跳跃间断点.由于/(是偶函数，则z=-1也是跳跃间断点.35.【解析】【解析】对于函数 2)的分段点工=0,因lim/(
31、)=lim“丫+?刃=0,lim/(;)=lim sin-=一 sin 1,LO-2cosz lo+lo+h-1故点工=o是函数f()的跳跃间断点.当工0时,/(z)=sin 2 1 在z=1处没有定义，且lim sin 2 振荡不存在，故点攵=1是X 1 x-l X 1函数/(刃的振荡间断点.10O-_ 第1章函数极限与连续函数极限与连续当鼻0时,/（x）=雹）在点列心=虹一手每=0,1,2,）处没有定义，则这些点都是函数/Xz）的间断点.特别对点去-号，令/=Z+今,有 r/x i-丫(2/7T)lim jx)=hm-7r o 2sin t空7TI故点力=专是函数/Q）的可去间断点；而点列
32、忑=一怡兀一专（%=192,）显然是函数/（无）的无穷间断点.0,工 0,1+H p36.【解析】因/（久）_i_e；arctane arctanlim/(J?)=limx-*01+E x2/(1)=-1-，要使 fO 在 X=1 处连续，贝I a b 1.7TT limzf 01丄=e 工尹手 Hm4 Zf+oolim,r0+r 0,且工工一 1,7 _ 0故工=0为可去间断点.arctanlim（一1）+故工=1为跳跃间断点.1+J?X2limX-*-(1)37.【解析】当z=1时,/（工）丄e7 arctan1+J?x27t禾lim t,；2严“f oo X 1又_ 7C 疾,1+a+b
33、2当丨|1 时=lim”一00 x2nx+oz2+6.Z x2n+1-3+a-+b-.x x2n2 x2nx lim-n-*oo|11十亍0 x+ax2+bx x2n+1z 丨 V 1,于是/O)=V当 x=1 时=limoorax2+bx,|丄，丨丄，丨 x+a+b-2z一 1+a b2Z 丨 1,=1,只需讨论分界点处的连续性:a 一 b 一 1.2*7在 z=1 处，有 lim=lim 丄=1,lim/(工)=lim(ax2+&z)=a+b,/(l)=丄土土 工-*1+2 X-1 X-l L要使f(工)在z=1处连续，则a+5=1；在 x=一 1 处，有 lim f(x)=lim 丄=1
34、,lim=lim(ar2+&r)=a b,H-*(1)工-(1)H-*(1)+工-(1)+211丫勺彳考研数学题源探析经典丫勺彳考研数学题源探析经典1000题（数学一）题（数学一）O2n1 I c 电 2 I 洽综上可得，当a=0=1时,f（x）=lim-一蔦处广空是连续函数.n-*oo X+1巩固提咼1.（C）【解析】【解析】当工f 0+时，由cos石一1-*z,ln（l+3石）3石，可知又由目 一 1-x2（攵o+），可得 lim =-lim-=f，即 y 右工.3 十工 3 厂。+1（1+/）匕,3e 3e因此，这3个无穷小量按照从低阶到高阶的排列次序应是P，Y，a,故选（C）.2.（B
35、）【解析】【解析】利用洛必达法则lim山（1+工）=1与重要极限lim（l+工十=e,得工-0 3C.jt-*0lima（无）B（jc）limlo+ftan xJ 0n(+a/).11+*质 _7 lim r-*o+(1+tan z)碗 sec2 j:12e(l+/)*dt所以，当工一 0+时,aQ）与/?&）是同阶但非等价的无穷小故选（E）.3.（D）【解析】【解析】因lim/（）=0,故上0.若入0,则必存在一个乂使得入一e=0,即分母工一OO为0,矛盾，故入W 0.4.（B）【解析】【解析】先区分z的不同情形求出f3.当工取整数时，sin心=0,此时 g=X2.当 工不取整数时，极限号内
36、的分子、分母同除以后，取极限（-*），得/&）=工（1 z）.所以*工）的表达式为（x2,工=0,土 1,2,，z（l z）,工取其他值.可见，当z不取整数时，/（工）连续；当工取整数但工工0时J（_r）有第一类间断点；当工=0时，f（）仍是连续的可见 g 没有第二类间断点，选（E）.5.（C）【解析】【解析】注意到问题只需讨论/XP在区间（1,十8）上的连续性，所以无需考虑于（工）在 区间（一*,叮上的连续性.X工二7当1 V无 3时(刃=lim-“f 8/J1+二=0；当 z3 时，/（力）=lim2n”f 81+X所以fS 在区间（1,+*）上有且仅有2=3是跳跃间断点，而在其他各点处均
37、连续.故选（C）.16.【解析】【解析】当八8时,丄丄.丄丄T 异7所以 limcos4=e”怛小D+士t)=因此”一8 71120,0 V j?V*9O一=_第章函数极限与连续函数极限与连续/（工）=*,故*工）在其定义区间内有唯一的间断点心丄79 且/(如)=Ve7.【解析】.【解析】首先，显然有lim 存Z-8 X=27.=lim f 27+L8 x x先令 t=27z,再令 y=广i(t),贝lj t=f(y),且工-*oo 时，/-oo,y f oo,所以 lim 广 茫刃=3 lim=3 応匕$=3/limL8 石 一8&y8 V y-8 fy)=3M=i-同理，令y=广i(z),
38、则工=/($),且工 oo时，oo,所以lim =/lim=宀 v7(y)7 i f(y)7 27 3因此，原式8.【解析】.【解析】(1)原式=lim工f021n(l+z)=limJ7-*0 JC21n(l+z)=e2 lim 厂Hf 0 g.e冲e2+e2*(l+z)x一 e?+恤 elnd+z)jr*-0 JC=+e2=e2 iim21n(l+)-2+e2x0 x2x=e2 lim 1+-+e2=e2+e2=0.l o xlim-严色-dzMo(v7TT_i)ckJ 0洛必达法则sin 2xlim-=Ll。(vTT _ 1)4+工2=(/工+1 十1)sin 2 工 _ 岛 2(丿工+1
39、)sin 2x”0 z4+工2”0 4+工2 2z(3)令 _z=+,有原式=11 2r 卩+2卄尸&p yd+2z+/3)-3(2+3产)一e lim-=limr-*o+t o+y X 1 X 2-1丄Ti(4)原式=lim0”1 4,/40 I口 i (1+z)ln(1+z)又limx-0 x一(1+无)ln(1+z)1 c、丄 2工(1+2j：)ln(1+2乂)茹一_(1+2刃2_寺,lim寺 2工-(1 比買+2卫=_ 1,故原极限=导.L lO L 力(1 十 LX)/九2(+2z)(6)原式=JT2(1+Z)sin20 nd+)&_ ln(1+sin2 j?)2sin x cos
40、x 丄4 lO3limx-0p/(1+2工)limx-*0T2arctan(l+t)dt Q+门丄 2、9o _：Zjrarctani 1 十无)_/、/兀_兀_ E、3=2 T=百3x(8)因为当Z f 0 时 92/2+cos x r-_1十 1肿+込工，又3一丄/cos工一1 2l _S-i 2+cos xln-X3 lim 6L 0./.I cos x ln(l+丄 云?、店亠 p 攵(1工1)r 工1 工1 1 工十 In 乂 1 1 z 十 In j:.(2j:一 l)ln x(jc 一1)i.=lim-=一 hm厂1 一*丄 鼻1X=_1岛(2 云刃 In 茫+=恤(心1山：+(
41、2攵1)=+i=2.x-*l X9【解析】【解析】/(工)=(1+h)+=e弘尊+昭故原极限e-jln(14-x)e e 故人自3=存.v 一 一 l)ln j:-=hm-工-1 1 一工十In力(2jc2 j:)In x+1)1 X-12 9e专+分+心)1+手+。心)+一咚+疔+。心)1-f+T+nT+o(2)+o(/)2!2 32+o(x2)e訴+另心+心),丄 1ej arctan qr10.【解析】【解析】当 z 0 时，g(z)0 时，g(z)0,且 limg(z)=lim-丄 f=0.x-o+lo+1+(eT)2故 lim/U(Q令“lim/(“)=lim*(*)0-lo-o-a
42、rcsin u-u“f o_ L-1 令 g(H)=u.rf o+3lim =6 9 丄3e u+寺 uz+“1=lim-L-7+丄 26lim/(w)w-0+i I(w)21 况+0=lim-o+寺况彳+%1+0(W2)T-=6丄2故 lim/tgQ)=6.x-*0【注】本题若试图先去求/g（p的表达式，再进行极限计算，将在形式上产生极大的复杂性 而导致各种错误.事实上，本题的命制特点在于考查考生的整体观和换元思想是一道区分度高的 优秀试题.11【解析】当 0时J=00 9极限不存在+2+2当怡0时=limX=。+(心5)kt（1+2严）*严t=lim-存-一 o+t只有当必一1=0,即b=
43、丄时，极限才为“贾”型，否则极限为不存在故 a 0丄(8严t+2严)=lim-tf o+tO 1=，此时 k=;J=lim(1+8厂4+2严)+-1 r-o+当 a=5 时,/=lim 4-乂土空o+5 t当a5时=（）9此时怡=aor3+fez+12.【解析】通分，可得I=limTf 0e_r cko由泰勒公式 e=1+o（“2）（“f0）,有ckt2+)ck+o(jc5)代入（关）式得ojc3+fa?+C(z XI=limx-*0e=1 严+*产+0（严）（/0）,则=X y-J；3+鲁/+0（Z5）（Z-护+莽5）+。（申工50),eo(*)=limTO乂3+(方+C)2+話 g5Z5(
44、厂 10贝 0(2 =0,6+c=0,=1，即0,知f(Q单调增加.又f(0)=1,所以，当工$0时，时，fS 鼻1,于是有厂 Q)W 1 _2 2&$)1十JC于是/(jc)/(0)=f/(t)dtWJ o5&0 1+产arctan xx$0),故/(Jr)M 1+arctan z 1 x-1/(1+)=lim/(jc)=lim ei=+，Z1+x-*l+所以工=1为无穷间断点.15.【解析】【解析】(1)当0 y时，有1 w/1+(2工)”+尹 1 將;当+W z 2时，有2工 门+(2工)+/”W 2邙,当工$2时，有*w二+(2工)+工2W 乂231,0 M%V+9又lim將=1,故”
45、一*8/(T)=v2工9*W 2 K).3”-*A,z”-*A 对于“i+“2+“”(冷$0,为有限数)，其放缩法为1 max W“1+“2 十+”=max16第2章教列敘瞰强化训练1.（C）【解析】Z卄2 Z卄1=*&卄1 一 Z”），即力“+2 力卄1 1z卄1 乙 3令=工卄1 Z”，则$”是以+为公比的等比数列，）1=乜一心=1,且当”上2时,九=Q+（工2 工1）+（工3 工2）+（如 一 X-i）=心+y+丿2-h夕L1=1+1 4-+H-3 32 3n2”一oolimn2-In 工=In 工.”8 nn 一 1）【注】【注】上面的做法用了当Q 0且a工1时，a 1uln a,u-
46、*0.3.【分析】【分析】设lim=A,递推式两边取极限，有A”f 8令穿，故A=73（n 0,由保号性，舍去A=一/3）.【解析】令=%松9则+3+l Y夕卄1n 血4/3（扬）（一屈）_ 聽一1（无”+1）（九a/3）6+1 由xn（b故+i 1，于是西丄 v4 1 则 九十10 W 氏+i 丨（a/3 1）ynZ（府I）2 yn-i I V V（箱l）n li I 因 lim（73 1）”|力 I=0.由夹逼准则，lim yn =0,即 imyn=0,于是lim对=a/3.77 OO OO OO 7?*OO17（勺彳考研数学题源探析经典（勺彳考研数学题源探析经典1000题（数学一）题（数
47、学一）巩固提高1.（C）【解析】【解析】不妨设g（j：i）/（0），则由fCx）,g（z）的连续性，根据介值定理，存在Zo介于Q与2”0之间，使fCx0）=g（zo），则（C）成立.）对于数列g（z”）,g（z+i）=/（#”）g（z”），故g（z”）单调增加.又g（z）在a,刃上连续，必 有界，于是g（z”）有上界.由单调有界准则，limg（z”）存在.”f OO同理,/（z”）=g（z卄1）oo n oo取&”的一个收敛子列x,并记lim X=Zo W a,刃，则k+oo klim fxn）=/（lim jcn）=/（jc0）=A,+oo+oolim g（z”）=g（lim xn）=g（.
48、x0）=A,+8+8即 3 x0 G _a,b,使/（jt0）=g（zo）.综上所述，（C）正确.【注】【注】本题还可以这样分析若不存在也6匕，刃，使得g（W）=f 5），由 g，g&）的连续 性，则在5，勺上，&（工）一/（工）大于0或小于0,两者必居其一且仅居其一.（因若不然，e _a,b使）g（Q）0,弓 6 a,小使/（在）一 g&2）0,工 w a,6,故m 0,使/（/）g（z）$0.又gQ”+i）=/（工”）=g（z”）+g（z”）=f（xn）一 g（z”）+/（工”一）g（z”_i）+g（H”T）=/（*”）一 g（Z”）+/（工”_1）g（H”_i）+/（Z”一2）=/（工”
49、）一g&”）+/&”）一gO）-于（工2）g（Z2）+_/X.Xi）,即/（攵1）g（攵卄1）=gO”）/（”）+g（Z”T）4-卜g（02）于（工2）（77 l）e.故|g（H卄1）/（Q）|$（X 1）,当X f OO时9g（乙）无界，与题设矛盾故选（C）+82.e【解【解析】=I xne-djc=xnex+8+n e_J dr=nan_xn=1,2,.o J or+“1、i又 a=|er dz=1,故 a”=!,=订，于是 J。$攻$小n oo oo.I=于=e.”=8&=o k!”=o=o 丨乂=13【解析】【解析】因为皿-亦)+*=厂+|=i+五-三空l Jn+伤 2 2(Jzz+1
50、+丽)18O 第2章数列极限数列极限且应用关于e的重要极限，有原式=lim 1+恤卫二必壬!_L8 2(/z+1+而)2(丿卄+/?7)Jn Vn+ln+1(-1)1 eP2(a/t?+1+y/n)-4.【解析】【解析】方法一 原极限等价于求lim j?2(arctan arctan：令/(/)=arctan t,T-+8 JC JC I 1/t e 由拉格朗日中值定理可得arctan arctan x 工十11/a1+孑&a工+1aN+1故原极限lim x21(a1+孑七a 1 2z+1 丿二玖 1+孑+1)方法二方法二lim沪n-*ooarctan 一 arctan-n n+1=lim j