2022张宇基础30讲.pdf

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1、张宇数学教育系列丛书 一O主编张宇博士，全国著 名考 研 数学辅 导专家，教育 部“国家精 品课 程 建设 骨 干教师”，全国畅 销 书张宇考 研 数学基础30讲 张宇高 等 数学18讲张宇线 性代数9 讲张宇概率 论 与数理 统 计9讲张 宇考 研 数学题 源探析经 典1000题张 宇考 研 数学闭 关修炼张宇考 研 数学真 题 大全解考 研 数学命题 人终 极预 测8 套卷张宇考 研 数学最后4套卷作。者，高 等 教育 出版 社 原全国硕 士研 究 生 入学统 一考 试 数学考 试 大纲 解 析一书编 者 之一，北京、上海、广州、西 安等 地全 国著 名考 研 数学辅 导班 首 席主讲。张

2、宇数学教育系列丛书一-U X 一一TLJ 51 园O主编张宇 张宇数学教育系列丛书编委(按姓氏拼音排序)毕泗真 蔡燧林 陈静静 崔巧莲 高昆轮 胡金德 贾建厂雷会娟 刘硕罗浩史明洁王成富王慧珍王燕星蔚晨徐兵 严守权 亦-一書)于吉霞曾凡一善)张乐 张青云张婷婷张宇 郑光玉 郑利娜朱杰妙北京理工大学出廣社版 权专有侵权必究图书在版 编 目(CIP)数据张宇考 研 数学基础30讲/张宇主编.一北京：北京理 工大学出版 社,2020.8ISBN 978-7-5682-8878-1I张 张 HI.高 等 数学-研 究 生-入学考 试-自 学参考 资 料IV.013 中国版 本图书馆CIP数据核字(20

3、20)第144353号出版 发行/北京理 工大学出版 社 有限 责 任公司社址/北京市海淀区中关村南大街5号邮编/100081电话/(010)68914775(总编 室)(010)82562903(教材售后服务热线)(010)68948351(其他图书服务热线)网址/ht t p:/www.bi t pres s,经销/全国各地新华书店印刷/天津市蓟 县宏图印务有限 公司开本/787毫米X1O92毫米 1/16印张/3 3.75责 任编 辑/多海鹏字数/1092千字文案编 辑/多海鹏版次/2020年8月第1版 2020年8月第1次印刷责 任校对/周瑞 红定价/199.80 元责 任印制/李志强

4、图书出现 印装 质 量 问 题，请 拨打售后服务热线，本社 负 责 调 换 刖a这 本书是专门 供学生 考 研 数学基础 复习之用 的。之所以叫张宇考 研 数学基础30讲,是因为将考 研 数学中的 全部 基础 知 识 系 统 化和科 学化地分成了 30个部 分，希望考 生 一讲 一讲 地学，一关一关地过，最终 建立 起 考 研 数学的 基础 知 识 结 构，实现 真 正意义上的 夯实基础。一、这 是真 正意义上的 考 研 数学基础 教材考 研 数学命题 并没有指定教材，学生 可以自 行 选 择市面 上的 各种 教材进 行 复习，但有一个专业问 题：市面 上的 数学教材大多是为大学数学教学而 编

5、 写的，依据的 是本科 教学基本要 求,鲜 见 真 正意义上按照 全国硕 士研 究 生 招生 考 试 数学考 试 大纲（简 称考 试 大纲）编 写的 数学教材，尤其是基础 教材，本书就是 在多年一线 考 研 辅 导基础 上做出的 最新成果。二、这 是真 正意义上的 全程 视 频 讲 解我全程 讲 解 了这 本书，并且将讲 解 视 频 做了两种 系 统。一种 是整讲 观 看 系 统：扫描书中每一讲 开篇 的 二维 码，可以观 看 这 一讲 全部 的 视 频 讲 解，使得知 识 具有完整性和连 贯 性，适 合第 一遍 起 步复习。另一种 是逐 点观 看 系 统:扫描书中知 识 点旁的 二维 码，可

6、以有针 对性地观 看 对应这 一知 识 点的 视 频 讲 解，适 合第 二遍 查漏补 缺，巩固知 识。三、这 是基础 课 笔 记这 是我在基础 课 上讲 出来的 笔 记,学生 可以听着 课 跟 我一页 一页 地学，我把笔 记 写好了，你可以集 中 精 力认 真 听，不需 再记 大量 笔 记，我几乎把要 说 的 话 一句一句都 写出来了，请 务必搞懂吃透。四、这 是课 后作业每讲 后面 的 习题 与附 录基础300题作为课 后作业，所有题 目 均有详 细 解 答,课 后务必及时落 实。五、这 是答 疑 解 惑起 步阶 段的 复习，很多学生 会遇 到各种 问 题 和疑 惑：知 识 理 解 上的 问

7、 题，思路 方法上的 疑 惑。本书集 中回答 并希望能 够切实解 决学生 的 各种 问 题 和疑 惑。六、这 是减负 不是增负不论 你在读 哪本数学教材，本书都 可以作为思考 总结 的 笔 记，放在手边 随 时翻 阅，基础 阶 段的 知 识、思 路、题 型和方法，皆 会以清晰的 结 构呈现 在你面 前，把握在你手中。你若 能 再添砖 加瓦，画 龙 点睛，将其内 化为你自 己的，那 将是极妙的。七、看 到什么程 度一遍 当然不够。反复修炼直 至 字字搞懂、句句通 透 并熟 稔 于心。考 研 数学基础30讲感谢 命题 专家们给 予的 支持、帮助与指导，感谢 编 辑 老 师们的 辛 勤工作和无私 奉

8、献，感谢 学生 们的 努 力和信任。本书是我多年基础 阶 段教学经 验 的 总结，愿助潜心研 读 者 打好地基、夯实基础，勇攀考 研 数学高 峰。2目 录第部 粉高 等 数学.1第1讲 高 等 数学预 备知 识.3第2讲 数列极限.25第3讲 函数极限 与连 续 性.32第4讲 一元函数微分学的 概念与计 算.52第5讲 一元函数微分学的 几何应用.71第6讲 中值定理.85第7讲 零 点问 题 与微分不等 式.95第8讲 一元函数积 分学的 概念与计 算.104第9讲 一元函数积 分学的 几何应用.142第10讲 积 分等 式与积 分不等 式.150第11讲 多元函数微分学.157第12讲

9、二重 积 分.174第13讲 常微分方程.184第14讲 无穷 级 数（仅数学一、数学三要 求）.196第15讲 数学一、数学二专题 内容.218第16讲 数学三专题 内容.239第17讲 多元函数积 分学的 基础 知 识（仅数学一要 求）.248第18讲 三重 积 分、曲线 曲面 积 分（仅数学一要 求）.260第 二部 幼线 性代数.287第1讲 行 列式.289第2讲 矩 阵.308第3讲 向量 组.335第4讲 线 性方程 组.354第5讲 特 征值与特 征向量.373第6讲 二次型.4011、0考 研 数学基础30讲第 三部 豹概率 论 与数理 统 计（仅数学一、数学三要 求）.41

10、9第1讲 随 机事件与概率.421第2讲 一维 随 机变量 及其分布.442第3讲 多维 随 机变量 及其分布.466第4讲 随 机变量 的 数字特 征.494第5讲 大数定律与中心极限 定理.509第6讲 数理 统 计.5142第一部分高等数学BC第7讲 高 等 数学预 备知 识”_ 基础 知 识 结 构3考 研 数学基础30讲1.函数设 工与y是两个变量，D是一个给 定的 数集，若 对于每个值xE D,xE D,按照一定的 法则f,f,有一 个确 定的 值y与之对应，则称y为攵的 函数，记 作y=fM.y=fM.称 工为自 变量，为因变量 称 数集D D为此函 数的 定义域，定义域一般 由

11、 实际 背 景中变量 的 具体意义或者 函数对应法则的 要 求确 定.2.反函数设 函数y-fCx)y-fCx)的 定义域为D,值域为R.R.如果对于每一个yE R,yE R,必存在唯一的x Dx D使得y=f(x)y=f(x)成立，则由 此定义了一个新的 函数工=卩(丿).这 个函数就称 为函数y=y=的 反函数，一般 记 作工=它的 定义域为R,值域为D.相 对于反函数来说,原来的 函数也称 为直 接函数以下两点需 要 说 明.第 一，严格单调 函数必有反函数，比如函数丁=工气工0,+8)是严格单调 函数，故它有反函数 8=4.8=4.第 二，若 把x=fl(y)x=fl(y)与y=的 图

12、形画 在同一坐标系 中，则它们完全重 合只有把y-f(x)y-f(x)的 反函数工=写成y=P1(x)y=P1(x)后，它们的 图形才关于=工对称，事实上这 也是字母工与)互换的 结 果.3.复合函数设y=fCu)y=fCu)的 定义域为D.,函数“=g(_z)在D D上有定义，且g(D)UD,则由y=/t g(z)QWD)确 定的 函数，称 为由 函数“=g(z)和函数y=fMy=fM构成的 复合函数，它的 定义域为D,“称 为中间 变量，要掌握复合的 方法.4.函数的 四种 特 性(1)有界 性.设*2)的 定义域为D,数集ICZD.ICZD.如果存在某个正数M,使对任一工1,有1/()|

13、O,a Hl)(如图 l-l-3(a).图 1-1-3【注】(1)定义域：(00,4-00).值域：(0,+oo).(2)单调 性：当a l时，=/单调 增加；当OVa Vl时,y=aT,y=aT单调 减少.(3)常用 的 指数函数：y=e=(如图l-l-3(b).(4)极限：li m 才=0,li m e=+oo.x-x-o o Zf+o o(5)特 殊函数值:a =l,e=l.对数函数.j/=logaj;(a 0,a#l)(如图 l-l-4(a)是 y=ary=ar 的 反函数.【注】(1)定义域:(0,+oo).值域：(一oo,+oo).(2)单调 性：当a l时,j/=logaj?单调

14、 增加;当OVa Vl时=单调 减少.(3)常用 的 对数函数:y=ln工(自 然对数：In工=log“，e=2.71828-)(如图l-l-4(b).(4)特 殊函数值；logal=0,logaa=l,ln 1=0,i n e=l.(5)极 限：li mln 力=oo,li m In x=x=+oo.LO*l+8(6)常用 公式：工=2,/=占”=占(工0,“0).三角 函数.(i)正弦函数与余弦函数.正弦函数y=s i nz(如图l-l-5(a),余弦函数y=cos工(如图l-l-5(b).7考 研 数学基础30讲-7 1珈1尸s i n x xO O S/2 7Tx x1尸cos x-1

15、-10 0 tt/2(b)图1 1 5【注】(1)定义域:(-oo,+oo).值域：1,叮(2)奇偶性：y=s i n工是奇函数，y=cos工是偶函数，工(oo,+o).(3)周期性：j/=s i n x x和y=cos工均以2兀为最小正周期，工(8,+oo).(4)有界 性:|s i n xx 1,I cos x x|1.(5)特 殊函数值：s i n 0=0,cos 号=0,7t _ 1 Sl n-6 2s i n tc=097tcos _6一Ts i n 夸=-1,COS 兀=1 9s i n 2tc=0 97t 22cos-=-cos 4 2cos 夢=0,7t 1COST=1cos

16、2tc=1兀_扼 s ln 1 227t _罷 sl n_3 T5s i n 兮=1,cos 0=1,(i i)正切函数与余切函数.正切函数y=tany=tan工(如图1-1-6(a)9余切函数y=cot y=cot h(如图l-l-6(b).s i n x xt a n x=x=-cos x x1cos x xcot x x=：-s i n x x t a n x x图1 1-6【注】定义域：严t a n x的 定义域为工斗兀+今(gZ)的 一切实数z3/=cot工的 定义域为仏CZ)的 一切实数jc.值域：(OO,4-00).(2)奇偶性：y=t a n z和y=cot z均为奇函数(在其

17、定义域内).(3)周期性：j/=t a n H和y=cot Ty=cot T均以兀为最小正周期(在其定义域内).(4)特 殊函数值:t a n 0=0,t a n*=普，t a nf=l,t a n=箱,第7讲 高 等 数学预 备知 识(i i i)正割函数与余割函数.正割函数，=s e cz(如图l-l-7(a),余割函数y=cs c工(如图l-l-7(b).1 1图 1-1-7【注】(1)定义域：y=s e cz的 定义域为工工虹+兮以GZ)的 一切实数re；y=cs c工的 定义域为的 一切实数工.值域：(oo,l UEl+).(2)奇偶性：j/=s e c z为偶函数，y=cs c工为

18、奇函数(在其定义域内).(3)周期性：y=s ec z和y=cs cz均以2兀为最小正周期(在其定义域内).反三角 函数.(I)反正弦函数与反余弦函数.反正弦函数y=a rcs i nz(如图l-l-8(a),反余弦函数y=a rccos x(如图l-l-8(b).图 1-1-8y=a rcs i n x x 是）=s i n 手工手）的 反函数,y=a rccos x x 是 y=cos 的 反函数.9考 研 数学基础30讲(i i)反正切函数与反余切函数.反正切函数y=a rct a n工(如图l-l-9(a),反余切函数y=a rccot工(如图l-l-9(b).(a)图y y=a rc

19、t a n z 是夕=t a n x x牙)的 反函数,j/=a rccot x x 是 y=cot 2(0工兀)的 反函数.【注】定义域：(ex?,+oo).值域:j/=a rct a n x x的 值域为(号，号卜3/=a rccot x x的 值域为,兀)(2)单调 性：j/=a rct a n x x单调 增加=a rccot x x单调 减少.(3)奇偶性=a rct a n工为奇函数(在其定义域内).有界 性：两个函数在其定义域内有界，一-|-a rct a n hV号,0Va rccot xZn.xXq 9I申（工）9E=Ho,或 f（H）=f（H）=（Q,Xx x11考 研 数

20、学基础30讲（1）平移 变换.将函数y=fCx）y=fCx）的 图像沿z轴 向左平移0（00）个单位长 度，得到函数y=fx+x0y=fx+x0）的 图像（如 图1-1-13）；将函数y=f（x）y=f（x）的 图像沿工轴 向右平移 工。（工。0）个单位长 度，得到函数y=f（xx0）y=f（xx0）的 图像（如图 1-1-14）.图 1-1-13图 1-1-14将函数y-fdx）y-fdx）的 图像沿y轴 向上平移（%0）个单位长 度，得到函数y-f（x）+y0y-f（x）+y0的 图像（如 图1-1-15）；将丿=*工）的 图像沿y轴 向下平移0）个单位长 度，得到函数y=fdx）-y0y

21、=fdx）-y0的 图像（如图 1-1-16).图 1-1-16（2）对称 变换.将函数y-fCx）y-fCx）的 图像关于工轴 对称，得到函数y=gy=g 的 图像（如图1-1-17）.将函数=/&）的 图像关于y轴 对称，得到函数y=fCx）y=fCx）的 图像（如图1-1-18）.将函数y=fCx）y=fCx）的 图像关于原点对称，得到函数y=-fCx）y=-fCx）的 图像（如图1-1-19）.将函数的 图像关于直 线，=工对称，得到函数y=广（工）的 图像（如图1-1-20）.图 1-1-19y=rx)保留 函数U在工轴 及Z轴 上方的 部 分，把X轴 下方的 部 分关于工轴 对称

22、到工轴 上方并去掉12第7讲 高 等 数学预 备知 识原来下方的 部 分，得到函数y=fCx）y=fCx）|的 图像（如图1-1-21）.保留 函数y=fCx）y=fCx）在y轴 及y轴 右侧的 部 分，去掉y轴 左侧的 部 分，再将y轴 右侧图像对称 到y轴 左侧，得到函数y=f（x）y=f（x）的 图像（如图1-1-22）.（3）伸缩 变换.水平伸缩=仏 1）的 图像，可由y=fSy=fS的 图像上每点的 横坐标缩 短 到原来的+倍且纵 坐标不变得到（如图1-1-23）；=/每工）（0怡1）的 图像，可由y=fy=f的 图像上每点的 横坐标伸长 到原 来+倍且纵 坐标不变得到.垂直 伸缩：

23、y=kf（x）（kl）：y=kf（x）（kl）的 图像，可由y=gy=g 的 图像上每点的 纵 坐标伸长 到原来的 怡倍且横坐 标不变得到（如图1-1-24）；y=好（刃（0怡1）的 图像，可由y=_/Q）的 图像上每点的 纵 坐标缩 短 到原来 的&倍且横坐标不变得到.（二）极坐标系 下的 图像（gG,0）=O）1.用 描点法画 常见 图像（1）心形线.下面 画 出心形线r=a（l-cos 0）（a 0）的 图形.其表 达 式的 右端 是以2k为周期的 周期函数，作图时只要 考 虑0&2兀就可 以了并且，对于方程 的 右端，0换作（2兀一&）时，其值不变，也就是说，如（0,厂）是 曲线 上的

24、 一个点，则（2兀一0）也是曲线 上的 一个点，因此图形以极轴 为对称 轴，图 1-1-25从而 只需 先考 虑00兀.当0由0增大到兀,cos 0的 值由1逐 渐减小到一1,从而，r由0逐 渐增大到2a.计 算 出曲线 上的 若 干个 点，列表 如下：9 907tT7TT7tT7tT2 k T3兀T5兀T7Tr r02_y3 2 a a2_22212a2aa a32a2a2+a/22+a/32a2a13考 研 数学基础30讲描岀这 些点，连 接成一条光滑曲线，然后利用 它对极轴 的 对称 性画 出全部 图形.这 条曲线 叫作心形线（如图 1-1-25）.描出这 些点，连 接成一条光滑曲线.这

25、 段曲线 由 弧段1,2,3,4构成（如图1-1-26）.在=0冬苒 的 范 围内，可以按照同样的 规 律画 出由 弧段5,6,1,2所构成的 曲线，在苧=02兀的 范 围内，同样可画 出由 弧段3,4,5,6所构成的 曲线.这 样就得到了曲线 的 全部.这 曲线 叫作三叶玫 瑰 线.（3）阿 基米 德螺 线.下面 画 岀r=a 0（a O,0$O）的 图形.当0（妙0）由0增大时,r亦逐 渐增大，这 曲线 称 为阿 基米 德螺 线（如图1-1-27）.（4）伯努利双纽 线.设 定线 段AB长 度为2a,动点M满足MA MB=a2MB=a2,那 么M的 轨 迹 称 为双 纽 线.取为夂轴，中点

26、为原点，那 么的 坐标分别为（一a,0）,（a,0）.设 M（.x,y）M（.x,y）,则有7（+a）2+y-V-aY+y2=a2,V-aY+y2=a2,整理 得 a2+y）2=2a2（x2-y）.在极坐标系 中，可化简 得r2=2a2cos 29.29.图 1-1-27在极坐标系 中，双纽 线 的 极坐标方程 常常写成/=a 2cos 20（如图1-1-28）,或 a s i n 20（如图1-1-29）.r2=a2cos 2020图 1-1-28图 1-1-2914第7讲 高 等 数学预 备知 识比如下面 画 出r2=a2s i n20(a O)的 图像，由r=a 29,r=a 29,知0

27、的 取值范 围是U当0从0增加到于时,7从0增加到a.故在图l-l-3 0(a)中画 出相 应的 部 分；当0从于增加到号时,r 从a a减少到0.在图l-l-3 0(b)中画 岀相 应的 部 分；当0从兀增加到乎时，r从0增加到a,在图l-l-3 0(c)中 画 出相 应的 部 分；当0从增加到警 时从a减少到0,在图l-l-3 0(d)中画 出相 应的 部 分.最后形成一个“a”形图像，这 曲线 称 为伯努利双纽 线.图1-1-30伯努利双纽 线 的 作图过 程2.用 直 角 系 观 点画 极坐标系 下图像比较 直 角 坐标方程=夂，它表 示 平面 上的 一条直 线，而 极坐标方程 表 示

28、 螺 线.以方程 的 角 度看 问 题,两个方程 的 形式相 同，只是表 示 变量 的 字母不同而 已，但是由 于坐标系 不同，它们表 示 的 曲线 完全不同(如图1-1-3 1,图1-1-3 2).这 里 启发我们，若 较 易画 岀直 角 坐标系 观 点下r=fC0)r=fC0)的 图像，可转 化为极坐标 系 下的 曲线 图像.比如r=2(l+cos 0),较 易画 出其在直 角 坐标系 观 点下r=f(9)r=f(9)的 图像.如图1-1-3 3所示，可转 化为极 坐标系 下的 图像，如图1-1-3 4所示，若 读 者 掌握此种 方法，不失为一个妙招.15图 1-1-34考 研 数学基础3

29、0讲（三）参数法参数方程 b=，（，（t）前面 的（一）与（二）介绍 了如何在直 角 坐标系 或极坐标系 内用 动点坐标（工,$）或（厂,0）来表 示 平面 内一 些曲线 的 方程.但在实际 问 题 中，有些曲线 用 以上的 方法来表 示 比较 困难，也就是说 很难 找到曲线 所满足 的/（J7,3/）=0或g（r,0）=O的 式子.这 个节 目 将引入一个新变量（叫作参数）来表 示 曲线 方程，即参数 方程.（1）摆线.设 自 行 车 外胎 上粘 了一点红 色 的 油漆，当你骑 车 向前直 行 时，这 个油漆红 点就在平面 上形成一条轨 迹，这 轨 迹 就是摆线.用 数学语 言 描述 如下：

30、当一个圆沿一条定直 线 作无滑动的 滚动时，动圆圆周上一个定点的 轨 迹 叫作摆线（如图1-1-3 5）.现 取已给 的 这 条定直 线 为工轴，其正方向就是圆滚动的 方向，当这 圆与直 线 在圆上的 定点A相 切时，就取这 点为原点O取半径帀旋转 的 角 度t为参数对于所求运 动轨 迹 上的 任何一点A（z,y）,由 图1-1-3 6因此，所求定点A的 运 动轨 迹 的 参数方程 为容易看 出z=OP=OQ PQ,OQ PQ,I OQ|=圆弧Q4的 长 度=川，|PQ PQ=|=|ACrACr|s i n t=rs i n t,t,故得x=rtx=rt rs i n t.t.由 图也容易看

31、出y=PA=|Q Cf|y=PA=|Q Cf|DCf|DCf|=厂一厂cos t.t.工=厂(s i n t t)9 j/=r(1 cos t)(*):【注】上面 的 推导过 程 只适 用 于OWt V兮的 情况，当t取其他任何值时，推导的 方法是相 仿I的，所得结 果与（*）式完全一样因此（*）式中没有写出t的 变化范 围，这 就意味着t可取任何实 i i数值.16第7讲 高 等 数学预 备知 识摆线 的 图形具有周期性，当t增加2兀时，也就是说，圆滚动一周时，摆线 上的 点的 横坐标增加了 2打,纵 坐标不变.圆继 续 滚动，圆上的 定点A就描绘 出一拱接一拱的 图形.容易看 出，从原点开

32、始的：第 一拱以直 线 乂=兀厂为对称 轴，拱顶 的 坐标是(7t r,2r).要 从(*)式消去参数t是不困难 的，但所得工，)间 的 函数表 达 式较 复杂.因此我们常通 过(*)t t 式来直 接研 究 摆线.(2)星形线.如图l-l-3 7(a)所示，一个小圆J J在一个固定的 大圆K内部 作纯 滚动，如果大圆半径r是小圆半径的4倍，那 么小圆圆周上任一点M的 轨 迹 称 为星形线，如图l-l-3 7(b)所示.V此轨 迹 方程 的 推导过 程 要 用 到较 繁 杂的 几何知 识 与三角 公式，不作要 求,读 者 记 住它的 参数方程 表 达 式即可则表 达 式为(x=rcos3i9(

33、x=rcos3i9y=rsin3t9y=rsin3t9若 消去t,可得 吕+费=畀，此为直 角 坐标方程.三、常用 基础 知 识1.数列(1)等 差数列.首 项 为Qi,公差为d(dHO)的 数列a】，如+/,如+2d,，a i+(”一!)/,.通 项 公式an=a1an=a1+(n1)/.前 n n 项 的 和 S”=2a i+(”一l)d=(a i+a”).(2)等 比数列.首 项 为21，公比为r(r#O)的 数列axax，山孑，,axrnl,axrnl，.通 项 公式a”=a i r7.r=l,前项 的 和S”=S a】(l r)1-rr#l.17考 研 数学基础30讲常用 l+HV+

34、.+r”-i=&Hi).1 r r(3)些常见 数列前兀项 的 和.2立=1+2 十3 ”_(+l)k=l6段=2+22+3 2+.+“2=(+1)(2+1)怡=1S KITT)=12+23+3 4+n(nn(n+1)n n/T+T2.三角 函数(1)三角 函数基本关系.1 _ 1cs c a a=-：9 s ec a=a=-s m a a cos a a1cot a=-t a n a as i n a a cos a at a n a=a=-,cot a=a=-cos a a s i n a as i n2a+cos2a=1,1+t a n2a=s ec2a,l+cot2a=cs c2a.(

35、2)诱 导公式.角e e 函数、7T2a2a兀-UT+a7：a a兀+a3亍a詐+a2兀一a90-o90+a180 a180+a270 a270+a3 60 as i n 9 9cos a acos a as i n a a s i n a acos a acos a a s i n a acos 9 9s i n a a s i n a acos a acos a as i n a as i n a acos a at a n 9 9cot a a cot a at a n a at a n a acot a a cot a at a n a acot 9 9t a n a at a n a

36、 a cot a acot a at a n a a t a n a a cot a a【注】如上表 所示，奇变偶不变，符 号看 象 限(因任一角 度均可表 示 为y+a,eZ,|a|/3-1_V330oo0cot a aooV31V330_V33-1V3-OO0oo【注】(l)s e ca和cs ca的 函数值可由 土和佥得出(2)表 格中的“s 均是指极限 结 果，如t a n 90处的“oo”，是指li mt a n x90*(4)重 要 公式.倍角 公式.s i n 2a=2s i n a cos a,cos 2a=cos2a s i n2a=1 2s i n2a=2cos2a 1,s

37、 i n 3 a=4s i n3a+3 s i n a,cos 3 a=4cos a 3 cos a,c _ 2t a n a at a n 2a=l-t a n2，COto _cot2a12a=_2F半角 公式.s i rfcos F号=(l+cos a),(降 幕公式).a.a I/l cos a a s i nT=V2cos f=/1+cos aa a 1 cos a a s i nt a n=s i n a a 1+cos a aa a=+/I cos aV 1+cos a al2=cos a),2a aCOtT=l-cos a s i n as i n a a _ 1+cos a a

38、_,/1+cos aV 1cos a a和差公式.s i n(a P)=s i n a cos/?+cos a s i n 0,cos(a+/?)=cos a cos 0干s i n a s i n 0,t a n a土 t a n B Bt a n(a土叶韦怎爲ct(a p)=积 化和差与和差化积 公式.cot a cot 0干 1cot 士 cot a a*(i)积 化和差公式.s i n a cos 0=*s i n(a+0)+s i n(a0),cos a s i n 0=s i n(a+0)s i n(aP),cos a cos 0=*cos(a+/3)+cos(a/?),s i n

39、 a s i n-cos(q/?)cos(a+/?)(i i)和差化积 公式.s i n a+s i n 0=2s i n。j cos 纟 尹,s i n a-s i n 0=2s i n a cos 19考 研 数学基础30讲cos a+cos p=2cos 3才cos 込 cos q cos/?=-2s i n as i n万能 公式.若u=t a n号（一兀 工 兀），则s i n x=x=2u2u1+?，COS T=1 u21W*3指数运 算 法则a十，寻）-屮，（妙=松,仔）=各其中a,6是正实数,a,0是任意实数.4.对数运 算 法则lo&（MN）=log“M+log.N（积 的

40、对数=对数的 和）.log。-j y-=logM logaN（商的 对数=对数的 差）.G)logaM=logaM(幕的 对数=对数的 倍数).logaW=loguM.5.一元二次方程 基础一元二次方程 ax2ax2+6j c+c=0（a#0）.根的 公式4,2=士 4a c2a2a根与系 数的 关系（韦 达 定理）1+力2=X iX2 X iX2=.=.a aa a 判别式A=b24：ac.A=b24：ac.0,方程 有两个不等 的 实根；=（）,方程 有两个相 等 的 实根沁0,方程 有两个共辄 的 复根.抛物 线y=ax2+b x+cy=ax2+b x+c的 顶 点（一昜,c 备）.6.

41、因式分解 公式Q)(a+6)2=a2-2ab b2.=a2-2ab b2.(a+b)3=a3+3 a264-3 a 62+63.a?62=(a+6)(a b).a3+63=(a+6)(a2 a&+62).(a b)2=a2 b)2=a2 2ab b2 2ab b2 Ca-b y=a3-3a2b+3ab2b Ca-b y=a3-3a2b+3ab2b a3 b3b3=(a b)(a2-ab b2).b)(a2-ab b2).anbn=anbn=(a-6)(an_1+an2b+an2b-abn2+bn(.nabn2+bn(.n 是正整数).72是正偶数时9anbn9anbn=(a+b)(严 an2b

42、an2b-abn2abn2 一夕一】)死是正奇数时,an+bn an+bn=(a+6)(a 1-an2b-an2b-abn2+bnx).abn2+bnx).二项 式定理(a+b)=/an+na b+-(W Dan+na b+-(W Da 262 H-Fn(nn(n 一1)；(+1)严胪+.+说 I k!7.阶 乘与双阶 乘！=1 2 3.，规 定 0!=1.+6.20第7讲 高 等 数学预 备知 识(2Q!=2*4-6.(2x)=2”n.n.(2宛1)!=1 3 5.(2n 1).&常用 不等 式(1)设a,&为实数，则|a士b|0).(当 n0 时,ab,ab,(3)设 ab 0,ab 0,

43、则I 当 0 时,anb,anb 若OVaGSOVcQVd,则亍于 务(5)s i n HVEVt a n x xOVjcVf)(6)s i n工0)(7)a rct a n j cj ca rcs i n 工(0冬工1)(8)b z+l(Vh)(9)j;lln 力(无0)(10)p ln(l+y)0).【注】证 明 令/（）=lnx,并在区间鼻,工+1上对其应用 拉格朗日中值定理，有In(1+丄)=ln(1+工)In x=-x=-0工 工+1.因此，对任意的 夂0,有工0,2工9工+2,jc2,hVO,卩(e)=工，(2)f(x)=(p(j：)=f(x)=(p(j：)=1丄，工0I x x（

44、2（工）9 甲（r）0,解（1）代卩（工）=9（JC）+2,申（JC）。.又当卩（工）0时，工M0,且卩（工）=x；当申（工）0时，工V0,且甲（工）=x2=x2，于是（2（乂），工$0,（2+无，jcO,代卩（工）=丨2+工2,rV0 I 2+jc2,jcVO.（2）兀卩（工）=兀*工）=igvo.22第7讲 高 等 数学预 备知 识又当*工）$0时，工0,且 工;当/（工）0时，工V0,且fS=fS=丄，于是X X/甲（工）=兀/（工）=丄，工vo=1（无，工$0,=H（ooVzV+oo）rVOX X例I.HH证 明函数/（工）=0），有 I-3 71$2|x=|x=2,即 1/（7）|当

45、工=0时，/（0）=0.综 上，函数/（!）在（-00,4-00）内有界.In JxJx 9 工$1,.1.I-1 设/（工）=彳 求/2无一hV11.1.2 设/（）=-，试 验 证/心/（工）=工,并求这 里1.1.3 求函数）=2工+|2 工|,工（8,+oO）的 反函数.1.1.4画 出r=a（a 0M0）的 图形.（这 里e是以后常要 用 到的 一个常数，以e为底的 对数称 为 自 然对数，e2.7182&）1解 答I1.1.1J In J fS,J fS,.2/（x）1,/（工）$1,/（J7）1.解由 题 设 可得：当时,e2,此时/（）=ln77；当fCxX lfCxX l时，

46、或者1工誉，此时/（j;）=lnV7,或者xl,xH=；y2,y4；当工2 时,夕=3攵23力=：?9夕4x x2,工49)2,综 上所述 即得we工,）互换：夕4夕=0+2工4（力一2,工4,于是 9 若 记 于（无）=2乂+|2x2x 口&（o+x）,则有 f_f_（）5 工+2丁，_z4.1.1.4解 当0由0逐 渐增大时，厂由a a逐 渐增大，当0无限 制地增大也随 之无限 制地增大.当d d 由0逐 渐减小，r由a逐 渐减小，但r却永远 保持正值，当0由0无限 制地减小，r也随 之无限 制地接近 于0.如图1-1-40所示，是取a=2,k=0.2a=2,k=0.2时画 出来的.这 曲

47、线 叫作对数螺 线（如图1-1-40）.24第2讲 数列极限口 基础 知 识 结 构基础 内容精 讲 1.引言极限，从通 俗、直 观 的 意义上讲，是一个“无限 趋 近 的 过 程”.给 一个简 单的 数列（缶 丨，若 从第1项 开始一直 写下去,那 就是务，缶，,十1丿 2 3 4 n+1不难 发现，随 着x无限 增大皿 与兀+1的 比值无限 趋 近 于1,这 就写成了li m y-r-=1.”8 7?十丄但若 从专业角 度讲，可没这 么简 单,不妨通 过 下面 这 段两个学生 之间 的 对话 来琢 磨.学生 甲：给 出-个数列其通 项 治，当”无限 增大时，这 个数列趋 向于-个值1,这

48、叫作极限 值，可写成li m=1.”8 十 J.学生 乙：嗯，当充分大时，我可以理 解Trr与1会非 常非 常接近，此数列应该 会趋 向于常数1，但数学”十1是讲 究 精 确 的 学科,你能 给 我指出一个数N 0,使得这 个数列中下标大于N的 项 与你说 的 极限 值1之间 的 距 离 最终 保持在（0,e）之内吗？250?考 研 数学基础30讲学生 甲：好，我来尝试 一下,这 个数列的 第n n项 与数1之间 的 距 离 是 士-1=召,让 此距 离 最终 力十丄 Z2+1Z2+1保持在（0心之内，也就是由 V,反解 出”来，即Q 1,这 样-来,随 便你给 我什么正数,只要 我从数列的

49、第N项 开始，其中N y-1,在此之后的 所有项 都 会有n n-1 0（不论 它多么小），总存在正整数N,使得当”“时,|-a|0,3 NEN+,当”“时，恒有|-a|e.【注1】这 是用“e N语 言”来描述 数列极限.符 号“V”是英 文Arbi t ra ry（任意的）的 首 字母上 I I下方向倒着 写出来的；符 号“弓”是英 文Exi s t（存在）的 首 字母左右方向倒着 写出来的.I【注2】数列收敛与其子列收敛的 关系.i定义从数列a”：,a?，a”，中选 取无穷 多项，并按原来的 先后顺 序组 成新的 数列，称 新数列为原数列的 子列，记 为a”，:a”，,a”,a”，其中下

50、标坷，血，皿，为正整数.例如，若 皿=1,2,）分别取为2k2k和2kl,2kl,则得到数列a”的 两个子列8 j fef 8 k-OO3.收敛数列的 性质定理1（唯一性）给 出数列九,若li mz”=a（存在），则a是唯一的.”一 一8定理2（有界 性）若 数列九极限 存在，则数列九有界.定理3（保号性）设 数列a”存在极限a,且a 0（或a NnN时，有a0a0(或 a”V0).推论 如果数列a”从某项 起 有a”0,且!i a”=a,则a$0.4.极限 运 算 规 则设li mz”=a a,li my”=b,则n*oo*oo 1曲（九3）=a士b;”f 8 li mz”y”=a b；nf