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1、2015年北京高考文科数学试题及答案2015年北京高考文科数学试题及答案:未经允许 请勿转载 25年北京市高考数学试卷文科一、选取题每题5分,共40分15分21北京若集合=x|52,B=|3x3,则AB= 未经许可 请勿转载 Ax|32Bx|x2.|x3D.|50的一个焦点，则b= .未经许可 请勿转载 135分205北京如此图,ABC及其内部的点组成的集合记为D，Px,y为D中任意一点,则z=2xy的最大值为 .未经许可 请勿转载145分201北京高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如以以下图，甲、乙、丙为该班三位学生.未经许可 请勿
2、转载从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ;在语文和数学系两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .三、解答题共80分151分5北京已经知道函数fx=sinx2sn21求fx的最小正周期;2求x在区间0,上的最小值 613分01北京已经知道等差数列an满足a2=10,a4a3=2求an的通项公式;2设等比数列b满足b=a,b3=a7,问：与数列an的第几项相等？ .3分21北京某超市随机选取00位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表,其中“表示购买，“表示未购买 未经许可 请勿转载甲乙丙丁00217230085981估计顾
3、客同时购买乙和丙的概率；2估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;3如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 814分2015北京如此图,在三棱锥VAB中,平面VAB平面AB，VAB为等边三角形，CB且CB=,O，分别为AB,VA的中点未经许可 请勿转载1求证：VB平面MOC;求证:平面MOC平面VAB3求三棱锥VBC的体积 19.3分2015北京设函数x=l，k1求fx的单调区间和极值；2证明:若fx存在零点,则f在区间1，上仅有一个零点2.14分205北京已经知道椭圆：x+3y2=3，过点D1,0且不过点E2,的直线与椭圆C交于A,两点，直线E与直线交
4、于点M未经许可 请勿转载1求椭圆C的离心率；2若A垂直于x轴,求直线BM的斜率；3试判断直线与直线DE的位置关系，并说明理由.015年北京市高考数学试卷文科参考答案:与试题解析 一、选取题每题分,共分.5分215北京若集合=x5x2，Bx|3，则AB= 未经许可 请勿转载A.x|3xBx|52C.3x3Dx|5x3考试点：交集及其运算.专题：集合.分析:直接利用集合的交集的运算法则求解即可解答:解：集合A=x|5x2，B=x33，则AB=|x.故选：A点评：此题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力. 2.5分05北京圆心为1,1且过原点的圆的方程是 A.x12+12=1.Bx+12+y+1C
5、.x+y+12=2x12+y12=2考试点：圆的标准方程专题:计算题；直线与圆.分析:利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程.解答：解：由题意知圆半径r,圆的方程为x12y2=故选:D点评:此题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题，注意圆的方程的求法,是基础题. 3分2015北京以下函数中为偶函数的是 y=x2snxB.y=x2osxCl|Dy=2x考试点:函数奇偶性的判断.专题:函数的性质及应用.分析：首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断与x的函数值关系,相等的就是偶函数解答:解:对于A,x2sinx=x2sin；是奇函数；对于B，x2csx=xcosx；是偶函数;对于C,
6、定义域为,+,是非奇非偶的函数;对于D，定义域为R,但是2x=x2，2x2;是非奇非偶的函数；故选B点评:此题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称,函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断fx与x 关系，相等是偶函数，相反是奇函数45分2015北京某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中，青年教师有20人,则该样本的老年教师人数为 未经许可 请勿转载类别人数老年教师900中年教师青年教师600合计4300 A90B.010D.300考试点:分层抽样方法.专题：计算题；概率与统计.分析:由题意,老年和青年教师的人数比为
7、00：6009:1,即可得出结论解答：解：由题意,老年和青年教师的人数比为9:16009:6,因为青年教师有0人,所以老年教师有10人,故选:C点评：此题考查分层抽样,考查学生的计算能力，比较基础 55分205北京执行如以以下图的程序框图,输出的k值为 A.3B.4C.5D.考试点：程序框图.专题:图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a,退出循环,输出的值为4解答:解:模拟执行程序框图,可得k=0,=3，q=,k=1不满足条件a,a=,k2不满足条件a,a=,k=3不满足条件a，a，k=4满足条件a,退出循环，输出的值为.故选：B点
8、评:此题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题5分2015北京设,是非零向量,“|是“的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考试点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算专题:平面向量及应用；简易逻辑.分析:由便可得到夹角为0，从而得到,而并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项解答：解：1；时,os1；;“是“的充分条件;2时，的夹角为0或；,或;即得不到;“不是“的必要条件;总上可得“是“的充分不必要条件.故选A点评:考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,
9、数量积的计算公式，向量共线的定义,向量夹角的定义. 5分201北京某四棱锥的三视图如以以下图,该四棱锥最长棱的棱长为 ABC.D考试点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离.分析：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据，可得答案:：:解答:解：由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如此图：其中A平面ACD,底面D为正方形A1，AB=1，AD=1,PB=,PC=P=该几何体最长棱的棱长为:故选:C.点评：此题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答此题的关键 8.5分015北京某辆汽车每
10、次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量升加油时的累计里程千米2015年5月1日123500215年5月5日83560注:“累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每1千米平均耗油量为 未经许可 请勿转载 A6升.8升C.10升2升考试点:一次函数的性质与图象专题:函数的性质及应用分析：由表格信息，得到该车加了升的汽油,跑了600千米，由此得到该车每00千米平均耗油量解答:解：由表格信息,得到该车加了48升的汽油，跑了600千米,所以该车每10千米平均耗油量48=8；故选:B点评:此题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.二、填空题9.5
11、分2015北京复数i1+i的实部为 1 .考试点：复数的基本概念.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的乘法运算法则,求解即可解答：解:复数1+1+i,所求复数的实部为：1故答案:为：1.点评:此题考查复数的基本运算，复数的基本概念,考查计算能力 105分015北京3,，og25三个数中最大数的是lg25 .考试点：不等式比较大小专题:函数的性质及应用.分析：运用指数函数和对数函数的单调性,可得031，12,lo25lo24=2,即可得到最大数解答：解:由于023，12，loglog4=2，则三个数中最大的数为l25.故答案:：:为：og25点评：此题考查数的大小比较,主要考查指数函数和
12、对数函数的单调性的运用，属于基础题115分201北京在BC中，=3，b=，=,则B=.考试点:正弦定理.专题:解三角形分析:由正弦定理可得siB，再由三角形的边角关系,即可得到角B解答：解：由正弦定理可得,，即有iB=，由ba,则B0的一个焦点,则= .未经许可 请勿转载考试点:双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得双曲线x2=10的焦点为，0,可得b的方程,即可得到b的值解答：解：双曲线x2=1b0的焦点为，0，,0，由题意可得2，解得b=.故答案:：为：.点评:此题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题 15分21北京如此图,AC及其内部的点组
13、成的集合记为D，x,y为D中任意一点，则=+3y的最大值为 7 未经许可 请勿转载考试点:简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值解答:解：由=2x+3y，得=，平移直线y=，由图象可知当直线=经过点A时,直线y=的截距最大,此时z最大.即A2，1此时z的最大值为z=231=7,故答案:：:为：7点评：此题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 4.分20北京高三年级2位学生参加期末考试,某班7位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如以以下图，甲、乙、丙为该班三位学生.未经许可 请勿转载从这次考试成绩看
14、，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙 ;在语文和数学系两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学考试点：两个变量的线性相关.专题:概率与统计分析：根据散点图分析三位同学总成绩名次，语文、数学名次解答:解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙;在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学;故答案:：为:乙;数学点评:此题考查了对散点图的认识；属于基础题. 三、解答题共8分1513分015北京已经知道函数fxinsn2求的最
15、小正周期；2求fx在区间0，上的最小值.考试点:三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数；三角函数的最值.专题:三角函数的图像与性质分析：1由三角函数恒等变换化简函数解析式可得fx2six+,由三角函数的周期性及其求法即可得解；2由x，可求范围x+，,即可求得fx的取值范围，即可得解解答：解：1sinsin2=sin2=x+cosx=2ixfx的最小正周期T=2；2x,x+，nx+0,1，即有：fx=2nx+,2，可解得x在区间,上的最小值为：点评:此题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查. 1.13分2015北京已经知道等
16、差数列an满足a1210，31求an的通项公式；2设等比数列n满足b2=a3,b3=a,问:b与数列an的第几项相等?考试点：等差数列的性质专题：计算题;等差数列与等比数列分析:由aa,可求公差d，然后由12=10，可求a，结合等差数列的通项公式可求II由=a3=,b=a16，可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求6,结合I可求解答：解:I设等差数列an的公差为d.a4a32,所以2a1a21，所以a1+d=1=4,an=42n1=2n+2n=1,，I设等比数列bn的公比为，b2=a3=,b3=7=，q2，14=128，而128=2+2n63b与数列an中的第6项相等点评:此题主
17、要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,属于对基本公式应用的考查，试题比较容易.17分2015北京某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“表示购买,“表示未购买未经许可 请勿转载甲乙丙丁101700085 98估计顾客同时购买乙和丙的概率；2估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率;3如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?考试点:相互独立事件的概率乘法公式专题：概率与统计分析：1从统计表可得,在这100名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.2根据在甲、乙、丙、丁
18、中同时购买3种商品的有30人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.3在这000名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论.解答:解:从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有00人,故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2在这00名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有10=300人,故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率为=.3.在这1名顾客中，同时购买甲和乙的概率为0.2，同时购买甲和丙的概率为=6,同时购买甲和丁的概率为=0，故同时购买甲和丙的概率最大点评:此题主要考查古典概率、互斥事件的概率加
19、法公式的应用，属于基础题. 1814分2015北京如此图，在三棱锥B中,平面VAB平面AB，VAB为等边三角形,ACB且=B=,M分别为A,VA的中点.未经许可 请勿转载求证:VB平面MO;求证：平面OC平面VAB3求三棱锥VBC的体积.考试点:棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定.专题：综合题;空间位置关系与距离.分析：1利用三角形的中位线得出OV,利用线面平行的判定定理证明VB平面MC；2证明:OC平面VAB，即可证明平面MC平面VAB3利用等体积法求三棱锥VABC的体积解答：1证明:O，分别为，的中点，MB,VB平面MOC,平面C,V平面MOC；2AC=BC
20、,O为AB的中点,OCAB,平面VAB平面ABC,OC平面BC,OC平面VA，OC平面MOC,平面MC平面VAB3在等腰直角三角形A中,ACC=，A=,OC=1，SVAB=，C平面VA,VCVABSVB=,VVBC=VB=点评:此题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键. 1分201北京设函数x=nx，0.1求x的单调区间和极值;证明:若fx存在零点，则fx在区间1，上仅有一个零点考试点:利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值专题:导数的综合应用分析:1利用f0或f0求得函数的单调区间并能求出极值;利用函数的导数
21、的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况解答:解:由x=x由x=0解得x=与f在区间0，+上的情况如下:X , f fx所以,fx的单调递增区间为，单调递减区间为0，；fx在x=处的极小值为f=2证明:由1知，fx在区间0，+上的最小值为=.因为fx存在零点，所以，从而ke当k=e时,fx在区间1,上单调递减,且f=所以=是fx在区间1,上唯一零点.当ke时，在区间0，上单调递减，且,所以x在区间，上仅有一个零点综上所述，若fx存在零点，则x在区间1,上仅有一个零点.点评:此题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于常见题型. 20.1分2015北京已经知道椭圆C:x2+3
22、2=3,过点D1，0且不过点E2,1的直线与椭圆C交于A，B两点，直线与直线x=交于点未经许可 请勿转载1求椭圆的离心率；2若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率；3试判断直线M与直线DE的位置关系，并说明理由考试点：直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析：1通过将椭圆C的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论；2通过令直线AE的方程中x=,得点M坐标，即得直线BM的斜率；3分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理,计算即可解答：解：椭圆C：x2323，椭圆C的标准方程为：y2=1，=，b=1,c=,椭圆C的离心率e=；2B过点D1,0且
23、垂直于x轴，可设A1,y1,B1,y1，E2,，直线AE的方程为：y=1y1x，令x=3,得3,2y1,直线BM的斜率M=1;3结论：直线BM与直线平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由2知M=1，又直线D的斜率kDE=,BMD;当直线AB的斜率存在时,设其方程为=kk,设A1，y1,x,y2,则直线AE的方程为y1=x2，令x=3,则点M3，直线BM的斜率kM，联立，得1+32x26x+3k3=0，由韦达定理，得x+=,x1x2=,kBM=0，kBM=kD，即BMDE；综上所述，直线BM与直线DE平行点评:此题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题 未经允许 请勿转载