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1、2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）2015年全国统一高考数学试卷理科新课标含解析版未经允许 请勿转载 201年全国统一高考数学试卷理科新课标一、选取题共12小题,每题5分，满分60分1.5分设复数z满足=，则z=A1B.CD22.分in20os10cos16sin10 A.B.C.D3.分设命题p:N,2n,则为 A.N，2n BN,n22n N,22 nN,2=2未经许可 请勿转载5分投篮测试中，每人投3次,至少投中次才能通过测试.已经知道某同学每次投篮投中的概率为.6，且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为未经许可 请勿转载A.648B.0.32C.
2、036D.0.31255分已经知道0,y0是双曲线：=上的一点,F1，F2是C的左、右两个焦点，若0,则y的取值范围是未经许可 请勿转载.BC.D.65分九章算术是我们国家古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺问：积及为米几何？“其意思为:在屋内墙角处堆放米如此图，米堆为一个圆锥的四分之一,米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已经知道1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有未经许可 请勿转载A14斛22斛C36斛D斛75分设D为ABC所在平面内一点，则 ABC.8.5分函数fx=cosx+的部分图
3、象如以以下图,则x的单调递减区间为 A.k，k+,kzB2,k+，zCk，k+,.,2k，kz9.5分执行如以以下图的程序框图,如果输入的t001，则输出的n= A56C810分+5的展开式中,x5y的系数为A.10B.D015分圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如以以下图若该几何体的表面积为1+0,则r=未经许可 请勿转载B.2C.4D8125分设函数xex2x1x+a,其中1，若存在唯一的整数x0使得fx00，an22an4n+3I求an的通项公式:设bn=,求数列bn的前n项和1.12分如此图，四边形ABC为菱形,AB=12，E,F是
4、平面ACD同一侧的两点,B丄平面ACD,DF丄平面 ABCD,E=2DF,AE丄C未经许可 请勿转载证明：平面AEC丄平面求直线AE与直线CF所成角的余弦值.112分某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x单位:千元对年销售量y单位：t和年利润z单位:千元的影响,对近8年的年宣传费i和年销售量i=1,2，,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值未经许可 请勿转载xi2xiywyi46563.289.8.6149108表中wi=，根据散点图判断,=a+x与y=c哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?给出判断即可，不必说明理由未经许可 请勿转载根据的判断
5、结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;已经知道这种产品的年利润z与x、的关系为z=0.2yx.根据的结果回答以下问题:i年宣传费4时,年销售量及年利润的预报值是多少?ii年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据1 v,u2v2.un vn，其回归线v+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=,=未经许可 请勿转载.12分在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kaa0交于M，N两点当=时,分別求在点M和N处的切线方程轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由211分已经知道函数fx=x3+ax,=ln当a为何值时,x轴为曲线=f的切线;i用mn,n表
6、示,n中的最小值,设函数hxinf，gxx，讨论h零点的个数.未经许可 请勿转载选修一1:几何证明选讲22.0分如此图,AB是O的直径，AC是O的切线,BC交O于点E.若D为AC的中点，证明：DE是O的切线;若A=CE，求AB的大小选修一4:坐标系与参数方程230分在直角坐标系y中，直线1：x2，圆C:1+y22=1，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系未经许可 请勿转载求C,C2的极坐标方程;若直线C的极坐标方程为=R,设C2与3的交点为M，N,求CN的面积.选修4一5:不等式选讲410分已经知道函数fx|x+1|xa,a0当a=时，求不等式f1的解集;若fx的图象与x轴围成的三
7、角形面积大于6,求a的取值范围年全国统一高考数学试卷理科新课标参考答案:：:与试题解析 一、选取题共12小题,每题分,满分6分1.5分设复数z满足i，则|z|= A1B.C.D2【考试点】A:复数的模【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数.【分析】先化简复数，再求模即可【解答】解:复数z满足=,1=iz，z+i=i，z=,|z|=1,故选：A【点评】此题考查复数的运算，考查学生的计算能力,比较基础.25分sin2co1co1in10ABC.D.【考试点】P:两角和与差的三角函数.【专题】56:三角函数的求值【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可.【解答】解：sn20c
8、os10cos10in0in20os10cs20in10=n=故选：D.【点评】此题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查. 3分设命题：nN，n2,则p为 .N,22Bn，n22nCnN,2n.nN,n22未经许可 请勿转载【考试点】J：命题的否定【专题】5L：简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.【解答】解：命题的否定是：nN，n2n,故选：C.【点评】此题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础分投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已经知道某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 未经许可 请勿转
9、载A.648.0.432C.0.36D.0.312【考试点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I：概率与统计.【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可.【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足B3,0.6,该同学通过测试的概率为0.64故选：A.【点评】此题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查 55分已经知道Mx0，y0是双曲线C：=1上的一点,F1，F2是C的左、右两个焦点,若0，则y0的取值范围是 未经许可 请勿转载A.CD【考试点】KC：双曲线的性质.【专题】1：计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用向量的数量积公式,结合双
10、曲线方程，即可确定y的取值范围【解答】解:由题意，=0，y0x0，y0=x023y0y010,未经许可 请勿转载所以y0.故选：A.【点评】此题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础 .5分九章算术是我们国家古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？“其意思为:在屋内墙角处堆放米如此图,米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已经知道1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的米约有 未经许可 请勿转载A14斛B2斛C36斛66斛【考试点】F
11、:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解:设圆锥的底面半径为，则r=，解得r=,故米堆的体积为,1斛米的体积约为1.62立方,16222,故选：B.【点评】此题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.分设D为A所在平面内一点,，则 ABC【考试点】9：平行向量共线.【专题】5A：平面向量及应用【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为,然后结合已经知道表示为的形式【解答】解:由已经知道得到如此图由=;故选:A【点评】此题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为. 8.分函数x=cosx+的部分图象如以以下图,
12、则f的单调递减区间为 Ak，+，kzB2k,2k+，kzC.k,+，z,k+,k【考试点】H:余弦函数的单调性【专题】7:三角函数的图像与性质.【分析】由周期求出，由五点法作图求出，可得x的解析式，再根据余弦函数的单调性,求得fx的减区间.未经许可 请勿转载【解答】解:由函数fx=cosx+的部分图象,可得函数的周期为2=2,=，fxcx未经许可 请勿转载再根据函数的图象以及五点法作图,可得+=,kz，即=，xcos.由2k+,求得 2k2k+，故fx的单调递减区间为，2k+,kz，未经许可 请勿转载故选：.【点评】此题主要考查由函数y=Asinx+的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图
13、求出的值；还考查了余弦函数的单调性,属于基础题.未经许可 请勿转载 95分执行如以以下图的程序框图，如果输入的t=00,则输出的n= .5.C7.8【考试点】EF:程序框图【专题】5K：算法和程序框图.【分析】由已经知道中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案:未经许可 请勿转载【解答】解:第一次执行循环体后，S=,m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m，n2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后,S=,m=,n3,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,=，m=,n,不满足退出循环的
14、条件;再次执行循环体后,S=,m=,n5，不满足退出循环的条件;再次执行循环体后，S=，6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后,S=，=,=7,满足退出循环的条件;故输出的n值为7,故选:C【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.10分x2+x+y5的展开式中,x5y2的系数为 A.10B.20C30D.60【考试点】DA：二项式定理.【专题】11:计算题;5P:二项式定理【分析】利用展开式的通项，即可得出结论.【解答】解：x2+x+y的展开式的通项为Tr+1,令=2,则2+x3的通项为=，令6k5,则k=，2+x+y的展开式中,x5y的
15、系数为=30故选:C.【点评】此题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,确定通项是关键 15分圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如以以下图.若该几何体的表面积为6+2,则r= 未经许可 请勿转载A1B.2C4.8【考试点】L!：由三视图求面积、体积【专题】5:立体几何【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线,该几何体是一个半球拼接半个圆柱,其表面积为：4r2+r22rr2r+r22+42，又该几何体的表面积为6+20，52+=16+20,解得
16、r2，故选：B.【点评】此题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题 2.分设函数fx=e2xax+a，其中1，若存在唯一的整数x0使得fx00，则a的取值范围是 未经许可 请勿转载A.BD【考试点】1：函数的零点;:利用导数研究函数的极值.【专题】：创新题型;53:导数的综合应用.【分析】设=x2x1，y=aa,问题转化为存在唯一的整数x0使得gx在直线=xa的下方，求导数可得函数的极值,数形结合可得ag01且g1=3eaa,解关于a的不等式组可得未经许可 请勿转载【解答】解:设xex2x1，yax，由题意知存在唯一的整数使得gx在直线y=axa的下方，gx
17、x212ex=x2x+1,当x时，g，直线yaxa恒过定点1，0且斜率为a，故ag=1且g13e1aa，解得a1故选:D【点评】此题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题 二、填空题此题共有小题，每题5分.5分若函数fx=xln+为偶函数,则a=1【考试点】:函数奇偶性的性质与判断【专题】:函数的性质及应用.【分析】由题意可得,ffx,代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解:fnx为偶函数,fx，xln+=lnx+,l+=x+,lx+x+=，n+x=0,lna=0，1故答案:为：1.【点评】此题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用,属于基础试题14.5分一个圆经过椭圆
18、的三个顶点.且圆心在轴的正半轴上.则该圆标准方程为x2y2= 未经许可 请勿转载【考试点】K3：椭圆的标准方程.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到圆的方程.【解答】解:一个圆经过椭圆=1的三个顶点且圆心在x轴的正半轴上.可知椭圆的右顶点坐标4，0，上下顶点坐标，2，设圆的圆心a，0，则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：x2+2.故答案:：:为:x2+y2=【点评】此题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力.55分若x,y满足约束条件则的最大值为 【考试点】7C:简单线性规划【专题】5:不等式的解
19、法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如此图：阴影部分AB设=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,由图象知OA的斜率最大,由,解得,即1，3，kO=3,即的最大值为3.故答案:：为:3.【点评】此题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法未经许可 请勿转载165分在平面四边形ABD中，=B=C=75BC2，则A的取值范围是， .未经许可 请勿转载【考试点】H:三角形中的几何计算.【专题】15:综合题;2：创新题型;8:解三角形.
20、【分析】如以以下图,延长B,C交于点E,设A=x,E=x,DE=x,D=，求出xm=+，即可求出AB的取值范围.未经许可 请勿转载【解答】解：方法一：如以以下图,延长B，CD交于点E,则在ADE中，AE105，AE=45,E3,设A=，E=x,E=x,CD=，BC=2，x+msin15=，+m+，00,an+an=2,a12+2a=43，a11舍或a1=3，则an是首项为3，公差d=的等差数列,a的通项公式an=3+2n1=2n1：an2n+1,n=,数列bn的前n项和n=+=.【点评】此题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决此题的关键18.12分如此图，四边形ABCD为
21、菱形,C120，E,F是平面ACD同一侧的两点，BE丄平面ABCD,DF丄平面 BC，BE=2F,AE丄EC.未经许可 请勿转载证明：平面AC丄平面AFC求直线AE与直线CF所成角的余弦值【考试点】：异面直线及其所成的角;LY:平面与平面垂直.【专题】5F:空间位置关系与距离;5：空间角；5：空间向量及应用.【分析】连接B，设BDAC=,连接G、EF、FG,运用线面垂直的判定定理得到EG平面F，再由面面垂直的判定定理，即可得到;未经许可 请勿转载以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴，|B|为单位长度,建立空间直角坐标系Gxyz,求得A,E，F,C的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即可
22、得到所求角的余弦值未经许可 请勿转载【解答】解：连接D,设BACG，连接E、EF、G,在菱形BC中,不妨设B=,由C120,可得AG=C=,B平面ABCD，BC=2,可知AE=E,又E，所以=,且EGAC，在直角EBG中,可得BE=，故DF=，在直角三角形FG中,可得FG，在直角梯形BDF中，由BD=，BE,FD=，可得E=,从而E+FG=E,则EGFG，或由tanEGBtanFGD=,可得+FGD=90，则EFGAC=,可得E平面FC，由EG平面C,所以平面EC平面AFC;如此图,以G为坐标原点，分别以GB，G为x轴,y轴,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系Gxy，由可得0，,0，E1,
23、0，,1,0,0，0，即有=1,，=1，,故co=则有直线AE与直线C所成角的余弦值为.【点评】此题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法,主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法:向量法,考查运算能力，属于中档题未经许可 请勿转载 19.12分某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x单位：千元对年销售量y单位:t和年利润z单位：千元的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yii=1，,8数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.未经许可 请勿转载xiw2xiyiwiyi4666.82981.61469108.8表中i=,根据散点图判断，y=+bx与y
24、=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由未经许可 请勿转载根据的判断结果及表中数据，建立关于x的回归方程;已经知道这种产品的年利润z与x、的关系为z=x根据的结果回答以下问题:i年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少?i年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据1 v,u 2.un ，其回归线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=未经许可 请勿转载【考试点】:线性回归方程.【专题】5I:概率与统计【分析】根据散点图，即可判断出，先建立中间量w=,建立y关于w的线性回归方程,根据公式求出w，问题得以解决;i年宣传费
25、x49时,代入到回归方程，计算即可,ii求出预报值得方程，根据函数的性质,即可求出.【解答】解：由散点图可以判断,y=cd适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程类型；令=，先建立y关于w的线性回归方程,由于=，=5366.8100.,所以y关于w的线性回归方程为=100.8w,因此关于x的回归方程为=10.6+68，i由知,当=49时,年销售量y的预报值=10.68=576.6,年利润的预报值=56.0.249=66.32，ii根据的结果可知,年利润的预报值=0.10.668x=x+13.6+202，未经许可 请勿转载当=6.8时，即当=6.2时，年利润的预报值最大.【点评】此题主要考查了线
26、性回归方程和散点图的问题，准确的计算是此题的关键,属于中档题.0.1分在直角坐标系xO中，曲线C:y=与直线l：=x+0交于M，N两点当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.y轴上是否存在点，使得当k变动时,总有OMOP？说明理由【考试点】H：直线与圆锥曲线的综合【分析】联立,可得交点,N的坐标,由曲线C:=,利用导数的运算法则可得：y=,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程.未经许可 请勿转载存在符合条件的点0，,设P0，b满足PM=Ox1,x2，,直线PM,P的斜率分别为:k1，k2直线方程与抛物线方程联立化为x4kx4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得1+k2=.kk
27、20直线PM,N的倾斜角互补OPM=OPN即可证明.未经许可 请勿转载【解答】解:I联立，不妨取，N，由曲线C：y=可得：y=,曲线C在M点处的切线斜率为=,其切线方程为：y=,化为同理可得曲线C在点N处的切线方程为:.I存在符合条件的点0,下面给出证明:设P0，b满足OP=P.Mx1,Nx2,y2，直线PM,N的斜率分别为：k1,k2未经许可 请勿转载联立,化为x24k4a=0,xx=4k，x1x2=4k2+=当=a时,k1+k2=0，直线PM，P的倾斜角互补,OM=OPN点，a符合条件【点评】此题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根
28、与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题未经许可 请勿转载21.12分已经知道函数f=3+a+，ln当a为何值时，x轴为曲线yx的切线；ii用mnm,n表示m,n中的最小值，设函数hx=minfx，gxx0，讨论hx零点的个数未经许可 请勿转载【考试点】6E:利用导数研究函数的最值；H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】:创新题型;53：导数的综合应用.【分析】f=2.设曲线y=x与x轴相切于点x0,0,则fx=0,f0解出即可未经许可 请勿转载i对x分类讨论:当x1，时,gx=ln0,可得函数hx=min fx,xg，即可得出零点的个数.未经许可 请勿转载当1时
29、,对分类讨论：a，,即可得出零点的个数；当x0,1时，=lnx0,因此只考虑在，1内的零点个数即可对分类讨论:当a或a0时,当a0时，利用导数研究其单调性极值即可得出.未经许可 请勿转载【解答】解：fx32+.设曲线y=x与x轴相切于点Px0，0,则f=,fx0=0,，解得，a=.因此当a=时，x轴为曲线y=f的切线；i当x1,+时,gx=lnx0,函数xin x，,故h在1，+时无零点.当x1时，若a,则f1=a0，x=mi 1,=g=0，故x是函数x的一个零点；若a，则f1=a+0,x=i f1，g1=f10,故x=不是函数hx的零点;未经许可 请勿转载当0,1时，gxlx0，因此只考虑f
30、x在，1内的零点个数即可.当3或a0时，f3x2+a在0，1内无零点,因此fx在区间0,1内单调,未经许可 请勿转载而f=，=a+,当a3时,函数f在区间0，1内有一个零点,当a时，函数fx在区间，1内没有零点.当30时，函数x在内单调递减，在内单调递增，故当=时，fx取得最小值=若0,即，则fx在0,1内无零点若=0，即=,则fx在0，1内有唯一零点若0,即，由f0=,a，当时,fx在0,内有两个零点当3a时,fx在0,1内有一个零点综上可得:0当a=时，求不等式fx1的解集;若x的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围【考试点】R5：绝对值不等式的解法【专题】59：不等式的解法及应用.【分析】当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.化简函数f的解析式,求得它的图象与x轴围成的三角形