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1、立体与平面相交6.1 6.1 平面与平面体相交平面与平面体相交一、截交线的特性：一、截交线的特性：1 1、平面体截交线是平面和平面体表面的共有线、平面体截交线是平面和平面体表面的共有线。2 2、一般情况下，平面截切平面体时，截交线是一个封闭的平面一般情况下，平面截切平面体时，截交线是一个封闭的平面多边形多边形。截交线的形状取决截平面与立体的相对位置。截交线的形状取决截平面与立体的相对位置。二、求平面立体截交线的方法二、求平面立体截交线的方法1 1、单个截平面与平面体的截交线、单个截平面与平面体的截交线2 2、多个截平面与平面体的截交线、多个截平面与平面体的截交线1 1、单个截平面与平面体的截交
2、线、单个截平面与平面体的截交线例例1 1、求正垂面与三棱椎的截交线。、求正垂面与三棱椎的截交线。空间分析：空间分析：截平面截平面P P与三棱锥的三条棱线与三棱锥的三条棱线均相交。截交线是一均相交。截交线是一平面三角形，顶点是平面三角形，顶点是三棱锥的棱线与截平三棱锥的棱线与截平面面P P的交点，它的边的交点，它的边是截平面是截平面P P与平面立与平面立体表面的交线。体表面的交线。PI II III 例例1 1、求正垂面与三棱椎的截交线。、求正垂面与三棱椎的截交线。作图步骤作图步骤:（1 1）在棱线的正面投影在棱线的正面投影sasa、sbsb、scsc与截与截平面平面P P的有积聚性的迹线的有积
3、聚性的迹线PvPv的的相交处，作出交点的正面投影相交处，作出交点的正面投影11、22、33，与与PvPv相重合相重合的直线的直线123123 即为截交线即为截交线的正面投影。的正面投影。(2)(2)由由11、22、33引投影连引投影连线线，分别与分别与sasa、sbsb、scsc和和s”as”a、s”bs”b、s”cs”c交出交出1 1、2 2、3 3和和1”1”、2”2”、3”3”,其中其中3”3”不可见。不可见。1231231“2“(3“)(3)(3)连接这些点的同名投影连接这些点的同名投影,作作出截交线的水平投影出截交线的水平投影123123和侧面和侧面投影投影1”2”3”1”2”3”，
4、注意可见性。，注意可见性。例例2 2、求四棱柱被截切后的三面投影。、求四棱柱被截切后的三面投影。空间分析空间分析：截平面：截平面与四棱与四棱柱的四个棱面及上底面均相柱的四个棱面及上底面均相交，所以截交线是一个凸五交，所以截交线是一个凸五边形，五个顶点分别是截平边形，五个顶点分别是截平面面与四棱柱三条棱线和上与四棱柱三条棱线和上底面两条边线的交点。即底面两条边线的交点。即点点I I、IIII、III III、IV IV、V V。PI II III IV V例例2 2、求四棱柱被截切后的三面投影。、求四棱柱被截切后的三面投影。作图步骤作图步骤:（1 1）截交线的正面投影重截交线的正面投影重合合Pv
5、Pv，作出，作出11、22、33、44、55。（2 2）由由正面投影，作出水正面投影，作出水平投影平投影1 1、2 2、3 3、4 4、5 5。（3 3）作出侧面投影作出侧面投影1 1”、2“2“、3”3”、4“4“、5”5”。例例2 2、求四棱柱被截切后的三面投影。、求四棱柱被截切后的三面投影。作图步骤作图步骤:（1 1）截交线的正面投影重截交线的正面投影重合合PvPv，作出，作出11、22、33、44、55。（2 2）由由正面投影，作出水正面投影，作出水平投影平投影1 1、2 2、3 3、4 4、5 5。（3 3）作出侧面投影作出侧面投影1 1”、2“2“、3”3”、4“4“、5”5”。（
6、4 4）分清截交线及截交形分清截交线及截交形体在各投影中线条的可见体在各投影中线条的可见性，描深三面投影图性，描深三面投影图。1 1、多个截平面与平面体的截交线、多个截平面与平面体的截交线例例1 1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。空间分析空间分析：梯形四棱柱被梯形四棱柱被P P、Q1Q1、Q2Q2三平面截切，因三平面截切，因而截交线由三部分组成。而截交线由三部分组成。即即P P平面与梯形四棱柱的表平面与梯形四棱柱的表面交线，以及面交线，以及Q1Q1、Q2Q2平面平面与梯形四棱柱被与梯形四棱柱被P P平面截切平面截切后形体的表面交线。后形体的表面交线。例例
7、1 1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。(1)(1)：只考虑：只考虑P P平面截切平面截切四棱柱产生的截交线，四棱柱产生的截交线，由正面投影由正面投影11、22、33、44可作出侧面投可作出侧面投影影1“1“、2”2”、3“3“、4”4”与水平投影与水平投影 1 1、2 2、3 3、4 4。PI II III IV 作图步骤作图步骤:例例1 1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。作图步骤作图步骤:(2)(2)在第一步的基础上，在第一步的基础上，考虑考虑Q1Q1、Q2Q2平面截切。平面截切。Q2HQ1HQ1Q1Q1PQ2作
8、图步骤作图步骤:(3)(3)Q1Q1平面截切平面体的平面截切平面体的截交线可由水平投影截交线可由水平投影a a、b b、c c、d d求出正面投影求出正面投影aa、bb、cc、dd。ABCABCDEFGHQ1Q1Q2D例例1 1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。Q1HQ2H作图步骤作图步骤:(4)(4)由水平投影由水平投影a a、b b、c c、d d及正面投影及正面投影aa、bb、cc、dd作出侧面投影作出侧面投影a”a”、b”b”、c”c”、d”d”。例例1 1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。ABCDQ1Q1Q2
9、Q2EFGH例例1 1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。作图步骤作图步骤:(5)(5)按同样的方法求出平按同样的方法求出平面面Q2Q2截切平面体产生的截切平面体产生的截交线截交线EFGHEFGH的三面投影。的三面投影。ABCDQ1Q1Q2Q2EFGH作图步骤作图步骤:(6)(6)分清截交线及截交形分清截交线及截交形体在各投影中线条的可体在各投影中线条的可见性，描深三面投影图。见性，描深三面投影图。例例1 1、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。1 1、多个截平面与平面体的截交线、多个截平面与平面体的截交线例例2 2、补全有
10、缺口四棱锥的水平投影和側面投影。、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。PvQv空间分析空间分析：四棱锥的缺口可看作是由水平四棱锥的缺口可看作是由水平面面P P与正垂面与正垂面Q Q切割四棱锥而成的，因此，切割四棱锥而成的，因此，除了要分别求出除了要分别求出P P、Q Q两平面与四棱锥表面两平面与四棱锥表面交线之外，还要求出交线之外，还要求出P P、Q Q两平面的交线。两平面的交线。PQ两平面交线例例2 2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。作图步骤作图步骤:(1)(1)画出未截切时的四棱画出未截切时的四棱锥的侧面投影。锥的侧面投影。(2)(2)水平
11、面水平面P P与正垂面与正垂面Q Q正正面投影有积聚性，因此面投影有积聚性，因此截交线的正面投影可直截交线的正面投影可直接得出。作出截交线正接得出。作出截交线正面投影面投影1 123456782345678。P PQ Q例例2 2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。作图步骤作图步骤:(3)(3)由正面投影作出水平由正面投影作出水平投影投影1234567812345678及侧面投影及侧面投影1“2”3“4”5“6”7“1“2”3“4”5“6”7“。例例2 2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。作图步骤作图步骤
12、:(4)(4)依此连接同一表面的依此连接同一表面的各点。其中，各点。其中，3434为两平面为两平面交线的水平投影，交线的水平投影，3“4”3“4”为两平面交线的侧面投影。为两平面交线的侧面投影。例例2 2、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。作图步骤作图步骤:(5)(5)分清截交线及切割立分清截交线及切割立体在水平投影与侧面投影体在水平投影与侧面投影的可见性，描深三面投影的可见性，描深三面投影图。图。6.2 6.2 平面与回转体相交平面与回转体相交一、截交线的特性及作图方法：一、截交线的特性及作图方法：1 1、平面与回转体交线是、平面与回转体交线是平面
13、曲线平面曲线（特殊情况下为直线特殊情况下为直线），是），是截平面与回转面的共有线。截平面与回转面的共有线。2 2、若若截交线为非圆曲线，则先作出截交线上的截交线为非圆曲线，则先作出截交线上的特殊点特殊点，再作出，再作出其上其上若干个一般点若干个一般点（也称中间点），然后将这些共有点连成光（也称中间点），然后将这些共有点连成光滑曲线（尖点处例外）滑曲线（尖点处例外）。特殊点，特殊点，是指是指截交线上确定其大小范截交线上确定其大小范围的最高、最低、最左、最右、最前、最后点，围的最高、最低、最左、最右、最前、最后点，投影上截交线投影上截交线的虚实分界点，椭圆长短轴的端点，以及抛物线双曲线的顶点的虚实
14、分界点，椭圆长短轴的端点，以及抛物线双曲线的顶点，这些特殊点的投影绝大多数位于回转体的视图轮廓线上。这些特殊点的投影绝大多数位于回转体的视图轮廓线上。二、平面与圆柱面相交二、平面与圆柱面相交 平面与圆柱面相交时，根据平面对圆柱轴线的位置不平面与圆柱面相交时，根据平面对圆柱轴线的位置不同，其截交线有三种情形圆、椭圆或两平行直线。同，其截交线有三种情形圆、椭圆或两平行直线。表表7-1 7-1 平面与圆柱面相交的各种情形平面与圆柱面相交的各种情形截平面位置截平面位置截交线形状截交线形状立体图立体图投影图投影图与轴线垂直与轴线垂直与轴线倾斜与轴线倾斜与轴线平行与轴线平行圆圆椭圆椭圆两平行直线两平行直线
15、例例1 1 圆柱面被正垂面圆柱面被正垂面P P所截切，已知它的主视图和俯视图，所截切，已知它的主视图和俯视图，求作左视图。求作左视图。作图步骤：作图步骤：（1 1）作出完整圆柱的左视图。）作出完整圆柱的左视图。（2 2）作出特殊点的投影。）作出特殊点的投影。abcdacdbb”a”d”c”eee最低最左点最低最左点A A最高最右点最高最右点B B最前点最前点C C，最后点，最后点D D(3)(3)作必要的一般点作必要的一般点E E(4)(4)连线检查后加深，连线检查后加深，注意整理轮廓线。注意整理轮廓线。ee例例2 2 已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。已知切口圆柱的主视图和左视图，求
16、作俯视图。空间分析空间分析：轴线为侧垂线轴线为侧垂线的圆柱被垂直于圆柱轴线、的圆柱被垂直于圆柱轴线、平行于圆柱轴线和倾斜于平行于圆柱轴线和倾斜于圆柱轴线的三平面截切，圆柱轴线的三平面截切，因而截交线分别是圆、两因而截交线分别是圆、两平行直线和椭圆。平行直线和椭圆。例例2 2 已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。作图步骤作图步骤:（1 1）作出侧垂面截切圆柱所）作出侧垂面截切圆柱所 产生的截交线。产生的截交线。（2 2）作出水平面截切圆柱所）作出水平面截切圆柱所 产生的截交线。产生的截交线。（3 3）作出正垂面截切圆柱所）作出正垂面截切圆柱所 产生
17、的截交线。产生的截交线。（4 4）连线、检查后加深。）连线、检查后加深。例例2 2 完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。空间分析空间分析：轴线为侧垂线轴线为侧垂线的圆柱被两个正垂面和一的圆柱被两个正垂面和一个正平面截切。个正平面截切。作图时逐个截面分析并画作图时逐个截面分析并画其截交线其截交线。例例2 2 完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。作图步骤作图步骤:(1)(1)作出正垂面截切圆柱作出正垂面截切圆柱产生的截交线产生的截交线(2)(2)作出正平面截切圆柱作出正平面截切圆柱产生的截交线产生的截交线(3)(3)检
18、查加深整理轮廓线。检查加深整理轮廓线。例例2 2 完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。完成被截切圆柱的主视图，并求作俯视图。二、平面与圆锥面相交二、平面与圆锥面相交 平面与圆锥面相交时，根据平面对圆锥轴线的位置不平面与圆锥面相交时，根据平面对圆锥轴线的位置不同，其截交线有五种情形同，其截交线有五种情形圆圆、椭圆椭圆、抛物线抛物线、双曲线双曲线或或两相交直线两相交直线。平面和圆锥面交线立体图与投影图截平面垂直于圆锥轴线截平面垂直于圆锥轴线(=90 )，交线为圆。，交线为圆。截平面倾斜于圆锥轴线，截平面倾斜于圆锥轴线，且且 ，交线为椭圆。，交线为椭圆。截平面倾斜于圆锥轴线，截平面倾斜于圆锥轴线，
19、且且 =，交线为抛物线。，交线为抛物线。截平面通过锥顶，交线为截平面通过锥顶，交线为过锥顶的两条相交直线。过锥顶的两条相交直线。截平面平行于圆锥轴线截平面平行于圆锥轴线(=0 )，或，或 ，交线，交线为双曲线。为双曲线。例例1 1 圆锥被正垂面圆锥被正垂面P P 所截切，补全俯视图并作出左视图。所截切，补全俯视图并作出左视图。Pv空间分析：空间分析：截平面截平面P P 倾斜于圆锥轴线，而且与所有的素线都相交，所以截倾斜于圆锥轴线，而且与所有的素线都相交，所以截交线为椭圆。交线为椭圆。由于圆锥前后对称，所以正垂面由于圆锥前后对称，所以正垂面P P 与它的截交线也是前后对称与它的截交线也是前后对称
20、，断面椭圆的长轴是截平面断面椭圆的长轴是截平面P P 与圆锥前后对称面的交线（与圆锥前后对称面的交线（正平线正平线），端点在最），端点在最左最右素线上；而短轴则是通过长轴中点的正垂线。左最右素线上；而短轴则是通过长轴中点的正垂线。截交线PvABCD投影分析：投影分析：由分析可知由分析可知截交线是一个椭圆截交线是一个椭圆，正面投影积聚成一，正面投影积聚成一直线，与直线，与PvPv重合，而水平投影和侧面投影仍为椭圆。重合，而水平投影和侧面投影仍为椭圆。PvP P作图步骤：作图步骤：1 1、作出完整圆锥的左视图。、作出完整圆锥的左视图。作图步骤：作图步骤：2 2、作出截交线上特殊点的投影。、作出截交
21、线上特殊点的投影。作出作出椭圆长轴两端点椭圆长轴两端点A A、B B两点的投影，这两点也是两点的投影，这两点也是截交线上截交线上最高点与最低点最高点与最低点。ABCDababab作图步骤：作图步骤：2 2、作出截交线上特殊点的投影（、作出截交线上特殊点的投影（续上页续上页）。）。作出作出椭圆短轴两端点椭圆短轴两端点C C、D D两点的投影，这两点也是两点的投影，这两点也是截交线上截交线上最前点与最后点最前点与最后点。ABCDcdcdcdababab作图步骤：作图步骤：2 2、作出截交线上特殊点的投影（、作出截交线上特殊点的投影（续上页续上页）。）。作出截交线上位于作出截交线上位于圆锥左视圆锥左
22、视图轮廓线上的特殊点图轮廓线上的特殊点E E、F F两两点的投影点的投影。efefefabababcdcdcd作图步骤：作图步骤：3 3、作出截交线上必要的一般点的投影。、作出截交线上必要的一般点的投影。作出作出截交线上一般点截交线上一般点M M、N N的投影的投影。mnmnmnefefefabababcdcdcd作图步骤：作图步骤：4 4 连线，加深，整理轮廓线。连线，加深，整理轮廓线。mnmnmnefefefabababcdcdcd将所求截交线上的将所求截交线上的特殊点特殊点与一般点的水平投影与侧与一般点的水平投影与侧面投影面投影依次光滑连成封闭依次光滑连成封闭曲线。曲线。作图步骤：作图步
23、骤：5 5、检查整理。、检查整理。例例3 3 补全切割圆锥的左视图，并补画俯视图。补全切割圆锥的左视图，并补画俯视图。空间分析空间分析：圆锥面被通过锥顶的正垂面：圆锥面被通过锥顶的正垂面P P、侧平面、侧平面Q Q 以及以及平行于最高素线正垂面平行于最高素线正垂面R R 所截切，因而截交线分别为所截切，因而截交线分别为两条两条素线素线、圆弧圆弧、抛物线。抛物线。P PQ QR R两条素线两条素线圆弧圆弧圆弧圆弧抛物线抛物线PvPvQvQvRvRv投影分析投影分析：截交线的正面投影分别积聚在截平面：截交线的正面投影分别积聚在截平面P P、Q Q、R R 的正面迹线上，它们的侧面投影和水平投影都可
24、见的正面迹线上，它们的侧面投影和水平投影都可见。作图步骤作图步骤：1 1、作出完整圆锥的水平投影。、作出完整圆锥的水平投影。作图步骤作图步骤：2 2、在主视图中标注出各段截交线的特殊点。、在主视图中标注出各段截交线的特殊点。12345671234567作图步骤作图步骤：3 3、作出平面、作出平面P P、Q Q 与圆锥的截交线以及与圆锥的截交线以及P P 与与Q Q、Q Q 与与R R 的交线的的交线的侧面投影与水平投影侧面投影与水平投影。（。（首先作出相应点的投影首先作出相应点的投影）1”2”3”4”125634平面平面P P 与圆锥面的截交线为与圆锥面的截交线为直线段直线段 、，与圆锥与圆锥
25、底圆交线为底圆交线为。平面平面Q Q 与圆与圆锥面的截交线为圆弧锥面的截交线为圆弧、，P P 与与Q Q 的交线为的交线为 ，Q Q 与与R R 的交线为的交线为。P PQ QR R作图步骤作图步骤：3 3、作出平面、作出平面P P、Q Q 与圆锥的截交线以及与圆锥的截交线以及P P 与与Q Q、Q Q 与与R R 的交线的的交线的侧面投影与水平投影侧面投影与水平投影。（。（续上页续上页）12345671 11”2”3”4”256346”5”P PQ QR R分别将所求点的侧面投影与水分别将所求点的侧面投影与水平投影依次相连。平投影依次相连。作图步骤作图步骤：4 4、作出平面、作出平面R R
26、与圆锥面的截交线。与圆锥面的截交线。12345671 11”2”3”4”12563477”6”5”8”9”8989P PQ QR R作出平面作出平面R R 与圆锥面截交线的与圆锥面截交线的特殊点与一般点的投影。特殊点与一般点的投影。作图步骤作图步骤：4 4、作出平面、作出平面R R 与圆锥面的截交线。与圆锥面的截交线。12345671”2”3”4”12563477”6”5”8”9”8989P PQ QR R分别将平面分别将平面R R 与圆锥面截交线与圆锥面截交线上所求点的上所求点的侧面投影与水平投侧面投影与水平投影影依次光滑相连。依次光滑相连。截去截去截去截去作图步骤作图步骤：5 5、检查、加
27、深整理轮廓线。、检查、加深整理轮廓线。三、平面与球面相交三、平面与球面相交 平面与球面的截交线是圆。当截平面平行于投影面时，截平面与球面的截交线是圆。当截平面平行于投影面时，截交线的投影为交线的投影为真形真形；当截平面垂直于投影面时，截交线的投影；当截平面垂直于投影面时，截交线的投影为为直线直线，长度等于截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，长度等于截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，截交线的投影为截交线的投影为椭圆椭圆。例例1 1 求被求被P P、Q Q两平面所截切后的圆球的俯视图和左视图。两平面所截切后的圆球的俯视图和左视图。q qp p空间分析空间分析：平面平面P P为正垂为正垂面
28、，与圆球的截交线正面面，与圆球的截交线正面投影积聚在投影积聚在pp上，水平投上，水平投影和侧面投影均为椭圆弧。影和侧面投影均为椭圆弧。平面平面Q Q为侧平面，与圆球的为侧平面，与圆球的截交线正面投影积聚在截交线正面投影积聚在qq上，水平投影积聚成一直上，水平投影积聚成一直线段，侧面投影为反应实线段，侧面投影为反应实形的一段圆弧。形的一段圆弧。例例1 1 求被求被P P、Q Q两平面所截切后的圆球的俯视图和左视图。两平面所截切后的圆球的俯视图和左视图。q qp p作图步骤作图步骤:(1)(1)作出完整圆球的俯视作出完整圆球的俯视图和左视图。图和左视图。(2)(2)作出平面作出平面P P与球的截交
29、与球的截交线。线。(4)(4)连线、加深整理轮廓连线、加深整理轮廓线。线。(3)(3)作出平面作出平面Q Q与球的截交与球的截交线。线。例例2 2 求被截切后的圆球的俯视图和左视图。求被截切后的圆球的俯视图和左视图。空间分析空间分析：圆球被两个侧圆球被两个侧平面以及一水平面所截切，平面以及一水平面所截切，作图步骤作图步骤:(1)(1)作出完整圆球的俯视作出完整圆球的俯视图和左视图。图和左视图。(2)(2)作出水平面与球的截作出水平面与球的截交线。交线。(3)(3)作出侧平面与球的截作出侧平面与球的截交线。交线。(4)(4)加深、整理轮廓线。加深、整理轮廓线。例例2 2 求被截切后的圆球的俯视图
30、和左视图。求被截切后的圆球的俯视图和左视图。四、平面与环面相交四、平面与环面相交例例1 1 圆环被正平面截切圆环被正平面截切,作出主视图所缺的截交线。作出主视图所缺的截交线。空间分析空间分析：圆环被正平面圆环被正平面所截切。所截切。作图步骤作图步骤:(1)(1)作出截交线上特殊点作出截交线上特殊点和一般点投影。和一般点投影。(2)(2)连线、检查、加深。连线、检查、加深。五、平面与组合回转面相交五、平面与组合回转面相交空间分析空间分析：组合回转体从组合回转体从上到下由半球、圆柱、内上到下由半球、圆柱、内环面、球、内环面、圆柱环面、球、内环面、圆柱这几部分组成。被前后对这几部分组成。被前后对称的两个正平面所截切。称的两个正平面所截切。五、平面与组合回转面相交五、平面与组合回转面相交作图步骤作图步骤:(1)(1)分别作出正平面与各分别作出正平面与各部分的截交线。部分的截交线。(2)(2)检查加深。检查加深。此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢