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1、线性状态空间法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 1 引言一 经典控制论与现代控制论：二 状态空间的基本概念 1 状态和状态变量 状态：表征系统运动的信息。状态变量：确定系统状态的一组独立的变量。2 状态向量:x(t)=x1(t),xn(t)T3 状态空间:以n个状态向量x(t)的各个分量x1,x2,xn做轴构成的n维空间称。4 状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系。22 线性定常系统的状态空间描述一状态变量选取 u1 x1 y1 输
2、入 状态变量 系统输出 ur xn yn u1 x1 y1 u2 x2 y2U=.X=.Y=.ur xn yn被控过程输出装置3例：列写电路方程：R i(t)+L +/c=e 电路输出量：y=ec=/c设状态变量 x1=i x2=/c=ec状态方程：x1=-Rx1/L-X2/L+e/L X2=X1/C输出方程：y=x24向量矩阵形式：X1 -R/L -1/L X1 1/L X2 =1/C 0 X2 +0 e x1 y=0 1 x2简写：x=Ax+Be y=Cx5二 状态空间表达式 基于系统微分方程1.系统输入量不含导数项y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+an-1y(1)+any=0
3、U方法:正确选取状态变量定义:x1=y x2=y(1)xn=y(n-1)6其状态空间表达式为X1X2 Xn-1XnX=0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1-an -an-1 -an-2 -a1 A=1 0 0 0C=00 00B=72.系统输入量含有导数项y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+an-1y(1)+any=b0U(n)+b1U(n-1)+bn-1U(1)+bnU定义:x1=y-0U y=x1+0U x2=y(1)-0U(1)-1U=x1(1)-1U xn=xn-1(1)n-1U -(*)8在上式中对 定义:0=b0 1=b1-a10 2=b2-a11-a20 n=b
4、n-a1n-1-a2n-2-an-11-an09其状态空间表达式为X1X2 Xn-1XnX=0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1-an -an-1 -an-2 -a1 A=1 0 0 0C=12 n-1nB=d=0=b010将下面的三阶线形系统表示成标准的状态空间表达式答案11X1X2X3X=0 1 00 0 1-4 8 -6A=1 0 0C=02-5B=d=0=012线性系统的解析解一.状态转移矩阵eAt1.Sylvester无重根定理:如果P(A)是方阵A的任意多项式,且i是方阵A的的n个不同特征值之一,则有其中I为与A维数相同的对角矩阵132.Sylvester重根定理:如果P(A)是方阵A的任意多项式,且方阵A具有s个相同特征值,则有:14求下列矩阵的矩阵指数。15eAt的一些性质问:如果=-t16二.对状态方程求解17只有一个状态变量Aa,且有X(0)=X0 X(t)=eat X0 推广到多个变量,n个 X(t)=eAt X0 1819线性系统的离散化计算机仿真中采用两种方法 n线性系统解析解的离散化n适用于任意系统的数字积分方法20线性系统离散化的目的:将线性系统的连续状态方程描述转化为离散形式.21求G、H的值22例：设LTI系统的状态方程：求它的离散状态方程 231 0 G=其中：H=24