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1、线代数及应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望学习参考书目线性代数黄云鹏等，华东师范大学出版社高等代数北京大学数学力学系，人民教育出版社高等代数刘昌堃，叶世源等，同济大学出版社大学代数陆少华，上海交通大学出版社高等代数习题解(上下册)杨子胥山东科学出版社线性代数-辅导与典型题解析魏战线编著，西安交通大学出版社第一章矩阵 1.1矩阵概念1.1.1矩阵概念定义定义1 mn元，排成m行n列的矩形阵列：称作为：维是mn的矩阵。一般用黑体大写字母A，B，C等表
2、示。简记为：确定一个矩阵的两要素确定一个矩阵的两要素：1元：的值；2维：m，n的值。矩阵的例：问题：A的元和维是什么？1.1.2一些特殊矩阵对于矩阵本课程仅限于实矩阵。n阶方阵阶方阵：m=n时的矩阵，列矩阵（列向量）列矩阵（列向量）：n=1，行矩阵（行向量）行矩阵（行向量）：m=1，数或标量：数或标量：m=n=1。向量的元称为分量分量，分量的个数称为向量的维向量的维。例：分别是3维列向量和4维行向量。定义定义 2 对于mn的矩阵记k=minm，n，称元 构成A的主对角线，称 为A的第i个对角线元。问题问题：1）n阶方阵的主对角线是什么？2）的主对角线是什么？一般，称元位于A的上对角线上；位于A
3、的下对角线上。上三角矩阵：上三角矩阵：对于方阵其对角线下方的元素均为0，特征描述：下三角矩阵：下三角矩阵：对于方阵其对角线上方的元素均为0，特征描述：对角阵：对角阵：对于方阵除对角线上的元以外，其余的元均为0，特征描述：对角阵记为：标量标量矩矩阵：阵：当对角阵的对角线元素满足：即对角阵的对角线元素全相等。单位单位矩矩阵（或幺阵（或幺矩矩阵）：阵）：对角阵的对角线元素全为1。问题：问题：写出n阶的单位阵。1.1.3矩阵问题的例例1（通路矩阵）a省两个城市a1，a2和b省三个城市b1，b2，b3的交通联结情况如下图，每条连线上的数字表示联结该两城市之间的不同通路总数。可以用矩阵表示图形提供的通路信
4、息：C称为通路矩阵。C的行表示a省的城市，列是b省的城市，表示ai到bj之间的通路数。例4（赢得矩阵）“齐王赛马”的故事是一个对策问题：战国时代，齐王和其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次。每次比赛的败者付给胜者100金。已知在同一个等级的马的比赛中，齐王之马可以稳操胜券，但是田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马。齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，分别可取下列6种策略（方案）之一：（上，中，下）（中，上，下）（下，中，上）（上，下，中）（中，下，上）（下，上，中）。将这些策略依次编号为：1，2，3，4，5，6，则可以写出齐王的赢得矩阵：p3
5、2=-1，表示齐王采用策略3，而田忌采用策略2：即，齐王：（下，中，上）对田忌：（中，上，下）比赛结果比赛结果：齐王的净赢得数为-100金。练习练习4下图表明d国三个城市，e国三个城市，f国两个城市之间的通路情况。在d国和e国之间城市通路情况可用下列矩阵表示如下：其中数字1与0，指出相应城市之间的通路数。写出e国与f国的通路矩阵，并进一步写出d国与f国之间的通路矩阵。利用矩阵运算的性质，可以如下表示d国与f国之间的通路矩阵（矩阵乘法）：这种方法为研究更加复杂的情况提供了途径。比方说，具有连续几个国家连接的情形。1.2 矩阵运算矩阵运算 1.2.1 定义定义 矩阵相等矩阵相等 设当m=s,n=t
6、,且对任何i，j,时，称A与B相等，记作A=B。矩阵数乘矩阵数乘 设是一个数，用乘A的每个元素，得到新的矩阵：矩阵加法矩阵加法 设定义A和B的加法：注：注：A与B的维数相同，是矩阵加法的必要条件。矩阵差：矩阵差：。零矩阵零矩阵0:A=A+0=0+A。注意零矩阵的维数与A相同。负矩阵负矩阵 A：因为因为所以A的负矩阵A定义为：矩阵转置：矩阵转置：设交换A的行和列，得到矩阵：记作 ，即：例 对称矩阵：对称矩阵：如果矩阵满足 则称矩阵A是实对称矩阵。例例 是对称矩阵。是对称矩阵。注：注：对称矩阵必须是方阵对称矩阵必须是方阵。反对称矩阵：反对称矩阵：如果矩阵满足，则称矩阵A是实反对称矩阵。例是反对称矩
7、阵。结论结论：反对称矩阵的对角线元都为0，即。问题思考：如何证明该结论？矩阵乘法矩阵乘法：设如果，则称C是A（左）乘B的乘积，记作：C=AB，即。这里即C的第i，j元是矩阵A的的第第i行行与B的的第第j列列的对应元的乘积之和。注：注：从矩阵的乘法定义可见，必须满足：A的列数=B的行数。同理，当B的列数=A的行数时，BA才有意义。必须指出：矩阵乘法不满足交换率。1.2.2 矩阵运算规则矩阵运算规则定理定理1对任意的数和，以及任意矩阵A，B，C，有（1）A+B=B+A加法交换律加法交换律（A+B）+C=A+(B+C)加法结合律加法结合律（2）()A=(A)=()A数乘结合律数乘结合律(AB)=(A
8、)B=A(B)（3）(AB)C=A(BC)=ABC乘法结合律乘法结合律(19)（4）(AT)T=A（5）(A+B)T=AT+BT，(A)T=AT，(AB)T=BTAT（110）（6）(A+B)C=AC+BC分配律分配律A(B+C)=AB+AC(+)A=A+A(A+B)=A+B上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满足运算要求。足运算要求。证明矩阵乘法结合律：证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC证：设记证明DC=AG。因为 ，则DC的第i,j元为：得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。A的i行乘以B的l列 证明证明(AB)T=
9、BTAT证：即。剩下的要证明它们的第i,j元都对应相等。设即(AB)T的第i，j元是AB的第j,i元，即A的第j行与B的第i列的乘积。直接计算得到：BTAT的第i,j元是BT的第i行与AT的第j列的乘积，即：A的第j行与B的第i列的乘积。所以，(AB)T=BTAT。根据定理1的运算规则，矩阵乘法具备数与数相乘的大多数性质，但不全是：课后练习讲义p471-2（2，3，5，6）1-3，1-4，1-5，1-6，1-7；定理定理2 对mn矩阵A，有对于适当维的零矩阵，总成立：A0=0，0A=0。证：证：根据矩阵乘法的定义可以直接证明。定理说明：1）矩阵乘法中的单位阵类似于数的乘法中的数1；2）矩阵乘法
10、中的零矩阵类似于数的乘法中的数0。那么当ij时，第一个和式中的，因为kj；所以，证毕。象、原象象、原象设A是mn阵，x是n维向量，那么乘积Ax是m维向量。称Ax是x的象象；x是Ax的原原象象，A就是线性变换。（在第六章将会更详细的讨论这个问题）例例12 （线性代数方程组）对于由n个变元、m个方程组成的方程组：可以用矩阵（乘积）方程表示之：设那么方程组可以表示成矩阵形式（矩阵方程）：Ax=b。求求方方程程的的解解可可以以解解释释为为：对给定的线性变换 A，已知象向量 b，确定原象向量 x。练习12用数学归纳法证明等式：并用线性变换的观点解释此结果。注意子矩阵与分块矩阵的差异。注意子矩阵与分块矩阵
11、的差异。1.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵1.5.1 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵定义定义5行（或列）初等变换的定义：1.交换矩阵中任意两行（或两列）的位置，用rij（或cij）表示初等变换：对调一个矩阵的第i行(列)与第j行(列)的元。又记作：rirj（cicj），称为第1类行（列）初等变换；2.以一非零常数乘矩阵某一行（或列），用ri(a)（或ci(a)）表示初等变换：以常数a（0）乘以矩阵的第i行（列）又记作：riari（ciaci），称为第2类行（列）初等变换；3.将矩阵某行(或列)的数量倍加到另一行,用rij(k)（或cij(k)）表示初等变换：以常数k乘以矩阵的第
12、i行(列)后加到矩阵的第j行(列)又记作：rjrj+kri（cjcj+kci），称为第3类行（列）初等变换。初等变换是行初等变换和列初等变换的统称。初等变换是行初等变换和列初等变换的统称。注意行标和列标的不同通过直接验证来证明定理7！定理定理 9非退化矩阵经过初等变换后仍为非退化矩阵，而退化矩阵经过初等变换后仍为退化矩阵。即，初等变换不改变矩阵的奇异性。证：因为B=RA(或AC)，已知R可逆，当当A可逆时可逆时，根据定理6的结论，则B可逆；反之亦然。当当A退化时退化时，如果B可逆，由于A=R-1B(或BC-1)，则可以推出A可逆，与已知条件矛盾。这个定理告诉我们，为了说明B是A的逆矩阵，仅需验
13、证AB=I（或BA=I）。给定n阶方阵，利用标准形分解求其逆阵是一种有效的方法：定定理理12n阶方阵A为非退化阵的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。即，A可逆可逆 A=P1P2Pn，Pi是初等矩阵。定定理理13n阶方阵A为非退化阵的充分必要条件是可以通过对A进行有限次行(或列)初等变换后化成单位阵。定理13告诉我们，A的逆阵可以表示成有限个行（或列）初等变换阵的乘积。利用行初等变换计算非退化阵的逆矩阵的方法：首先建立一个n(2n)阵，A|I n，设R是有限个初等矩阵的乘积矩阵，使得RA|I n=I n|R即R是A的逆阵。因此，为了求A的逆阵，可以对矩阵A|I n，进行一系列行初等
14、变换，使得，A|I n I n|B，行初等变换那么，B就是A的逆矩阵。1.5.4 n n线性代数方程组的唯一解线性代数方程组的唯一解对于nn线性代数方程组AX=b，A是n阶方阵，那么当A可逆时，其唯一解可以表示为：X=A1b。在一般情况下，称矩阵A|b 为方程的增广矩阵。对增广矩阵进行一系列行初等变换，使得 R1R2 R s A|b=R1R2 R s A|R1R2 R s b=I n|Rb(R=R1R2 R s)。事实上R=A-1可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成单位阵，对应b的那一块变成Rb=A-1 b，即A I n b Rb Rb就是方程组的唯一解。1.5.5 矩阵的三角
15、分解矩阵的三角分解设n阶矩阵A的前主子矩阵A1，An-1都是非退化的，那么对A进行若干次第三类行初等变换，可以得到A的三角形分解：A=LU其中，L是单位下三角阵（对角线元都是1的下三角阵），U是上三角阵，称为A的LU分解,又称为杜利特尔（Doolittle）分解。注意注意：A的n-1个前主子矩阵非退化的条件是必需的，否则不可以三角分解。课后作业讲义p461-2（2）,（3）。请说明计算结果是数或矩阵？1-2（5）,（6）请说明计算结果是标量或矩阵？1-3，1-4，1-5，1-6，1-7课后作业讲义p471-8，1-9，1-10，1-11，1-12，1-13，1-14；1-15（1，2）1-16，1-17，1-18，1-19，1-20