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1、研究生SAS教程14 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.4 连续型随机变量的变换及其分布连续型随机变量的变换及其分布一、二重积分的换元积分法一、二重积分的换元积分法 一般地一般地x=x(u,v)y=y(u,v)u=u(x,y)v=v(x,y)称为Jacobi行列式 二、二、二维连续型随机变量的变换及变换后的分布二维连续型随机变量的变换及变换后的分布u=u(x,y)v=v(x,y)x=x(u,v)y=y(u,v)若函数 对应着唯一的反函数 U=u(X
2、,Y)V=v(X,Y)则二维连续型随机变量(X,Y)通过变换 得到新的二维连续型随机变量(U,V)的过程，称为二维连续型随机变量的变换。若(X,Y)的分布密度为p(x,y)，则变换后(U,V)的分布密度为称以上由(X,Y)的分布密度求(U,V)的分布密度的方法为变换法 式中区域D*内的点(u,v)与p(x,y)取正值的区域D内的点(x,y)一一对应.对于多维连续型随机变量的变换及变换后的分布有类似的 结果。注意：变换的唯一性！例1：XN(0,1),求Y=X2，Z=2X的分布密度。例2：若(X1,X2)的分布密度为p(x1,x2),而Y1=aX1+bX2Y2=cX1+dX2求(Y1,Y2)的分布
3、密度为p(y1,y2).解：y1=ax1+bx2y2=cx1+dx2x1=(dy1-by2)/x2=(-cy1+ay2)/p(y1,y2)=p(dy1-by2)/,(-cy1+ay2)/)|J|例3：若X与Y相互独立且都服从N(0,1)，试证明：X+Y与X-Y相互独立。解一：因为X与Y相互独立都服从N(0,1)，故X+Y与X-Y都服从N(0,2)且故X+Y与X-Y相互独立。解二：X与Y的分布密度、(X,Y)的分布密度依次为U=X+Y的分布密度为：V=X+Y的分布密度为：即X+YN(0,2)即X-YN(0,2)U与V服从二元正态分布,其中 U与V服从二元正态分布N(0,0,2,2,0),U与V相互独立。三、三、随机变量的线性变换随机变量的线性变换定义1：当常数c11、c12、c21、c22满足条件c11c22-c12c210时，称上述变换为非奇线性变换，称C为非奇线性变换矩阵。若C为正交矩阵，即CCT=I，则称上述变换为正交变换称C为正交变换矩阵。特别情况：非奇变换、正交变换正交变换：当X与Y相互独立且都服从标准正态分布时，经过正交变换 所得到的U与V也相互独立且都服从标准正态分布。该结果可推广到多维情形。一个正态总体的常用统计量及其分布一个正态总体的常用统计量及其分布