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1、孙炳达版自动控制原理孙炳达版自动控制原理第第4章控制系统的根轨迹分章控制系统的根轨迹分析法析法-24.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条件一、根轨迹的幅值条件和相角条件一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为：其开环传递函数：由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得：4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则例例已知系统的开环传递函数证明该系统的开环极点试证明复平面上点是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为s1，s2，则它们应满足相角条件。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则以s
2、1为试验点，由图可得以s2为试验点，由图可得可见，s1和s2均满足相角条件，均为闭环极点。证毕。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则例例已知系统的开环传递函数解根据幅值条件当变化时其根轨迹如图所示，求根轨迹上点所对应的K值。求得4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则二、绘制根轨迹的基本规则二、绘制根轨迹的基本规则1 连续性 根轨迹是连续的 当Kg连续变化时，特征方程的根也是连续变化的，所以根轨迹是连续的。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则2 对称性 由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根为实数
3、或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴。3 根轨迹的条数为系统的阶数即系统特征方程的阶数，也为开环传递函数的极点数。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则4 起点和终点根轨迹的起点是指Kg=0根轨迹的点。根轨迹的终点是指Kg=根轨迹的点，即终点为开环传递函数的零点。由幅值条件可知，当 Kg=0时对应s=-pi，即根轨迹的起点为开环传递函数的极点。若起点数n大于零点数m,则有m条根轨迹终于零点，有n-m条终于无穷远处（无穷远处的零点称之为无限零点）。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则5 实轴上的根轨迹在S平面实轴上的线段存在根轨迹的条件
4、是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数。1）每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360；2）s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0；3）s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则例例已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。解上在实轴，右边线段零、极点数为奇数的线段是：-1，-2 右侧实零、极点数=3。-4，-6 右侧实零、极点数=7。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则例例设一单位负反馈系统的开环传递函数为解将开环传递函数写成零、极点形式
5、求时的闭环根轨迹。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则按绘制根规迹法则逐步进行：1）法则三，2阶系统，因此有两条根轨迹；2）法则四，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，其中一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处；3）法则五，在负实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹；4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则最后绘制出根轨迹如下图所示。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则6 分离点和会合点特征方程的重根为根轨迹的分离点或会合点。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则闭环特
6、征方程式分离点或会合点可由下式求得此外，s对应的Kg值为正时，才是实际的分离或会合点。上式为必要条件，求出S值可能为分离点或会合点；上式的解根轨迹上，需满足：4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则注：1）位于实轴上两个极点之间的根轨迹上，存在分离点；4）分离或会合点还可由以下公式（试凑法）计算。2）位于实轴上两个零点（含无穷零点）之间的根轨迹上，存在会合点；3）根轨迹以/2的角度方向离开分离点（分离角）或进入会合点（会合角）；j4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则例例已知系统的开环传递函数，求根轨迹的分离点和会合点。解系统有一个开环
7、零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。根据规则五，根轨迹与实轴相重合的区间为-0.1，-0.5,（-，-1。求根轨迹的分离点和会合点：jS1=-0.33Kg1=0.06S1=-1.67Kg1=2.744.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则求对应分离点、会合点的Kg：根轨迹如下图：4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则7 渐近线（1）渐近线条数：n-m条，根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远，倾角为（2）渐近线交点：与实轴交于一点 坐标为（-，j0），其中4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则例例
8、已知系统的开环传递函数，试画出根轨迹的大致图形。解按根轨迹绘制的规则：（1）起点：0，-1，-5；终点：，。（2）分支数：n=3（3）根轨迹对称于实轴。（4）渐近线：因为本系统中，n=3,m=0,所以渐近线共有3条。渐近线的倾角：取k0，1，2，得到：（5）根轨迹在实轴上的分布：0-1，-5-之间。-5-24.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则渐近线与实轴的交点：4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则0000n-m不同取值下的渐近线4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则8 与虚轴的交点方法一：代数法 将s
9、=j代入系统特征方程，令实部和虚部分别等于零，求出和对应的K值。方法二：劳斯判据 若劳斯表第一列中有一为零项，且其余各项都具有正号，则系统为临界状态，即有零根或虚根。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则例例已知系统的特征方程为,求与虚轴的交点。解方法一：将s=j代入特征方程，得经整理为：解得：4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，列劳斯表若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界稳定状态，因此 又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可
10、以构成辅助方程。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则9 出射角与入射角出射角：根轨迹离开开环复数极点处切线与正实轴的夹角。入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。j开环极点开环零点出射角出射角j开环极点开环零点入射角入射角4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则zj除被测终点外，所有开环有限零点到该点矢量的相角；pi除被测起点外，所有开环极点到被测极点矢量的相角。例例 系统零极点分布如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2根据对称性，可知 p2点的出
11、射角为：注意：相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负；注意矢量的方向。解：tanj 1=1j 1=452=903=135tan4=0.54=26.6取k=0(考虑到周期性)：p1=-26.6p2=-p1=26.64.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则例例 系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。3.渐近线：解解：2.实轴上的根轨迹：1.开环零极点：n-m=1，只有一条180o渐进线。4.分离点：无分离点。(，-2.5 -1.5，04.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则-1-2108.59059 37 19 56.5 5.出射角：
12、4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则90 121 153 199 63.5 117 入射角：4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则概略根轨迹图 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则10 走向设系统的闭环特征方程为当n-m=2 时，根之和为不变系数，即 所以当开环增益Kg增大时，若闭环某些根在S平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。这对于判断根轨迹的走向很有意义。4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则序内
13、容规 则 1起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）2分支数等于特征方程的阶数或开环传递函数的极点数（nm）3对称性对称于实轴4实轴上分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数5渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则序内容规 则 6分离点会合点7出射角入射角复极点处的出射角：复零点处的入射角：8虚轴交点（1）将s=j代入系统特征方程，令实部和虚部分别等于零，求出和对应的K值。（2）由劳斯判据求得，若劳斯表第一列中有一为零项，且其余各项都具有正号，则系统为临界状态，即有零根或虚根。1、求出S值（即可能的分离点和会合点）2、3、s对应的Kg值为正时，才是实际的分离或会合点。除被测终点外，所有开环有限零点到该点矢量的相角。除被测起点外，所有开环极点到被测极点矢量的相角。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！42