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1、RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性12180 一、一、RLC串联谐振电路串联谐振电路 图图1215(a)表示表示RLC串联谐振电路，图串联谐振电路，图1215(b)是它是它的相量模型，由此求出驱动点阻抗为的相量模型，由此求出驱动点阻抗为 图图1215 2.谐振时的电压和电流谐振时的电压和电流 RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量 导致导致 即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电压源，则电路谐振时的电流为压源，则电路谐振时的电流为 电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、电流达到最大值，且与电压源
2、电压同相。此时电阻、电感和电容上的电压分别为电感和电容上的电压分别为 其中其中 Q 称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时感抗或容抗与电阻之比。感抗或容抗与电阻之比。从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源电压相等，电压相等，。电感电压与电容电压之和为零，即。电感电压与电容电压之和为零，即 ，且电感电压或电容电压的幅度为电压源电压幅度的，且电感电压或电容电压的幅度为电压源电压幅度的Q倍，倍，即即 若若Q1,则则UL=UCUS=UR，这种串联电路的谐振称为，这种串联电路的谐振称为电压谐振。电压谐
3、振。图图1216 3.谐振时的功率和能量谐振时的功率和能量 设电压源电压为设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：，则：由于由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0(相当于虚短路相当于虚短路)，任何时刻进，任何时刻进入电感和电容的总瞬时功率为零，即入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和。电感和电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功率全部为电阻吸收，即率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。电感和电容吸收的功率分别为：电感和电容吸收的功率分别为：电电感感和和电电容容之之间间互互相相交交换换
4、能能量量，其其过过程程如如下下:当当电电流流减减小小时时，电电感感中中磁磁场场能能量量WL=0.5Li2减减小小，所所放放出出的的能能量量全全部部被被电电容容吸吸收收，并并转转换换为为电电场场能能量量，如如图图12-17(a)所所示示。当当电电流流增增加加时时，电电容容电电压压减减小小，电电容容中中电电场场能能量量WC=0.5Cu2减减小小，所所放放出出的的能能量量全全部部被被电电感感吸吸收收，并并转转换换为为磁磁场场能能量量，如图如图1217(b)所示。所示。图图1217串联电路谐振时的能量交换串联电路谐振时的能量交换 能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电能量在电感和电容间的这种往
5、复交换，形成电压和电流的正弦振荡，这种情况与流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起的串联电路由初始储能引起的等幅振荡相同等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率。其振荡角频率 ，完全由电路参数，完全由电路参数L和和C来确定。来确定。谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即 可以从能量的角度来说明电路参数可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电变化对电感和电容电压感和电容电压UL=UC的影响。若电阻的
6、影响。若电阻 R减小一半，或电感减小一半，或电感 L增加到增加到4倍倍(增加一倍增加一倍)，则总能量，则总能量 增加增加到到4倍，这将造成电压倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容增加一倍。若电容 C减少到减少到 l/4(Q增加一倍增加一倍)，总能量不变，而电压总能量不变，而电压UL=UC增加一增加一倍。总之，倍。总之，R、L和和 C的改变造成的改变造成 变化的倍数与变化的倍数与UL=UC变化的倍数相同。变化的倍数相同。例例12-7 电路如图电路如图12-18所示。已知所示。已知 求求:(l)频率频率 为何值时，电路发生谐振。为何值时，电路发生谐振。(2)电路谐振时电路谐振时,UL和和UC
7、为何值。为何值。图图1218 解：解：(l)电压源的角频率应为电压源的角频率应为 (2)电路的品质因数为电路的品质因数为 则则 二、二、RLC并联谐振电路并联谐振电路 图图12-19(a)所所示示RLC并并联联电电路路，其其相相量量模模型型如如图图12-19(b)所示。所示。图图1219 其中其中 驱动点导纳为驱动点导纳为 1.谐振条件谐振条件 式中式中 称为电路的谐振角频率。与称为电路的谐振角频率。与RLC串联电串联电路相同。路相同。当当 时时,Y(j)=G=1/R，电压，电压u(t)和电流和电流i(t)同同相，电路发生谐振。因此，相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是并联电路谐
8、振的条件是 2.谐振时的电压和电流谐振时的电压和电流 RLC并联电路谐振时，导纳并联电路谐振时，导纳Y(j 0)=G=1/R，具有最小，具有最小值。若端口外加电流源值。若端口外加电流源 ，电路谐振时的电压为，电路谐振时的电压为 电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容中电流为（见下页）中电流为（见下页）其中其中 称为称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图12-20(b)所示。所示。由以上各式和相量图可见，
9、谐振时电阻电流与电流源由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源电流相等电流相等 。电感电流与电容电流之和为零，即。电感电流与电容电流之和为零，即 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的。电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的Q倍，即倍，即 并联谐振又称为电流谐振。并联谐振又称为电流谐振。图图1220 3.谐振时的功率和能量谐振时的功率和能量 设电流源电流设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则：，则：电感和电容吸收的瞬时功率分别为：电感和电容吸收的瞬时功率分别为：由于由于i(t)=iL(t)+iC(t)=0(相当于虚开路相当于虚开路)，任何时刻进入，任何时刻
10、进入电感和电容的总瞬时功率为零，即电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电。电感和电容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出的功率容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出的功率全部被电阻吸收，即全部被电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。能量在电感和电容间往复交换能量在电感和电容间往复交换(图图1221)，形成了电，形成了电压和电流的正弦振荡。其情况和压和电流的正弦振荡。其情况和 LC并联电路由初始储能引并联电路由初始储能引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是 ，与串联，与串联谐振电路相同。谐振电路相同。图图1221 并联电路
11、谐振时的能量交换并联电路谐振时的能量交换 谐振时电感和电容的总能量保持常量，即谐振时电感和电容的总能量保持常量，即 图图1221 并联电路谐振时的能量交换并联电路谐振时的能量交换 由于并联电路的电压相同，即由于并联电路的电压相同，即UL=UC=RIS。当电阻。当电阻R增增加到加到2倍，或电容倍，或电容 C 增加到增加到4倍倍(增加一倍增加一倍)时，总储时，总储能增加到能增加到4倍，将导致电流倍，将导致电流IL=IC增加一倍。若电感减小到增加一倍。若电感减小到原值的原值的l/4(Q增加一倍增加一倍)，总能量，总能量 不变，而谐振时的电流不变，而谐振时的电流IL=IC增加一倍。总之，由增加一倍。总
12、之，由 R、L和和C的改变引起的改变引起 Q值变化的值变化的倍数与倍数与IL=IC变化的倍数相同。变化的倍数相同。谐振时电感和电容的总能量保持常量，即谐振时电感和电容的总能量保持常量，即 图图1221 并联电路谐振时的能量交换并联电路谐振时的能量交换 例例12-8 图图12-22(a)是是电电感感线线圈圈和和电电容容器器并并联联的的电电路路模模型型。已已知知R=1,L=0.1mH,C=0.01 F。试试求求电电路路的的谐谐振振 角频率和谐振时的阻抗。角频率和谐振时的阻抗。图图1222解：根据其相量模型解：根据其相量模型图图12-22(b)写出驱动点导纳写出驱动点导纳 令上式虚部为零令上式虚部为零 求得求得 是是RLC串联电路的品质因数。串联电路的品质因数。其中其中图图1222 当当Q 1时时,代入数值得到代入数值得到 谐振时的阻抗谐振时的阻抗 当当 0LR 时时 思考与练习思考与练习12-3-l 欲提高串联谐振电路的欲提高串联谐振电路的 Q值，应如何改变值，应如何改变 R、L和和 C?12-3-2 欲欲提提高高并并联联谐谐振振电电路路的的 Q值值，应应如如何何改改变变 R、L和和 C?图图12-3-312-3-3 电路如图电路如图12-3-3所示。若所示。若 ，问哪些单口，问哪些单口 相当于短路？哪些单口相当于开路？相当于短路？哪些单口相当于开路？