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1、首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 现代控制工程三 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 在控制u=0u=0情况下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运动线性定常系统的自由运动，可由齐次状态方程齐次状态方程描述：3.1 3.1 线性定常连续系统的自由运动线性定常连续系统的自由运动且 ，求导并考虑状态方程，得 齐次状态方程求解方法：幂级数法幂级数法、拉普拉斯变换法拉普拉斯
2、变换法和凯莱凯莱哈密顿定理法哈密顿定理法。1)1)幂级数法幂级数法:设齐次方程的解是t的向量幂级数式中，都是n维向量，2首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.1 3.1 线性定常连续系统的自由运动线性定常连续系统的自由运动等号两边对应的系数相等，有3首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 故 定义 则 称为矩阵指数函数，简称矩阵指数,又称为状态转移矩阵，记为：求解齐次状态方程的问题，核心就是计算状态转移矩阵的问题。4首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2)拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法：对 进行拉氏变换，有：进行拉氏反变换，有：与 相比有：它是 的闭
3、合形式。解解 例例 3-1 3-1 设系统状态方程为 ，试用拉氏变换求解。5首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 6首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态方程的解为:3)凯莱哈密顿定理凯莱哈密顿定理 4)矩阵A A满足它自己的特征方程。即若设n阶矩阵A的特征多项式为 则有:7首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 推论推论1 1 矩阵A的 次幂，可表为A的（n-1）阶多项式：从该定理还可导出以下两个推论：推论推论2 2 矩阵指数 可表为A的（n-1）阶多项式，即：在推论1中用A的特征值替代A后等式仍能满足：利用上式就可以确定待定系数 ：且各系数是线性
4、无关的。)(nkk8首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 求解上式，可求得系数 ，它们都是时间t的函数，将其代入推论2式后即可得出 。1)1)若若 互不相等互不相等 ：可写出各所构成的n元一次方程组为 ：9首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 10首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例3-2 3-2 已知 ，求 。解解 首先求A的特征值：将其代入 ，11首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 有 ，12首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 2)2)若矩阵若矩阵 A A 的特征值是的特征值是 m m 阶的阶的(m(m个重根个
5、重根)：3)则求解各系数的方程组的前m个方程可以写成：其它由 组成的（k-m）个方程仍与第一种情况相同，它们上式联立即可解出各待定系数。13首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 14首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例3-33-3 已知 ，求 。解解 先求矩阵 A A 的特征值，由得：15首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.2 3.2 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质状态转移矩阵 具有如下运算性质：1)2)3)在式 3）中，令 便可证明；表明 与 可交换，且 表明 可分解为 的乘积，且 是可交换的。16首页首页首页首页退出退出退出退出
6、跳转跳转跳转跳转 3.2 3.2 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质4)证明:由性质3）有根据 的这一性质，对于线性定常系统，显然有5)证明:由于 则 即由转移至的状态转移矩阵为17首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 6)证明：由 和得到 首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例3-4 3-4 已知状态转移矩阵为，试求。解：解：根据状态转移矩阵的运算性质有19首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.3 3.3 线性定常连续系统的受控运动线性定常连续系统的受控运动线性定常系统的受控运动线性定常系统的受控运动:线性定常系统在控制作用下的运动，数学描
7、述为：主要有如下两种解法：1)1)积分法积分法 由上式由于积分后有 即20首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.3 3.3 线性定常连续系统的受控运动线性定常连续系统的受控运动 式中，第一项为零输入响应；若取 作为初始时刻，则有第二项是零状态响应。通过变量代换，上式又可表示为：21首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例3-53-5 设系统状态方程为且 试求在作用下状态方程的解。解解 由于 前面已求得22首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 23首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.4 3.4 线性定常离散系统的分析线性定常离散
8、系统的分析1)1)递推法递推法(线性定常系统)重写系统的动态方程如下：令状态方程中的k=0，1，k-1，可得到T，2T，kT 时刻的状态，即：24首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.4 3.4 线性定常离散系统的分析线性定常离散系统的分析25首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.5 3.5 连续系统的离散化连续系统的离散化3.5.1 3.5.1 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化已知线性定常连续系统状态方程 在及 作用下的解为:令，令则并假定在 区间内，则26首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 3.5 3.5 连续系统的离散化连续系统的离散化 于是其解化为若记 变量代换得到 故离散化状态方程为 式中，与连续状态转移矩阵的关系为 27