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1、第三节第三节第一页，共29页。1一、条件一、条件(tiojin)(tiojin)概概率率 对对概率的概率的讨论总讨论总是相是相对对于某个确定的条件而言的，于某个确定的条件而言的，但有但有时时除了除了这这个确定的条件以外，个确定的条件以外，还还会提出会提出(t ch)(t ch)附附加的条件，即已知某一事件加的条件，即已知某一事件B B已已经发经发生，要求另一事件生，要求另一事件A A发发生的概率。生的概率。例如，考例如，考虑虑(kol)(kol)有两个孩子的家庭，假定男女出有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，生率相同，则则两个孩子的性两个孩子的性别为别为(男男,男男),(),(男男,女女),
2、(),(女女,男男),),(女女,女女)的可能性是一的可能性是一样样的。的。若若A记为记为“一男一女一男一女”，则则P(A)=1/2；但如果但如果预预先知道至少有一男孩，先知道至少有一男孩，则则上述事件的上述事件的概率概率应为应为2/3.第二页，共29页。2 例如，考例如，考虑虑有两个孩子有两个孩子(hi zi)(hi zi)的家庭，假定的家庭，假定男女出生率相同，男女出生率相同，则则两个孩子两个孩子(hi zi)(hi zi)的性的性别为别为(男男,男男),(),(男男,女女),(),(女女,男男),(),(女女,女女)的可能性是一的可能性是一样样的。的。若若A记为记为“一男一女一男一女”，
3、则则P(A)=1/2；但如果但如果预预先知道先知道(zh do)(zh do)至少有一男孩，至少有一男孩，则则上述事上述事件的概率件的概率应为应为2/3.2/3.我们我们(w men)(w men)将将“已知事件已知事件 B B 发生的条件下发生的条件下,事事件件 A A 发生的概率发生的概率”称为条件概率，记为称为条件概率，记为P(A|B)P(A|B)。若记若记B为为至少有一男孩，至少有一男孩，则则上述上述概率概率为为第三页，共29页。3条件概率的计算公式规定条件概率的计算公式规定(gudng)(gudng)如下：如下：例例 设袋中有设袋中有7 7个黑球，个黑球，3 3个白球，非还原摸取两次
4、，个白球，非还原摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为概率。若改为(i wi)(i wi)还原摸取，结果如何？还原摸取，结果如何？解解 设设A,BA,B分别分别(fnbi)(fnbi)表示第一、二次摸到表示第一、二次摸到白球白球,则则 非还原非还原:还原还原:第四页，共29页。4不不难验证难验证条件概率条件概率(gil)(gil)具有以下三个基本性具有以下三个基本性质质：(1)非负性非负性(2)规范性规范性(3)可列可加性可列可加性并由此推出条件并由此推出条件(tiojin)(tiojin)概率的其概率的其它性它性质质：第
5、五页，共29页。5二、乘法二、乘法(chngf)(chngf)公式公式由条件概率由条件概率(gil)的定的定义：义：即若即若P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以可以(ky)反求反求P(AB).若若P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：推广到三个事件：P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)一般一般,与次序无关。与次序无关。乘法乘法公式公式第六页，共29页。6例例1 1 解解第七页，共29页。7例例2 2 某厂产品某厂产品(chnpn)(chnpn)的废品率为的废品率为4%,4
6、%,而合格品在中有而合格品在中有75%75%是一等品是一等品,求一等品率求一等品率.解解记记A：合格品；合格品；B：一等品，一等品，即一等品率为即一等品率为72%.%.第八页，共29页。8 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个个球球迷迷好好不不容容易易才才搞搞到到一一张张入入场场券券.大大家家都都想想去去,只只好好用用抽抽签签的的方方法法(fngf)来解决来解决.入场入场券券5张同样张同样(tngyng)的卡片的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没写其余的什么也没写.将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依个人依次抽取次抽取.“先抽
7、的人当然先抽的人当然(dngrn)要比后抽的人抽到的机会大要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？后抽比先抽的确吃亏吗？第九页，共29页。9 到到底底(do d)谁谁说说的的对对呢呢？让让我我们们用用概概率率论论的的知知识识来来计计算算一一下下,每每个个人人抽抽到到“入入场场券券”的的概概率率到底到底(do d)有多大有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序按次序(cx)来，谁抽到来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”第十页，共29页。10用用Ai表示表
8、示(biosh)“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”，i1,2,3,4,5.显然显然(xinrn)，P(A1)=1/5.则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”.因为若第因为若第2个人个人(grn)抽到抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人(grn)肯定没抽到肯定没抽到.由于由于由乘法公式由乘法公式=(4/5)(1/4)同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此=1/5.第十一页，共29页。11这就是有关这就是有关(yugun)抽签顺序问题的抽签顺序问题的正确解答正确解答.(4/5)(3/4)(1/
9、3)=1/5.继续做下去就会发现继续做下去就会发现(fxin),每个人抽每个人抽到到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/5.抽签不必抽签不必(bb)争先恐后争先恐后.也就是说，也就是说，第十二页，共29页。12三、全概率三、全概率(gil)公式与贝叶公式与贝叶斯公式斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率算比较复杂事件的概率,它们实质上是加它们实质上是加法公式和乘法法公式和乘法(chngf)公式的综合运用公式的综合运用.综合综合(zngh)运运用用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P
10、(A)P(B|A)P(A)0第十三页，共29页。13A(即每次至多即每次至多(zhdu)(zhdu)发发生其生其中一个中一个)(即每次至少即每次至少发发生生(fshng)(fshng)其中其中一个一个)B1B2B3B4B6B7B5B8集合集合(j(j h h)的划分的划分第十四页，共29页。14AB1B2B3B4B6B7B5B8第十五页，共29页。15由概率的可加性及乘法由概率的可加性及乘法(chngf)(chngf)公式公式,有有 这这个公式称个公式称为为(chn wi)(chn wi)全概率公式，它是概率全概率公式，它是概率论论的基本公式的基本公式.第十六页，共29页。16全概率全概率(g
11、il)(gil)公式公式 利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算算(j sun)(j sun)问题，化为若干互不相容的较简单情形，问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和分别求概率然后求和 第十七页，共29页。17例例1 1 市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌(pn(pn pi)pi)产产品品,已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为3030、2020、5050,且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 3 3、3 3、1 1，试试求求市市场上该品牌场上该品牌(pn
12、pi)(pn pi)产品的次品率产品的次品率.B1、B2、B3分别分别(fnbi)表表示买到示买到设设A:A:买到一件次品买到一件次品(cpn)(cpn)；解解加权平均加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；第十八页，共29页。18例例2 2 袋袋中中有有a a个个白白球球b b个个黑黑球球(hi(hi qi)qi)，不不还还原原摸摸球球两两次次，问第二次摸出白球的概率为多少？问第二次摸出白球的概率为多少？解解分别分别(fnbi)(fnbi)记记A,BA,B为第一次、第二次摸到白球，为第一次、第二次摸到白球，由全概率由全概率(gil)(gil)公式公式,练习练习 求求第
13、三次摸出白球的概率第三次摸出白球的概率.第十九页，共29页。19解解分别记分别记A,B,CA,B,C为第一为第一(dy)(dy)、二、三次摸到白、二、三次摸到白球，球，由全概率由全概率(gil)(gil)公式公式,练习练习(linx)(linx)求第三次摸出白球求第三次摸出白球的概率的概率.第二十页，共29页。20 在上面例在上面例1 1中，如中，如买买到一件次品，到一件次品，问问它是甲厂生它是甲厂生产产(shngchn)(shngchn)的概率的概率为为多大？多大？这这就要用到就要用到贝贝叶斯公叶斯公式式.在全概率在全概率(gil)(gil)公式的假定下，公式的假定下，有有 该公式该公式(g
14、ngsh)于于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是它是在观察到事件在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原发生的每个原因因Bk的概率的概率.第二十一页，共29页。21所以这件商品最有可能所以这件商品最有可能(knng)(knng)是甲厂生是甲厂生产的产的.例例3 3 已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为3030、2020、5050,次次品品率率分分别别为为3 3、3 3、1 1.如如果果(rgu)(rgu)买买了了一一件件商商品品，发发现现是是次次品品，问问它它是是甲甲、乙乙、丙丙厂厂生生产产的的概率分别为多少概率
15、分别为多少?0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解解第二十二页，共29页。22 全概率公式可看成全概率公式可看成“由原因由原因(yunyn)(yunyn)推推结结果果”,”,而而贝贝叶斯公式的作用在于叶斯公式的作用在于“由由结结果推原因果推原因(yunyn)”:(yunyn)”:现现在在一个一个“结结果果”A”A已已经发经发生了，在众多可能的生了，在众多可能的“原因原因(yunyn)”(yunyn)”中中,到底是哪一个到底是哪一个导导致了致了这这一一结结果？果？第二十三页，共29页。23 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件A)之前，侦破人员之前，侦破人员(rnyun)根据过
16、去的前科，对他们根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，作案的可能性有一个估计，设为设为比如原来认为作案比如原来认为作案(zu n)可能性较小的某丙，可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个例如，某地发生了一个(y)案件，怀疑对象有甲、乙、丙案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人三人.丙丙乙乙甲甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节但在知道案情细节后后,这个估计就有了这个估计就有了变化变化.P(B1|A)知道知道A发生后发生后P(B2|A)P(B3|A)偏偏小小最最大大第二十四页，共29页。24 贝贝叶斯公式叶斯公式(gngsh)(gngsh)在
17、商在商业业决策及其它企决策及其它企业业管理学科中管理学科中均有重要均有重要应应用用.有人依据有人依据贝贝叶斯公式叶斯公式(gngsh)(gngsh)的思想的思想发发展了展了一整套一整套统计统计推断方法推断方法,叫作叫作“贝贝叶斯叶斯统计统计”.”.可可见贝见贝叶斯公式叶斯公式(gngsh)(gngsh)的影响的影响.第二十五页，共29页。25 下面再下面再举举一个例子一个例子(l zi)(l zi)，说说明明贝贝叶斯公式在叶斯公式在实际实际问题问题中的作用中的作用.解解第二十六页，共29页。26 因此，因此，虽虽然然检验检验法相当法相当(xingdng)(xingdng)可靠，但被可靠，但被诊诊断断为为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当因是人群中患肝癌的比例相当(xingdng)(xingdng)小。当然，小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种种检验检验，还还会会辅辅以其它以其它检验检验手段。手段。思考：诊断为无病思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率而确实没有患病的概率(gil)(gil)为为多少？多少？第二十七页，共29页。27第二十八页，共29页。28练习练习(linx)：P28 习题习题(xt)一一第二十九页，共29页。29