现代控制工程七.ppt

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1、首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 现代控制工程七 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 第六章第六章 线性定常控制系统的综合设计线性定常控制系统的综合设计本章主要内容是极点配置，通过设计反馈控制来改善系统极点的分配，达到改善系统相应特性的目的。系统反馈控制的分类：1按照反馈信号的来源或引出点分 （1）状态反馈（2）输出反馈2按照反馈信号的作用点或注入点分（1）反馈至状态微分处（2）反馈至

2、控制输入处 2首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 特点：系统无需可控可观便可以任意配置耦合极点，且设计上只须将状态反馈阵与原有的系统矩阵合并即可。能够实现这种反馈控制的系统极少。配置后系统的可控性与可观性可能改变。（1）状态反馈至状态微分处6.1 状态反馈与极点配置状态反馈与极点配置原系统方程原系统方程状态向量x通过待设计的状态反馈矩阵k，负反馈至控制输入处，（2）输出反馈至状态微分处6.1.1 反馈至状态微分处反馈至状态微分处6.1.2反馈至控制输入处反馈至控制输入处于是从而构成了状态反馈系统。3首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 是系统可控（可观性可能改变）

3、。状态反馈至控制输入状态反馈系统方程证明这里以SISO系统进行证明。设SISO系统可控，设计定理：引入反馈后，系统可控性不变，闭环极点可任意配置的充要条件将状态方程化为可控标准型，通过4首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 在变换后的状态空间内，引入状态反馈阵（8-185）这里分别由引出反馈系数，故变换后的状态动态方程为有5首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 式中显见 仍为可控标准型，故引入状态反馈，系统可控不变。适当选择 ，可满足特征方程中n个任意特定系统的要求，因而闭环极点可任意配置。充分性得证。再证必要性.其闭环特征方程为 设系统不可控，必有状态变量与输入u

4、无关，不可能实现全状态反馈。于是不可控子系统的特征值不可能重新配置，传递函数不反映不可控部分的特性。必要性得证。6首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 对在变换后状态空间中设计的k应换算回到原状态空间中去，故(61)对原受控系统直接采用状态反馈阵k，可获得于式(61)相同的特征值，这是因为线性变换后系统特征值不变。实际求解状态反馈阵时，并不一定要进行到可控标准型的变换，只需校验系统可控，计算特征多项式和特征值，并通过与具有希望特征值的特征多项式相比较，便可确定k阵。因为非奇异线性变换后传递函数矩阵不变，故原系统的传递函数矩阵为另外需注意:状态反馈系统仍是可控标准型。由于7首页首页

5、首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 而状态反馈系统的传递矩阵为显然，的分子相同，例8-46 设系统传递函数为试用状态反馈使闭环极点配置在2，1。解解单输入-单输出系统传递函数无零极点对消，故可控可观测。其可控标准型实现为8首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 （1X3 ）状态反馈矩阵为期望闭环极点对应的系统特征方程为由两特征方程同幂项系数应相同，可得即系统反馈阵将系统闭环极点配置在2，1。状态反馈系统特征方程为9首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-47设受控系统状态方程为 ，试用状态反馈使闭环极点配置在1。解由系统矩阵为对角阵，显见系统可控，但不稳定

6、。设反馈控制律为 ，则闭环特征多项式为10首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-48设受控系统传递函数为 综合指标为 超调量：；峰值时间 ；系统带宽：；试用极点配置法进行综合。位置误差 。因此，最后，闭环系统的状态方程为11首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 解1）如图所示，本题要用带输入变换的状态反馈来解题，AvS(A,B,C)KU图8-24带输入变换的状态反馈系统原系统可控标准型动态方程为2）根据技术指标确定希望极点系统有三个极点，为方便，选一对主导极点 ，另外一个为可忽略影响的远极点。12首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 由第三章，上

7、述指标计算公式如下：式中，分别为阻尼比和自然频率。于是，闭环主导极点为 ，将上述数据代入，从前两个指标可以分别求出：；代入带宽公式，可求得 ；综合考虑响应速度和带宽要求，取 。取非主导极点为 。3）确定状态反馈矩阵 k状态反馈系统的特征多项式为13首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 由此，状态反馈矩阵4）确定输入放大系数状态反馈系统闭环传递函数为因此由 ，可以求出14首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 6.2 输出反馈与极点配置输出反馈与极点配置输出反馈至控制输入6.2.1输出反馈至控制输入原系统闭环系统其中式中，h为(nx1)输出反馈阵。输出至输入的反馈不会改

8、变原系统的可控性和可观测性。只要输出是仪器传感器测得，系统总是可以实现的。注意：15首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 6.2.1输出反馈至状态微分处输出反馈至状态微分处原系统闭环系统式中，h为(nx1)输出反馈阵输出反馈至状态微分处设计定理：定理定理 用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是系统可观测提示：此定理可用对偶定理来证明。定理的证明也可以用与状态反馈配置极点定理证明类似的步骤进行。16首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 6.3 状态重构与状态观测器设计状态重构与状态观测器设计反馈控制类型（方法）反馈控制能力反馈设计可实现性闭环极点任意配置条

9、件状态反馈至状态微分处很强极差无状态反馈至控制输入处强差系统可控输出反馈至控制输入处强差系统可观输出反馈至状态微分处弱好可控可观足够的输入与输出，一般情况不能任意配置极点输出到状态观测器再到控制输入强好系统可控可观17首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 系统镇定6.3 系统镇定系统镇定v受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳定,这样的问题称为镇定问题。能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。镇定问题的重要性主要体现在3个方面:v首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条件,是对控制系统的最基本的要求;v其

10、次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设计目标;18首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 系统镇定v最后,稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能和条件,如渐近跟踪控制问题等。v镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置在期望的极点上。为了使系统稳定,只需将那些不稳定因子,即具有非负实部的极点,配置到s平面的左半开平面即可。因此,通过状态(输出)反馈矩阵使系统的特征值得到相应配置,把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左半开平面就可以实现系统镇定。19首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 系统镇定v下

11、面分别介绍基于状态反馈状态反馈输出反馈输出反馈(外输出反馈外输出反馈)的2种镇定方法。20首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定6.3.1 状态反馈镇定状态反馈镇定 v线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为:对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个状态反馈控制律:使得闭环系统状态方程是镇定的,其中K为状态反馈矩阵,v为参考输入。21首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定v对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。v定理定理6-3 状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇定。v证明证明根据状态反馈极点配置定理6

12、-1,对状态完全能控的系统,可以进行任意极点配置。因此,也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。22首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定v定理定理6-4 若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的,即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。证明证明(1)若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其按能控性分解为:其中,为完全能控子系统;为完全不能控子系统。23首页首页首页首页退出退出退出

13、退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定(2)由于线性变换不改变系统的特征值,故有:(3)由于原系统(A,B,C)与结构分解后的系统在稳定性和能控性上等价,假设K为系统的任意状态反馈矩阵,对引入状态反馈阵,可得闭环系统的系统矩阵为24首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定进而可得闭环系统特征多项式为:比较式(6-18)与式(6-20),可以发现:v引入状态反馈阵后,只能通过选择来使得的特征值具有负实部,从而使能控子系统渐近稳定。v但的选择并不能影响不能控子系统的特征值分布。v因此,当且仅当不能控子系统渐近稳定时(的特征值均具有负实部),整个系统是状态反馈能镇定的。v从而定

14、理得证。25首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定v基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法,可得到如下状态反馈镇定算法。v状态反馈镇定算法状态反馈镇定算法:步步1:将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩阵Pc,并可得到其中,为完全能控部分,为完全不能控部分但渐近稳定。26首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定步步2:利用极点配置算法求取状态反馈矩阵,使得具有一组稳定特征值。步步3:3:计算原系统(A,B,C)可镇定的状态反馈矩阵例例6-6 给定线性定常系统试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.27首页首页首页首页退出退

15、出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定v解解:1)对系统进行能控性分解。表明系统不完全能控.取能控性分解变换矩阵Pc为:28首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定于是可得原系统的能控性分解为由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。29首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定2)对能控部分进行极点配置由上可知,系统的能控部分为设A*为具有期望特征值的闭环系统矩阵且,本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。因此有30首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定显然,当反馈阵

16、为此时,闭环系统矩阵A*为31首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈镇定3)求取原系统的状态反馈镇定矩阵经检验,经状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。32首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 输出反馈镇定6.3.2 输出反馈镇定输出反馈镇定(外输出反馈外输出反馈)v线性定常连续系统输出反馈镇定问题可以描述为:对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个输出反馈控制律:u=-Hy+v式中,H为输出反馈矩阵,v为参考输入。引入输出反馈矩阵H后,闭环系统状态方程为:对是否可经输出反馈进行系统镇定问题,有如下定理。33首页首页首页首页退出退出退出退出 跳

17、转跳转跳转跳转 输出反馈镇定v定理定理6-5 系统(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观部分是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。证明证明 对进行能控能观性结构分解,可得34首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 输出反馈镇定由于输出反馈可以视为状态反馈K=HC的一种时的特例,且原系统(A,B,C)与结构分解后的系统在能观性和能控性上等价,同定理6-4证明过程,对系统引入输出反馈矩阵,可得闭环系统的系统矩阵35首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 输出反馈镇定相应的闭环系统特征多项式为:由能控能观性分解知,当且仅当的特征值均具有负实

18、部时,闭环系统才能获得渐近稳定。v因此,系统(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观部分是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。由定理6-5可知,能输出反馈镇定,一定可以状态反馈镇定。但反之则不尽然,能状态反馈能镇定的,并不一定能输出反馈镇定。36首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 输出反馈镇定v例例6-7 考虑线性定常系统(A,B,C),其中v分析通过输出反馈的系统可镇定性。v解解由系统的能控能观判据知,该系统是能控且能观的。因此,系统通过输出反馈能镇定的条件是整个系统都应是能镇定的。首先求系统的特征多项式为:由劳斯判据,开环系统不稳定。37首

19、页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 输出反馈镇定设输出反馈矩阵为H=h1h2T,则闭环系统的系统矩阵为:v相应的闭环系统特征多项式为:由劳斯判据,可以得出特征方程根均具有负实部(能够镇定)的h1及h2取值范围为:38首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 输出反馈镇定在本例中,若取h1=-3,h2=-2,则闭环系统特征多项式化为:其特征根为s1=-0.57,s2=-0.22+1.3j。v因此,原系统经过输出反馈H=-3-2T能够镇定。39首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 用全维状态观测器实现状态反馈原理6.3.1 全维状态观测器及其状态反馈系统组成结

20、构原系统模拟系统 设计H阵，将 反馈引入状态观测器，使 和 尽快衰减至零。设计原理：40首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 6.3.2 状态观测器的分析与设计状态观测器的分析与设计由图（62），全维状态观测器状态方程为故有，式中,(A-HC)称为观测器系统矩阵，H为nxq 维矩阵。状态误差向量 的状态方程为其解为为了保证状态反馈系统正常工作，必须满足41首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 当 时，恒有 ，输出反馈不起作用；当 时，有 ，输出反馈便起作用，提示：设计过程和方法与输出反馈到状态微分的系统相同这时只要观测器的极点具有负实部，状态误差向量总会按指数衰减，

21、衰减速率取决于观测器的极点配置。设计定理若系统 可观测，则可用全维观测器来给出状态估值，矩阵H可按极点配置的需要来设计，以决定状态估计误差衰减的速率。实际选择H阵参数时，既要防止状态反馈失真，又要防止数值过大导致饱和效应和噪声加剧等，通常希望观测器的响应速度比状态反馈系统的响应速度快310倍为好。42首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例例8-49设受控对象传递函数为 ，试设计全维状态观测器，将其极点配置在10，10。则有由于，输出反馈H为 矩阵全维观测器的系统矩阵为解解 该单输入单输出系统传递函数无零极点对消，故系统可控可观测。若写出其可控标准型实现，43首页首页首页首页退出

22、退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 观测器的特征方程为由特征方程同幂系数相等可得 分别为由 引至的反馈系数。期望特征方程为 一般来说，如果给定的系统模型是传递函数，建议按可观标准型实现较好，这样观测器的极点总可以任意配置，从而达到满意的效果。44首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 状态反馈子系统的动态方程6.3.3状态重构反馈系统分析与设计故复合系统动态方程为由于，且可以得到复合系统的另外一种形式。全维状态观测器子系统的动态方程为45首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 6.3.3状态重构反馈系统分析与设计（63）由式（63），可以导出复合系统传递函数矩阵为利用分块矩

23、阵求逆公式（64）则46首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 该式表明复合系统与状态反馈系统具有相同的传递特性，与观测器的部分无关，可用估值状态 代替真实状态 作为反馈。从 维复合系统导出了 传递函数矩阵，这是由于 不可控造成的。式（64）右端正是引入真实状态 作为反馈的状态反馈系统的传递函数矩阵。复合系统的特征值多项式为该式表明复合系统特征值是由状态反馈子系统和全维状态观测器的特征值组合而成的，且两部分特征值相互独立，彼此不受影响，因而状态反馈矩阵K和输出反馈矩阵H，可根据各自的要求来独立进行设计，故有下列定理。47首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 设设计计定

24、定理理(分分离离原原理理)若受控系统S可控可观测，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即K与H的设计可分别独立进行.6.4 降维状态观测器的概念降维状态观测器的概念当状态观测器估计状态向量维数小于受控对象状态向量维数时，称为降维状态观测器。一是系统不可观测；二是不可控系统的状态反馈控制设计；三是希望简化观测器的结构或减小状态估计的计算量。使用场合：48首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 例8-50已知和,试设计特征值为2的降维状态观测器.6.4 降维状态观测器的概念降维状态观测器的概念解解 (1)检查受控系统可观测性系统不可观测，实际上正是 不可观测。(2)考虑到 可通过测量得到，故设计一维状态观测器49首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 (4)由观测器特征方程 ,得到 。(3)将 作为观测量，故降维观测器动态方程最后为得到降维观测器动态方程为(5)如果要进行状态反馈，则可用作原系统状态反馈的状态信息。50首页首页首页首页退出退出退出退出 跳转跳转跳转跳转 注意：在本题中，可观测子系统的观测值不是由传感器直接测量得到，而是根据传感器的测量值计算出来的。即请读者自己考虑闭环状态反馈系统的控制器设计问题。51