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1、高考数学第二轮复习 压轴题高考坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学实施素质教育，有利于高校扩大办学自主权”的命题原则，坚持“考查基础知识的同时,注重考查能力”，这决定了每套高考试卷都有一道或几道把关的题目，我们称之为压轴题.这类题目的分值稳定在14分左右，多以传统的综合题或常用题型，与高等数学有关知识或方法联系比较紧密.如结合函数、不等式、导数研究无理型、分式型、指对数型以及多项式函数等初等函数的图像与性质，或数列兼考查数学归纳法，或以解析几何为主的向量与解析几何交汇，或以上三类题互相交汇形成新的综合问题，这类题目综合性强，解法多，有利于高校选拔.第一讲函数、不等式与导数型压轴题【调研1】设,
2、(1)试判断函数的单调性，并给出证明；(2)若的反函数为,证明 对任意的自然数,都有；(3)若的反函数,证明 方程有惟一解.分析：第（1）问先具体化函数后，再判断单调性，而判断单调性有定义法和导数法两条途径；第（2）问先具体化，再逐步逆向分析，寻找不等式的等价条件，最后转化为不等式的证明问题；第（3）问应分“存在有解”和“唯一性”两个方面证明.解析：（1），函数的定义域为.解法一：利用定义求解设任意，且，则，函数在上是增函数解法二：利用导数求解又函数在上是增函数(2) 由得，即（）证明不等式（），即证，也即证（）以下有两条求证途径：解法一：利用数学归纳法求证当时，不等式显然成立.设时成立，即当
3、时，当时不等式也成立.由可知，对利用大于或等于3的自然数都有成立.证明不等式（）解法二：利用放缩法求证等式（）故：(3) ，即是的一个根.假设另外还有一个解（），则 ()，这与相矛盾故有惟一解.【方法探究】证明不等式的方法很多，其中分析法和综合法是最基本的方法.分析法由果索因，优点是便于寻找解题思路，而综合法由因索果，优点是便于书写，所以我们在求解过程中，常常两种方法联合作战，从而衍生出“分析综合法”，在本例第（2）问以及下例第（2）问都中有所体现.【技巧点拨】对于压轴题，大多数同学都不能完全解答，如何更好发挥，争取更好的成绩？“分步解答”、“跳步解答”与“解准第一问”是很实用的夺分技巧，其中
4、分析综合题的各小问之间的关系是非常关键.从各小问之间的相互关系来分，数学综合题有以下三类：（1）递进型递进型解答题是指前问是后问的基础，只有前问正确解答，才能准确求解后问，若第（1）问出错，则可能“全军覆没”，这也是相当多同学不能很好发挥其数学水平的重要原因.对于这类题目，“解准第一问”是至关重要，不容丝毫的马虎.（2）并列式并列型解答题是指前问与后问关联性不强，前问是否正确，不会影响后问作答，如本例的三个问题.但这类题目也容易丢分，同学们在作答时，常常因为前问不会答而放弃后问的分析与思考，这时“跳步解答”非常关键.（3）混合式混合型解答题是指解答题有三个及其以上的小问，兼有以上两种类型的特点
5、，答题时注意“分步解答”，如本例万一不会求解第（2）问，具体化是没有问题的，争取得到一定的步骤分.【调研2】已知函数（），的导函数是对任意两个不相等的正数、 求证：（1）当时，；（2）当时，.分析：本例以高等数学的函数凸凹性、一致连续性、中值定理等知识为内核，综合考查函数的基本性质、导数求函数极值和均值不等式等知识的应用，考查综合分析、推理论证以及运算能力.第（1）问先根据题设条件具体化、的表达式，再对二者进行比较，可以逐项比较，也可以作差比较；第（2）问先具体化，再逐步逆向分析，采用分析法寻找解题思路，至于书写可用分析法，也可以用综合法.解析：（1）以下有两条求解途径：解法一：逐项比较法 又
6、 由、得 解法二：作差比较法，且，故（2）证法一：分析综合法由，得欲证 ，只需证即证成立设，则令得，列表如下：极小值 对任意两个不相等的正数，恒有证法二：综合法1对于任意两个不相等的正数、有 而 故：证法三：综合法2由，得是两个不相等的正数设，则，列表：极小值 即 【方法探究】本例以高等数学中的函数凸凹性与中值定理为知识载体，所以也可以采取高等数学方法求解：（1）当时，求证，联系凹（下凸）函数性质知，只需证明当时，只需证明（）为凹函数或下凸函数. 即证明“函数的二阶导数恒大于0”其具体证明如下：（）， 在时恒成立.（）为凹函数故（2）为证明，可以考虑对函数的导函数是在闭区间（或）上应用中值定理
7、，具体证明过程如下：不妨设，则由（1）问知，在闭区间上，由中值定理有，存在，使得： .下证当，时，有成立当，时，有恒成立当，时，令，则再令，得列表如下：-0+极小值即当，时，有，有故1.已知（1）若在时有极值1，求，的值.（2）当为非零实数时，证明的图像不存在与直线平行的切线；（3）记函数（）的最大值为M，求证.2.已知函数，且在处取得极值. (1)求的值和的极小值； (2)判断在其定义域上的单调性, 并予以证明；(3)已知 ABC的三个顶点A、B、C都在函数的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证ABC是钝角三角形， 但不可能是等腰三角形【参考答案】解析：（1）由在时有极值1有，解之得当，时，
8、当时，当时，从而符合在时，有极值，（2）假设图象在处的切线与直线平行，则，直线的斜率为，即从而方程无解，即不存在，使的图象不存在与直线平行的切线.（3）证法一：分类讨论若，则M应是和中最大的一个当时，当时，综上所述，成立.证法二：利用二次函数最值求解的顶点坐标是（，），若，则M应是和中最大的一个 若，则M应是、|中最大的一个（1）当时，（2）当时， 综上所述，成立.证法三：利用绝对值不等式的性质函数（）的最大值为M，62.解析：（1）（）在处取得极值，即（）令得或当时，当时，当时，当时，（2）恒成立，即函数在上是单调减函数.（3）设，且，则，故为钝角，为锐角三角形.另一方面，若为等腰三角形，则
9、只能是即，即，即，但与相矛盾，所以不能为等腰三角形.综上所述，ABC是钝角三角形， 但不可能是等腰三角形.第二讲递推数列、数学归纳法型压轴题数列和数学归纳法是初等数学与高等数学的最重要衔接点之一，是中学数学的重要组成部分，涉及知识面广、综合性强、方法灵活、试题新颖、技巧性突出，蕴含函数与方程，等价转化、分类与整合等数学思想以及错位相减法、归纳猜想证明、叠加（乘）法、叠代法、裂项法等大量的数学方法，是代数计算与逻辑推理训练的重要题材，因而这类题目多以压轴题的形式出现，成为高考的重头戏之一.【调研1】已知函数是定义在R上的不恒为零的函数, 且对于任意的, 都满足.若，（），求.数列的通项公式；.数
10、列的前项和为，问是否存在正整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，则说明理由.分析: 求解本题的关键在于准确求解第（1）小问，所以准确化简成为求解本例的焦点.大致有以下三条途径：.由已知条件探索的规律，最后用数学归纳法证明；.将所给函数关系式适当变形, 根据其形式特点构造另一个函数, 设法用此函数求出；.设法将转化为熟悉的数列.解析:（1）解法一：“归纳猜想证明”法对于任意的, 都满足猜想 （）现在用数学归纳法证明：.显然时，左边，右边时，命题显然成立.设（）时有当时时，命题成立.由可知，对任意都有（）成立.又故数列的通项公式解法二：构造函数法 当时，有令，则即为: 即，即
11、余下的过程同解法一.证法三: 转化为特殊数列求解对于任意的, 都满足，即新数列是公差为2，首项为的等差数列，即故数列的通项公式.（2）假设存在正整数，使得对任意的都有成立，则由（1）问可知，所以恒成立，即故存在正整数，使得对任意的都有成立，此时的最小值为7.【方法探究】本例是已知抽象函数关系, 利用函数迭代求数列通项问题.在所给的三种方法之中, 解法一利用“归纳猜想证明”求解，思路自然, 但较为繁琐；解法二利用构造函数法求解，比较简洁，但技巧性强；解法三转化为特殊数列求解，思维跨度大.这三种证法反应出求解数列与函数综合题的共同规律: 充分应用已知条件变形转化, 根据其形式特点构造新的数列, 然
12、后利用数列的性质求解.【调研2】已知等差数列的公差大于0，且、是方程的两根，数列的前项和为，且（）（1）求数列、的通项公式；（2）设数列的前项和为，试比较与的大小.分析：（1）由方程可求、，从而得到等差数列的通项；由公式求解数列的通项.（2）要比较与的大小，应先由（1）问具体化、，再求出前几项，探索大小规律，最后用数学归纳法证明.解析：（1）、是方程的两根，公差大于0=3，=9，即，（）数列的前项和为，且（）当时，当时，（），即故，（2）解法一：归纳猜想证明由（1）可知，当时，当时，当时，当时，当时，猜想：时，以下用数学归纳法证明：（1）当时，由上可知成立.（2）设（）时，即当时，当时，成立.
13、由（1）（2）知，时，.综上所述，当，时，当时，.解法二：放缩法证明当，时，同以上解法 当，时综上所述，当，时， ，当时，.【方法探究】通过对有限个特例进行考察，猜想一般的结论，然后运用数学归纳法证明，即“观察猜想证明”，这是中学数学中重要的解题方法，可有效解决探索性问题、存在性问题或某些与自然数有关的命题，在求解时注意“猜想大胆、求证小心”.【技巧点拨】放缩法是证明不等式的常用方法，过程简洁，但有一定难度，犹如花中的玫瑰，美丽但有刺. 成功运用放缩法求证的关键在于把握放缩尺度，在平时训练中注意多积累与整理.常见的放缩技巧有：（1）添项或减项的“添舍放缩”，如本例，只取的二项展开式的前四项进行
14、放缩；（2）拆项对比的“分项放缩”；（3）运用分数的性质放缩，如分子增加正数项或分母减少正数项，分数值变大，反之变小； a, b, m都是正数并且，有（真分数的性质）等.（4）运用不等式串放缩，如在第3讲例2第（2）问中求证时，运用该技巧放缩后，再裂项相加求解.类似的不等式有， 等.1.已知函数的图象经过点A（1，1）、B（2，3）及C（），为数列的前项和，.（1）求及；（2）若数列满足，记（）求证：.2.第七届国际数学教育大会的会徽的主体是由一连串直角三角形演变而成，其中.若将图2的直角三角形继续作下去，并记、 、 的长度所构成的数列为（1）求数列的通项公式（2）若函数，求函数的最小值；（3
15、）设，数列的前项和为.解不等式OABCDEFGHI图1图23.已知一次函数的反函数为，且，若点（）在曲线上，对于大于或等于2的任意自然数均有 .（1）求的表达式；（2）求的通项公式；（3）设，求.4.已知数列与满足下列关系：（），（）（1）求数列的通项公式，并化简；（2）设是数列的前n项和，当时，与是否有确定的大小关系？若有，请并加以证明，若没有，请说明理由.【参考答案】1.解析：（1）函数的图象经过点A（1，1）、B（2，3）解之得函数的图象经过C（）（）当时，当时，当时，满足数列的通项为故：，（）（2）由（1）可知，则（）在上单调递增当时综上可得2.解析：（1）由题意有 即（2） 即函数是
16、递增数列的最小值为 （3） 即为 解之得且3.分析：由为一次函数的反函数得也为一次函数，所以可设；由得，从而有；由“点（）在曲线上，且”确定斜率，一旦直线的解析式确定，剩下的问题水到渠成.解析：（1）为一次函数，且为其反函数设由得，即且（）均在直线上，且（2）（）均在直线上当时，（3）4.已知数列与满足下列关系：（），（）（1）求数列的通项公式，并化简；（2）设是数列的前n项和，当时，与是否有确定的大小关系？若有，请并加以证明，若没有，请说明理由.4.解析：（1）（），即故（2）当时，（当且仅当时取“”），故.第三讲解析几何型压轴题xyOPM解析几何综合题是高考命题的一个热点内容，这类试题往往
17、以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、向量、数列等知识，涉及知识点多，综合性强，题目多变，解法灵活多样，能较好体现高考的选拔功能，因此这类题目常常以压轴题的形式出现.求解这类题目，注意在掌握通性通法的同时，从宏观上把握，微观上突破，在审题和解题思路上下功夫，不断跨越求解征途中可能会遇到的一道道运算难关，最终达到求解目的.【调研1】若，为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足，.（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点，求双曲线的方程；（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为，（在轴的正半轴上），过作直线与双曲线交于，两点，求时，直线的方程.分析：弄清向量表达
18、式是求解本题的关键！由向量的数量积定义可知，即OP是的角平分线，联系可判断四边形是菱形.解析：（1）由知四边形是平行四边形又由知平分四边形是菱形设焦半距为，则有 由双曲线第二定义可知，即（舍去）（2） 双曲线方程为又双曲线过点，即所求双曲线的方程为（3）由题意知，则设直线的方程为，则由有双曲线的渐近线为当时，与双曲线只有一个交点，即，又，即直线的方程为【方法探究】平面向量是高中数学新增内容，兼有代数和几何特性，是高中数学应用最广泛的数学工具之一，解析几何是高中数学的传统重点内容，是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近三年来新高考的一个新亮点.这类综合问题大致可分三类：（1）平面向量
19、与圆锥曲线符号层面上的整合问题：这类题目是平面向量和圆锥曲线的简单拼盘，在平面向量刚进入高考时，比较常见，近来比较少；（2）平面向量与圆锥曲线知识层面上的整合问题：用平面向量语言包装解析几何中元素的关系，试题情境新颖，结合点选取恰到好处，命题手法日趋成熟，如本例求解过程中，明确向量式“”与“ ”含义，还原几何元素“菱形”是求解关键；（3）平面向量与圆锥曲线应用层面的整合问题：以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题，这类问题往往更具有挑战性.【调研2】在平面上有一系列点，对每个自然数,点位于函数的图象上以点为圆心的与轴都
20、相切，且与又彼此外切若,且 （1）求证数列是等差数列；（2）设的面积为，, 求证：分析：本题是数列与圆锥曲线的综合题，求解过程有两个关键点：.由与彼此外切，从而构建关于的递推关系式，突破的办法是具体化已知条件 “与彼此外切”为；.经过一系列演算后得到，如何放缩？放缩度是把握问题的关键.解析：（1）与彼此外切，即两边平方并化简得依题意有的半径，即 数列是以为首项，以2为公差的等差数列.(2) 由（1）问有，即，【方法探究】在04年的湖南、上海、浙江卷， 05年的上海、浙江卷，06年的重庆、山东、湖北、浙江等卷都有数列与解析几何的综合问题.这类题综合性强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力以及
21、函数与方程、数形结合、特殊化与一般化等数学思想.这类试题大多以点列的形式出现的，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质熔合.求解这类题目关键在于利用曲线性质建立数列的递推式，转化为代数问题求解.【技巧点拨】数列的判断与证明是数列的常考点，其求解过程常常从数列通项或递推式入手，通常有两种方法：.定义法证明数列每项与它的前项之差（比）是同一个常数，即证，为常数（，为不等于零的常数）；.中项法证明每一项都是它的前一项和后一项的等差（比）中项，即证（）.【调研3】在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在
22、第一象限的部分为曲线，动点在上，在点处的切线与轴的交点分别为，且向量.求：（1）点的轨迹方程；（2）的最小值.分析：求解本例可以根据以下步骤进行：求立椭圆的方程，得到曲线的方程；求过点的切线方程，求出点、的坐标；运用相关点法求点的轨迹方程；具体化，转化为函数最值问题求解.解析：椭圆的焦点为、，离心率为椭圆方程可写为（），其中，解之得，曲线的方程为(0x1)，设在曲线上的动点(0x00，但不存在符合题意的实数m,使得3.解析：（1）当、或时，曲线C表示直线.当且且时，曲线C可化为（1）方程（1）表示椭圆的充要条件是 解之得（2） 曲线C是焦点在轴上的双曲线且离心率为，从而有 故曲线C的方程为（3）假设存在直线，设，则有，即B是线段的中点 ， 直线的斜率，即直线：又直线与双曲线交于两点，由得，此时，方程无实数根.即直线与双曲线无交点.故不存在满足条件的直线.点评：本题易忽视直线与双曲线交于MN两点的隐含条件，而得出存在直线为的错误结论.