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1、第六章 定积分的应用作业习题1、求抛物线与轴所围成图形的面积。2、求抛物线与所围成图形的面积。3、求圆的面积、圆周长。4、求星形线围成图形的面积，全周长，绕轴旋转体体积。5、求三叶玫瑰线的面积。6、求双纽线的面积。7、求心脏线绕极轴旋转所成旋转体体积。8、求摆线与轴围成图形的面积，弧长，绕轴旋转体体积。9、求悬链线下的曲边梯形的面积，弧长，绕轴旋转体体积。10、抛物线绕轴旋转所得旋转抛物面的体积。11、证明曲线的一个周期的弧长等于椭圆的周长。12、求椭球体的体积。13、设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）。设圆柱体的比重为，现将圆柱体从水中移出水面，问需做
2、多少功？14、一块高为，底为的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。15、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少？作业习题参考答案：1、解：令得。故抛物线与轴交点为及，所求图形为轴上半部分。 。2、解：两条抛物线交点为。则。3、解：由对称性，只需考虑第一象限，；故圆面积为。由圆的参数方程，求周长只需考虑第一象限，；圆周长。4、解：由对称性只需考虑第一象限， ； ； 5、解：三叶玫瑰线一瓣对应角从到，故 。6、解：。
3、7、解： 。8、解：；9、解：；。10、解：。11、证：曲线的一个周期的弧长为；对于椭圆，由于其参数方程为故 ；可见 。12、解：用垂直于轴的平面截椭球，交轴于，所得截面为椭圆即于是此椭圆的面积为，从而椭球体的体积为。xxyR-yyo13、解：建立如图所示坐标系，把平放的圆柱体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高，所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功及从水面提高到高度提升力所做的功之和；水下部分提升力，R+y所以水上部分提升力，故，因此。14、解：如图所示，取水平面上的底为轴，则直线的方程为ocdyA(0,a)所以 x ，故此三角形板每面所受压力为。y15、解：设击入深度为，则，击第一次时所做的功为 ，设在第二次锤击时，铁钉击入木板内总深度H，则第二次锤击所做的功为，由于所以第二次击入的深度为。讨论习题：1、设有连续导数，且当时，与是同阶无穷小，求。2、设连续，且（常数），讨论在处的连续性。3、确定常数的值，使。讨论习题参考答案：1、；2、在处连续；3、。思考题：1、 抛物线分圆成两部分，求两部分的面积。2、 曲线绕轴旋转而成的圆环面的体积。思考题参考答案：1、。2、。