奥数入门知识之趣味数学.doc

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1、奥数入门知识之趣味数学1.钟声 小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3 秒，间隔1 秒后再敲第二下。 假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6 点，前后共经过了几秒钟？ 分析与解 从第一下钟声响起，到敲响第6 下共有5 个“延时”、 5 个“间隔”，共计（3+1）5=20 秒。当第6 下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到“延时3 秒”和“间隔1 秒”都结束后而没有第7 下敲响，才能判断出确是清晨6 点。因此，答案应是：（31）6=24（秒）。 28.最少拿几次？ 晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开

2、装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会 做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3 个是同一颜色的？” 听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？ 分析与解 至少拿7 次，才能保证其中有3 个棋子同一颜色。 我们可以这样想：按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第4 次开始，将有2 个棋子是同一颜色。到第6 次，三种颜色的棋子各有2 个。当第7 次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的6 个棋子中

3、必有2 个与它同色，即出现3 个棋子同一颜色的现象。 同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有4 个棋子同一颜色，至少要拿几次？如果要求5 个棋子的颜色相同呢？29.巧手摆花坛 学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块小黑板，上面写着：“各中队少先队员：花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出下面两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。 要在这个花坛的四周摆上16 盆麦冬，要求每边都是7 盆，应该怎样摆？ 还要在这个花坛四周摆上24 盆串红，要求每边也是7 盆，应该怎样摆？“ 同学们，你会摆吗？请你试试看。分析与解 答案如下图

4、：请你把18 这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面的4 个角上的数之和都相等。 分析与解 做这种填数游戏，有两种方法，一种是“笨”方法，即凑数的方法。分别用这8 个数去试，这种方法可行，但很费事。另一种方法是用分析、计算的方法。这道题可以分析、计算如下：在计算各个面上4 个数的和时，顶点上的数总是分属3 个不同的面，这样，每个顶点上的数都被重复计算了3 次。因此，各个面上4 个数的和为18 这8 个数的和的3 倍，即（12+3+.+8）3=108.又因为正方体有6 个面，也就是每个面上的四个数的和应是1086=18.18 应是我们填数的标准。 如果在前面上填入1、7、2、8（如

5、图31），那么右侧面上已有2、8，其余两顶点只能填3、5.以此类推，答案如图31 所示。31.算算这笔账 小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是990 元。 但是甲种收录机是紧俏商品，赚了10；乙种收录机是滞销品，赔了10。 假如今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若赚了，则赚了多少？若赔了，则赔了多少？你会算这笔账吗？ 分析与解 赚了10后是990 元，原价是：990（110）=900（元） 赔了10%后是990 元，原价是：990（1-10%）=1100（元） 那么两台收录机，原来进价为9001100=2000 元，现在卖了9902=1980元。因

6、此，这个商店卖出甲、乙两种收录机各一台，赔了2000-1980=20 元。33.谁得优秀？ 六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试后，甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：甲说：“如果我得优，那么乙也得优。” 乙说：“如果我得优，那么丙也得优。” 丙说：“如果我得优，那么丁也得优。” 以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人中谁得优秀？ 分析与解 我们可以这样想：如果甲得优秀，那么乙、丙、丁都得优秀，这与实际不符；如果乙得优秀，则丙、丁也得优秀，也与实际不符。因此，只能丙、丁得优秀，才符合实际情况。判断结果是：丙、丁得优秀。9.扩大鱼池养鱼专业户张

7、强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如图24），喜获丰收。为了进一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：扩大后的鱼池必须仍是三角形，保持“金三角”鱼池的称号；扩大后的鱼池面积是原面积的4 倍；原鱼池的三个角上栽的3 棵大柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图吗？ 分析与解 草图如图25 所示。 我们只要过三角形的三个顶点，分别作它们所对的边的平行线，两两相交，成一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的4 倍。14.从1 到100 万 大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。 传说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+23+99+10O 的和是多少？ 老师刚把题目说完，

8、小高斯就算出了答案：这100 个数的和是5050.原来，小高斯是这样算的：依次把这100 个数的头和尾都加起来，即 1100，299，398，5051，共50 对，每对都是 101，总和就是 10150=5050.现在请你算一道题：从1 到 这100 万个数的数字之和是多少？ 注意：这里说的“100 万个数的数字之和”，不是“这100 万个数之和”。 例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 这12 个数的数字之和就是1+234+56789101+1+1+2=51.请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。 分析与解 可以在这100 万个数前面加一个“0”，再把这些

9、数两两分组： 和 0 和 1 和 2 和 3依此类推，一共可分为50 万组，最后剩下 这个数不成对。 各组数的数字之和都是999999=54，最后的 数字之和是1.所以这100 万个数的数字之和为：（54）+1=18.完全数 如果整数a 能被b 整除，那么b 就叫做a 的一个因数。例如，1、2、3、4、6 都是12 的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。例如，6 就是最小的一个完全数，因为除6 以外的6的因数是1、2、3，而6=1+23.你能在20 至30 之间找出第二个完全数吗？ 分析与解 20 至30 之间的完全数是28.因为除28 以外的28 的因数

10、是1、2、4、7、14，而28=124714.寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家 研究，到目前为止，一共找到了23 个完全数。第三、四个完全数是：496=1+2+4+816+31+62124+248 8128=124+81632+64127+254508+10162032+4064奇怪的是，已发现的23 个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至今无人能回答。完全数问题还是一个没有解决的问题。23.一筐苹果 入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果2 个、2 个地数，余1 个；3 个、3 个地数，余2 个；4 个、4 个地数，余3 个；5 个、5 个地数，余4 个；6 个、6 个

11、地数，余5 个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？ 分析与解 根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加1，就恰好是2、3、4、5、6 的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个数应该是2、3、4、5、6 的最小公倍数减去1. 2，3，4，5，6=60 60-1=59即这筐苹果至少有59 个。24.怎样分？ 有44 枚棋子，要分装在1O 个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分？ 分析与解 无法分。 因为要想使这10 个小盒中的棋子数互不相同，至少可使这10 个盒子中的棋子数分别为 0、 1、2、3、4、5、6、7、8、9；这样共需要45 枚棋子。 而实际只有44 枚棋子，因此

12、，必有两盒或两盒以上的棋子数相同。25.不要急于动手 左图是一个正方形，被分成6 横行，6 纵列。在每个方格中，可任意填入1、2、3 中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同，这可能吗？为什么？ 分析与解 不可能。 这是因为每行、每列和两条对角线都是由6 个方格组成的，那么数字之和最小是16=6，数字之和最大是36=18.要想使各行、各列及对角线上的数字之和各不相同，只能出现6、7、8、9、17、18 这13 种数字和，但实际却需要6（行）6（列）2（对角线）=14 种不同的数字和。 由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可能的。26.数字小魔术 新

13、年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意4 个自然数（不重复写），我保证能从你们写的4 个数中，找出两个数，它们的差能被3 整除。” 王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学们一个个念起自己 写的4 个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能

14、被3 整除的两个数。 同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？ 分析与解 其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是听数学规律的话。 因为任意一个自然数被3 除，余数只能有3 种可能，即余0、余1、余2.如果把自然数按被3 除后的余数分类，只能分为3 类，而王老师让同学们在纸条上写的却是4 个数，那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相减（以大减小）所得的差，当然能被3 整除。 王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以，只要我们刻苦学习数学，掌握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。51.托尔斯泰的算题（一） 托尔斯泰是19 世纪末俄国的伟大作家。他对算术也很有兴趣，还写

15、过算术课本。他特别喜欢表面复杂，但却有简便方法解答的算题。下面就是托尔斯泰非常喜欢的“割草人”算题：“一队割草人要收割两块草地，其中一块比另一块大1 倍。全队在大块1. 从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 种2. 甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法3. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加某天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动有 种不同的选法4. 从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列

16、，共有 种不同的排法5. 若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方案有 种6. 有a，b，c，d，e共5个火车站，都有往返车，问车站间共需要准备 种火车票7. 某年全国足球甲级联赛有14个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一场，共进行 场比赛8. 由数字1、2、3、4、5、6可以组成 个没有重复数字的正整数9. 用0到9这10个数字可以组成 个没有重复数字的三位数10. （1）有5本不同的书，从中选出3本送给3位同学每人1本，共有 种不同的选法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学每人1本，共有 种不同的选法11. 计划展出10幅不同的画

17、，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有 种12. （1）将18个人排成一排，不同的排法有 少种；（2）将18个人排成两排，每排9人，不同的排法有 种；（3）将18个人排成三排，每排6人，不同的排法有 种13. 5人站成一排，（1）其中甲、乙两人必须相邻，有 种不同的排法；（2）其中甲、乙两人不能相邻，有 种不同的排法；（3）其中甲不站排头、乙不站排尾，有 种不同的排法14. 5名学生和1名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有 种不同的站法15. 4名学生和3名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法

18、有 种16. 停车场有7个停车位，现在有4辆车要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法有 种17. 在7名运动员中选出4名组成接力队参加4100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有 种18. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球（1）从口袋内取出3个球，共有 种取法；（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有 种取法；（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 种取法19. 甲，乙，丙，丁4个足球队举行单循环赛：（1）共需比赛 场；（2）冠亚军共有 种可能20. 按下列条件，从12人中选出5人，有 种不同选法（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；21. 某歌舞团有7名演员，其中3名会唱歌，2名会跳舞，2名既会唱歌又会跳舞，现在要从7名演员中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，到农村演出，问有 种选法22. 从6名男生和4名女生中，选出3名男生和2名女生分别承担A，B，C，D，E五项工作，一共有 种不同的分配方法