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1、第三章 三角形3. 1 认识三角形第三课时 三角形的中线与角平分线【学习目标】1. 能说出三角形的中线、重心、角平分线的概念. 2. 知道三角形三条中线相交于一点，这个点叫重心；知道三角形三条角平分线相交于一点. 3. 会运用三角形中线、角平分线进行简单的计算. 【课前导学 温故与预习】课前热身1. 把一条线段分成两条 的线段的点叫做线段的中点. 如图，点C是线段AB的中点，AB=6cm，则BC=3cm. 2. 如果一条 线把一个角分成两个 的角，这条 线叫做这个角的平分线. 如图，射线BD是ABC的角平分线，且ABD=24，则ABC=48. 3. 已知ABC，请用尺规作它的角平分线. 自主学
2、习自学教材68页69页，初步学习后填写下表：文字语言图形语言符号语言在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. AE是ABC的BC边上的中线，BE=EC=BC. 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. AD是ABC的角平分线，此时：1=2=BAC. 【互动课堂 探究与合作】探究点一：三角形的中线1. 如图，已知三角形ABC，请画出它的中线，你有哪些方法？ 2. 观察上图填空：BC边上的中线是AD，AC边上的中线是BE，AB边上的中线是CF. 锐角三角形ABC一共有三条中线，并且这三条中线相交于一点，这个点叫做三角
3、形的重心. （如图，用铅笔支起三角形的重心可以让三角形保持平衡哦！可以试一试） 4. 三角形中线的特点：如图，已知AE是中BC边上的中线，则BE= = .5. 上图中，若AB=6，AC=4,你能通过观察求出ABD的周长和ADC的周长差吗？ .6.(1) 如图，BD是ABC的中线，则ABD与CBD的面积有什么关系？分析：过点B作BEAC，可以发现BE既是ABD的高，也是CBD的高，所以 ， ，又因为BD是ABC的中线，所以AD=CD，所以，重要结论：三角形中线分得的两个三角形面积相等. (2) 如图，ABC中,如果点D是AC的三等分点呢，则分两个的三角形面积又是什么关系？点D是n等分点呢？解：当
4、点D是AC的三等分点时，两个三角形面积成2倍关系；当点D是n等分点时，两个三角形的面积成（n-1）倍关系. 探究点二：三角形角平分线1. 三角形有_条角平分线，它们是_(直线、射线、线段)。想一想下图三个三角形的角平分线它们是不是交于一点呢？与同桌分工试一试吧！结论：三角形三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心. 4. 三角形角平分线的特点，如图：已知AD是ABC的角平分线，则1= = .小组合作展示展示1如图1，RtABC中，A=90，C=40，BD是角平分线，求ADB，CBA的度数. 解：RtABC中，A=90，C=40，CBA=50BD是角平分线ABD=25ADB=90-ABD=
5、90-25=65 方法点睛三角形的角平分线平分三角形的内角，常常与三角形的内角的计算进行综合. 自我展练如图，ABC中，ABC=C，BD是ABC的平分线，BDC=110，求A的度数. 展示2如图，若BC是RtADB中DA边上的中线，D=90，AB=2BD，且BDC的周长比ABC的周长少3，求BD，BA的长. 解： BC是RtADB中DA边上的中线，DC=AC， BDC的周长比ABC的周长少3，即（AB+BC+CA）-（BD+BC+DC）=3，AB-BD=3，又AB=2BD，设BD=x，则AB=2x，2x-x=3. x=3. BA=2BD=6. 方法点睛三角形的中线分三角形一边为相等的两段，常用
6、于边的计算，有时也与周长、面积等知识相综合. 自我展练如图，在ABC中，AB=AC，中线BD把这个三角形的周长分成15和16两部分，求BC边的长. 【当堂过关即学即练5-10分钟】探究点一：三角形的中线1. 如图，AE是ABC的中线，AD是ABC的角平分线，那么BC= BE，BAC= CAD；2. 如图，在ABC中，BD是AC边上的中线，且AB=6，BC=5，则ABD和DBC的周长差是 . 3. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 中位线（注：中位线即三角形两条边中点的连线. ）探究点二：三角形的角平分线1. 如图，在ABC中，
7、BAC=68，B=36，AD是ABC的一条角平分线，则ADB的度数是 . 【反思小结】1、知识要点：（1） 叫三角形的中线，三角形有三条中线，它们都在三角形的内部，它们相交于一点，这个点叫三角形的重心. （2） 叫三角形的角平分线，三角形有三条角平分线，它们都在三角形的内部，它们相交于一点，这个点叫三角形的内心. 2、思想方法：（1）抓住概念的本质：即三角形的中线等分线段，三角形的角平分线等分角. （2）三角形的中线常与求线段长、周长、面积问题结合，三角形的角平分线常与求角度问题相结合. 3、学习方法：（1）联想学习：通过复习线段的中点，角的平分线建立三角形的中线，角平分线的概念. （2）注意
8、图形、符号、文字语言的相互转化. 【课后分级训练】A级基础过关训练1. 下列说法正确的是（ ）（A）三角形的三条角平分线交点叫重心 （B）三角形的三条中线可以不在三角形内部，（C）三角形中线把三角形分成两个三角形周长相等，（D）三角形的有三条角平分线，并且相交于一点. 2. 如图，在ABC中，AD平分BAC，ADB=110，B=40，则C= 度3. 如图，AD是ABC的中线，ABC的面积为18，则ABD的面积是 . 4. 已知A:C:B=9:4:5，BD平分ABC，求C和CDB的度数. 5. 在ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5cm， DBC的周长为25cm，求ADC的周长. 6. 如图
9、，在ABC中，A=50， B=68，CD是ACB的角平分线，点E在AC上，且DEBC，求EDC的度数. B级能力提升妙题7. 如图，在ABC中，点P是ABC的内心，则PBC+PCA+PAB= 90 度. 8、如图，三边均不等长的，若在此三角形内找一点O，使得、的面积均相等. 判断下列作法哪个正确？A. 作中线AD，再取AD的中点O，B. 分别作中线AD、BE，再取两中线的交点O，C. 分别作高线AD、DE，再取两高线交点O，D. 分别作、的角平分线，再取此两角平分线的交点O. 9. 如图，BO、CO分别平分ABC的内角ABC、ACB，BO和CO相交于点O，(1)若B=80，C=60，求BOC的
10、度数. (2)若A=40 ，求BOC的度数. (3)若A=，用含的代数式表示BOC，你能用文字来概括这个结论吗？10. 将上题变式，请用类似的方法探索：（1）如图1，BO、CO分别是ABC的内角ABC、外角ACD的平分线，BO和CO相交于点O，请写出BOC与A的关系式： . （2）如图2，BO、CO分别是ABC的外角EBC、外角FCB的平分线，BO和CO相交于点O，请写出BOC与A的关系式： . C级探究创新热点（13）11. （2011湖北黄冈，6，3分）如图，在ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设ABC、ADF、BEF的面积分别为SABC，SADF，SBEF，且SABC=12，则SADFSBEF=_2_12、思考：一块三角形的煎饼，要把它分成面积大小相同的6块应怎样分?你有多少种分法?如果限定只能切三刀呢?