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1、圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理浙江省诸暨市学勉中学（）郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。一、有关圆的基础知识要点归纳1 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2 圆的标准方程 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得，其中圆心坐标为，半径为；当时，即圆心在原点时圆的标准方程为； 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。3 圆的一般方程圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，； 圆
2、的一般方程的特点：（1）项系数相等且不为0；（2）没有这样的二次项 二元二次方程表示圆的必要条件是且； 二元二次方程表示圆的充要条件是且且4 圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量将变量联系起来的一个方程. 圆心在原点，半径为的圆的参数方程是：为参数）； 圆心在，半径为的圆的参数方程是：为参数）；5 圆方程之间的互化即圆心，半径利用得为参数）6 确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆
3、的标准方程，即列出的方程组，求出的值，也可根据圆的特点直接求出圆心，半径。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。7 点与圆的位置关系设圆，点到圆心的距离为，则有： (1)点在圆外； (2) 点在圆上； (3) 点在圆内8 直线与圆的位置关系设圆，直线的方程为（不全为0），圆心，判别式为，则有： (1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离与半径的大小来判断 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离； (2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个
4、数来判断位置关系 0有两组不同的实数解 直线与圆相交； =0有两组相同的实数解 直线与圆相切； 0无实数解 直线与圆相离. (3) 直线与圆相交的弦长问题直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为，弦心距为，半径为，则有.弦长公式：设直线交圆于，则或. (4) 圆的切线方程： 设切点公式法：已知圆；，则以为切点的圆切线方程为：；圆切线方程为：；圆切线方程为：.设切线斜率用判别式法：用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组，消（），再用判别式解出切线斜率；若点在圆上，切线一条，点在圆内无切线，点在圆外，有两条切线；对切线斜率不存在
5、的情况，可单独考虑。设切线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法若在圆外，到圆有两条切线，则切点弦方程：. 9圆与圆的位置关系 设圆，且设两圆圆心距为.(1) 几何特征（数形结合）：由圆心距与半径、的大小来判断 两圆外切； 两圆内切且两圆的连心线过切点； 两圆外离； 两圆内含； 两圆相交(2) 代数特征：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 0有两组不同的实数解 两圆相交； =0有两组相同的实数解 两圆相切； 0无实数解 两圆相离. 10两圆的公切线 两圆相离时，四条公切线； 两圆相外切时，有三条公切线； 两圆相交时，有两条公切线； 两圆相内切时，有一条公切线； 两圆内含时，无公切线
6、。11圆系方程 设两相交圆则表示过两圆交点的圆(不包括)；当时表示两圆的公共弦所在的直线方程.表示过圆与直线交点的圆. 为变数）表示以为圆心的同心圆系。 端点圆方程：一个圆的直径的端点是，则为端点圆方程。12与直线和圆有关的轨迹问题 几何法：由于圆的几何性质特别明显和突出，因此在关于直线与圆有关的轨迹问题中，巧用几何性质，抓住动点的限制关系，这种方法同众多方法中最简单的； 交轨法：求两条直线、直线与曲线的交点的轨迹，首先选用的是交轨法，交轨法必须选定一个参数，选怎么样的一个参数最合理？具体问题具体对待. 用交轨法求轨迹方程简单、明了、直观，容易下手. 但真正的难处在于如何消去参数获得轨迹的一般
7、方程，最一般的技巧就是怎么巧妙地借用已知曲线的方程来消去参数。 转移法（代入法）：轨迹上的动点（被动点）受到另一动点（主动点）所制约，如果主动点的轨迹已知或可求得，而且主动点与被动点的关系也可以求出，简而言之是一种“点随点动型”，即将所求动点转移到已知曲线（或可求曲线）上，得所求动点的轨迹，称为转移（代入）法.二、有关圆问题的注意事项1在用待定系数法求圆方程时，一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律，并能运用数形结合的思想，即利用平面知识充分挖掘其几何特征，联立待定系数的方程组，使问题简单化。2在讨论直线与圆，圆与圆的位置问题时，一般不用，而用圆心到直线距离与半径，和圆心距与半径的大小关系，分别确定相交，相切，相离的位置关系。3涉及跟圆上的点有关的一些求取值范围、最值等问题，可利用圆的参数方程，转化为三角函数问题，可使问题简捷化。4要重视基本思想、方法、规律：如数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想、函数与不等式的思想、待定系数法等.