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1、函数单调性教学设计基于函数单调性概念是高中教材中形式化程度较强，学生较难理解以及要让学生充分了解概念后面所蕴涵的数学思想的主张，笔者以“数学本原性问题驱动”数学概念教学为指导理念，在对函数单调性概念在高中教材中的地位和作用进行详细分析的基础上进行了新的教学设计及课堂实录。教材分析教材的地位和作用函数的单调性是高中数学人教A版（必修1）第一章1.31节的内容。它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思
2、维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式的参数范围、绘函数图象）以及与不等式等其它知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们整个高中数学教学。教材的重点与难点教学重点：（1）领会函数单调性概念，体验函数单调性的形式化过程，深刻理解函数单调性的本质，并明确单调性是一个局部概念；（2）函数单调性概念的应用教学难点：突破抽象，深刻理解函数单调性形式化的概念。教学目标分析根据新课标的要求和教学内
3、容的结构特征，依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课教学目标如下：知识目标：（1）从本质上理解函数单调性概念；（2）运用形式化的函数单调性概念进行判断与应用。能力目标：（1）培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会归纳转化的思想方法。（2）使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。（3）培养学生从具体到抽象的能力。情感目标：（1）培养学生主动探索、不畏困难、敢于创新的意识和精神。（2）通过本课的学习，使学生能理性地思考生活中的增长、递减现象。设计理念本教学设计是基于用数学本原性问题来驱动数学概念的理念进行设计的。主要目的是为了突破函数单调性这个概念的抽象
4、性，能让学生体验概念的形成过程，形成对概念的正确理解。因此教学设计在课堂教学中的概念引入的情景设计、概念形成的过程分析、概念运用的问题强化、原发性问题的价值挖掘这四方面应用了“用数学本原性问题驱动数学概念教学”这一理念，突破传统的教学设计，从一个新的角度对教学进行了设计：第一阶段函数单调性概念由实际背景转化为文字语言的叙述；第二阶段函数单调性概念由文字语言的叙述转化为数学叙述；第三阶段函数单调性概念由数学叙述转化为数学符号叙述；第四阶段函数单调性概念由数学符号叙述抽象到了形式化。这一设计符合新课程标准强调的加强对数学概念本质的认识，并且能适度地进行形式化的表达这一理念。教学过程设计概念情景创设
5、与导入师：一个月前，我们共同经历了一起令人恐怖且终身难忘的自然灾害，大家还记得吗？生：（异口同声）“桑美”台风师：从小到大我们对台风的了解也不少，台风是不是一生成就17级呢？生众：（笑）不是。（教师多媒体展示“桑美”台风强度变化的直方图，图7）x 时间（h）12）24）36）4860）012）14）10）17）8y 强度(级)y=x2(x0)x 123-10941y 图7 图8师：如果我们以台风生成后的时间为自变量，台风的强度为函数值建立一个函数关系，能否得到以下结论台风的强度随时间的增大而增强呢？（学生有的说对，有的说不对，教师不急于揭示答案，而是把学习的目标引向了函数关系中两个变量变化大小
6、的相互依赖关系上，学生所熟悉的生活实例是激发学生学习兴趣的手段，也是学生理解函数单调性概念的现实背景）。师：大家一起来观察函数y=x2(x0)图象中的x 值与f（x）值的动态变化过程（教师用多媒体展示图8），x与f(x)之间有什么样的联系？生：随x取值的增大，相应的f(x)的值也增大。师（总结）：这种随x的增大，f(x)也越来越大的函数我们的为增函数。类似地，再让学生函数y=x2(x0)图象的动态效果后，得出：这种随x的增大，f(x)越来越小的函数我们称为减函数。旁白 通过一个生活背景的实例和函数y=x2图象的直观观察，产生了增、减函数的生活语言的描述性定义，尽管这种定义不严格，但学生初步理解
7、到的是两个变量之间具有依赖性的增减关系，这是函数单调性中最为基本和初始的思想，这是根本性的要素，也是从生活中原初思想迈向数学概念的关键性的第一步。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第一次归纳由实际背景转化为文字语言的叙述。概念的生成师（追问）：那么函数y=x2究竟是增函数还减函数呢？生1：是增函数。生2：是减涵数。生众（议论纷纷）：（有的说）有时增，有时减（有的说）既增又减（有的说）要分情况考虑。师：好，有同学说：要分情况考虑，那么大家再仔细看看y=x2的图象，哪种情况下增，哪种情况下减呢？生：函数y=x2在（，0上为减函数，在0，+）为增函数。师（总结）：由上面的讨论可知，函数的单调
8、性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数，但在定义城的某个子集上可以是单调函数。于是教师再次定义：如果函数f(x)在某个区间上满足：随自变量x的增大，f(x)也越来越，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；该区间叫函数f(x)的增区间，如果函数f(x)在某个区间上满足：随自变量x的增大，f(x)越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数；该区间叫函数f(x)的增区间。回顾关于“桑美台风”的话题，有学生指出台风的强度不可能随着时间的增大而不断地增强下去，因为一登陆后台风的强度自然会逐渐减弱。因此，严格地说是：台风的强度在登陆之前随时间的增大而增强，而在登陆之后，随时间的
9、增大而减弱。旁白 这一阶段，教师抓住“分情况讨论”，使学生认识到函数的单调性与其定义域密切相关，因此，在描述函数单调性时，应该说清楚x在哪个范围内，从而使学生对单调性的理解从图象的直观体验向数学化的严格性迈进了一步。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第二次归纳由文字语言的叙述转化为数学叙述。概念的符号化师：刚才我们通过观察图象得出了函数y=x2(x0)在区间0，+）上为单调递增函数，那么如何用代数方法证明这个结论呢？生1：因 为21，而2212，所以函数y=x2在区间0，+）上为单调递增函数。生2：他的证明不对，仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x2在区间0，+）上为单调递增函数，应
10、该举出无数个（如表2） 表2:自变量x与函数值y的取值 表3:自变量x与函数值y的取值x012x-12345y014y1491625由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对学生2的说法表示赞同，因为表格中的数据直观显示出随x的增大f(x)越来越大。生3（有些犹豫）：这样证明乎还有些不妥吧！比如：函数)，我取下列的无数个实数（如表3）。显然f(x)也随x的增大而增大，那我是不是也可以说函数在区间上是增函数？可这与图象矛盾啊？（众学生一脸茫然，感觉学生3说的没错，于是用期待的目光瞧着教师）师：“无数个”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5有无数个自然数都比大，那我们能不能
11、说所有的自然数都比大呢？生众：（恍然大悟）生4：那我们总不能把所有的数都列举出来吧！那一辈子都做不完哦！师（笑）：的确如此，那你有没有什么好的办法解决这个问题呢？（大家都看着学生4，学生4低下了头没办法解决）师：我国召开全国人民代表大会的时候，是不是全国所有的老百姓都去北京开会呢？生：不是师：那人民如何行使权力呢？生：通过人民代表生5（抢白）：我们也可以在区间上选两个代表啊！师：那该如何选代表呢？选1和2怎么样？生5：不行，因为1和2仅仅代表了它们自己，并不能代表区间上的所有实数，应该用字母来代替具体数字，比如设x1,x2，为区间上的两个任意实数，当x1x2时，只要证明就能说明它在区间是增函数
12、了。师：很好。赋予x1,x2为区间上“代表”的身份，那么当x1x2时，怎么证明即呢？生6（迫不及待地说）：作差比较，只要证明即可。，因为所以，所以。师：刚才的证明关键是选取了是上的“任意”两个实数，这里“任意”二字使得代表了上的所有的实数，也就是说这条不等式对于区间上的任意实数都是恒成立的，通过这种方式我们解决了“一辈子”都做不完的工作，教师再次给出增函数和减函数的定义。函数y=f(x)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上为增函数，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上为减函数。旁白 这一
13、阶段是学生概念形成并真正理解的关键过程，教师通过一系列的本原性问题使学生突破了思维的瓶颈，让学生感受到：通过用任意的点x1和x2,的大小关系来判断f(x1)和(x2)的大小关系，可以得到函数单调性的整体性质，这既让学生理解了教师最终给出的严格的单调性定义的含义，也让学生体验到了如何用局部的点的任意性推演到函数的整体单调的性质这一数学思想方法。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第三次归纳由数学叙述转化为数学符号叙述。概念的形式化师：我们来比较一下增函数与减函数定义中两个不等式中不等号的方向，你有什么发现没有？生：增函数不等号方向一致，减函数方向相反。师：如果将增函数中的“当时，都有”改为
14、当时，都有结论是否一样呢？生：一样师：如果改为当时，都有”是否还是一样呢？生：一样师：改为当时，都有”是否还是一样呢？生：还是一样师：减函数的定义是否也可以进行这样修改？生：可以。师：根据刚才的分析，你们有没有发现自变量的差量与函数值的差量之间的关系？生7：自变量的差量与相应的函数值的差量如果保持同号就可以说明其是单调递增函数，如果是异号则是单调递减函数。师：那你能否将定义修改地更为简洁呢？生7（思考并能快给出）：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若，则函数y=f(x)是增函数，若，则函数y=f(x)为减函数。师：很好，事实上的符号决定了函数f(x)的单调性，我们不仅要
15、能从图象上直观判断函数的单调性，更应该要从单调性的本质上来理解这个概念。能用这种表达形式来描述函数单调性，说明大家对单调性概念的理解还是比较非常深刻的。旁白 这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念进行了剖析，带领学生深入定义的表达形式，探索概念的本质。实现学生将概念从具体的图形表达形式化到一般的数学表达形式，实现了从具体到抽象的转化。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第四次归纳由数学符号叙述抽象到了形式化。概念的理解例1 判断下列命题的真假： （1）定义在R上的函数f(x)在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数。（2）定义在R上的函数f(x)在区间上是增函数，在区间
16、上也是增函数，则函数在R上是增函数。旁白 此问题设计目的，通过上述两个命题的真假判定，促进理解，旨在使学生能借助图形直观，理解连续函数、间断函数的单调性情况。从而帮助学生建立函数单调性概念的正确理解。概念的运用例2 物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们，对于一定量的气体，为其体积V减小时，压强P将增大，试用函数的单调性知识说明其原因。例3 设集合A=1，3，5，集合B=1，2，3，4，试写出集合A到集合B的两个增函数。课后思考：设函数f(x)=，求实数的取值范围，使f(x)在区间上为单调函数。旁白 上述问题的设计主要目的就是通过解决一些具体问题来真正理解函数单调性概念的本质所在，并能从概念的本质出发运用概念解决问题。比如课后思考题，在设，f(x)在上为单调函数后，则的符号应该始终为正或始终为负，即要满足保号性，从而以恒成立思想就可轻松求得实数a的取信范围。而这些习题就是我们要注意的体现概念本质的数学本原性问题，通过对这类问题的解答和辨析，学生对概念的理解程度自然深入。