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1、4.6正弦定理和余弦定理1正弦定理：_2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abc_；(2)a_，b_，c_；(3)sin A_，sin B_，sin C_等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2_，b2_，c2_.余弦定理可以变形为：cos A_，cos B_，cos C_.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分余弦定理可解决
2、两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题难点正本疑点清源解三角形时，三角形解的个数的判断在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解1(课本精选题)在ABC中，若A60，a，则_.2(2010北京)在ABC中，若b1，c，C，则a_.3(课本改编题)在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_.4ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c3，C，a2b，则b的值为_5已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为(
3、)A2B8C.D.题型一利用正弦定理求解三角形例1在ABC中，a，b，B45.求角A、C和边c.探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意 (典例新编)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则角A的大小为_题型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积探究提高(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅
4、速解答本题的关键(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ，3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值题型三正、余弦定理的综合应用例3(2011浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角 在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b
5、，c.(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状3.代数化简或三角运算不当致误试题：(12分)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状审题视角(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角规范解答解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin
6、Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B4分方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sinAsin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.8分在ABC中，02A2，02Bb Bab，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.变式训练1例2解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac
7、4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.变式训练2解(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又3，bccos A3，bc5.SABCbcsin A52.(2)由(1)知，bc5，又bc6，根据余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A36101020，a2.例3解(1)由题设并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0cos B0，所以p.变式训练3解(1)c2
8、，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面积为，absin C，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，0A0，从而有sin A，A60或120，A是锐角，A60.(2)10bcsin 60，bc40，又72b2c22bccos 60，b2c289.8解sin B4cos Asin C，由正弦定理，得4cos A，b4ccos A
9、，由余弦定理得b4c，b22(b2c2a2)，b22(b22b)，b4.B组1D2.D3A460正三角形 546.7解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0A180，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(sin Bsin C)2sin Bsin C，又sin Bsin C1，sin Bsin C.解联立的方程组，得sin Bsin C.因为0B60，0C60，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形8解(1)BCA，即，由4sin2cos 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2cos A1)20.cos A，又0A180，A60.(2)由A60，根据余弦定理cos A，即，b2c2bc3，又bc3，b2c22bc9.整理得：bc2.解联立方程组得或