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1、谈立几试题创新意识的体现广东省中山市第一中学许少华高考中的立几试题，通常是“一大一小”或“一大两小”。其中的“一小”或“两小”即为客观性试题。立几中的客观性试题是立几试题改革与创新的“试验田”，近年出现了“百花齐放”的新景象，以下以近年各地的高考试题或是名校的模拟题为例，谈一下立几高考客观题的创新趋势，供参考。1.将创新意思溶入识图之中识图，既有对特殊几何体的识别，又有对几何体中截面形状的识别。围绕这一内容出现过一些典型试题，请看：例1将正三棱柱截去三个角（如图1所示，分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）分析：首先要认识这个几何，注意图2几
2、何体的特点，由于面AED垂直于底面EFD，于是，从侧面看过去，应该看到两个直角，从这点出发即可得到答案为A。例2棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ( )（A） （B） （C） （D） 分析：这个三角形有点“怪”，如何求其面积呢？我们思考这个截面是如何产生的？看看图2，你能想起什么？其实图1中的三角形，在图2中就是，有思路了吗？解：由图可知，又，那么的面积为，选（C）；点评：此题是正四面体的外接球问题，可以看出此题的命题角度很好，考生刚开始接触图1会一筹莫展，不知如何下手，只有对正四面体的外接球的特征及正四面体边长
3、与球的半径之间的关系清楚之后才可以动手、才有可能产生正确结论。类似地命题方式与给出问题的角度应引起我们的高度重视。2.将创新意思溶入点与线的射影之中射影问题，始终是立几中的一个“活跃”问题，它强调的是“落点”（即垂足）。此类问题不仅可以考查点射影、线射影，有时也还可以考查面射影。围绕射影设计的创新问题“个性”非常突出，也许只有深入分析，才可能产生合适的求解方法。例3某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A B C D分析：视图，实际上是一种投影，也就是几何体在不同方向上的投
4、影，于是，求解的关键还是从点的投影入手。解：如图，设由题意得，那么于是得由于故，选C；点评：本题的设计颇具特点，通过视图将线段与其投影联系在一起，然后再结合均值不等式产生结论，无论是哪一点不过关都不可能产生结果。例4如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 解析一：作于并延长交于，折起后面当面平面时，点D的投影在哪里？其实，就是点事实上，在面内作于，则面，从而，连，得面，于是与重合。设，由，得即，也就是的取值范围是 . 解析二：采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此
5、有，则有，因此的取值范围是 . 点评：本题的解析一很漂亮，分析出点D的投影的具体位置是求解的关键，有了它，便有了一切；解析二抓住极端点的求解更漂亮，别具一格。它告诉我们对客观题的求解要灵活、不必追求循规蹈矩。3.将创新意思溶入几何体的变化之中三视图是近年高考命题的热点，对三视图的考查往往与面积、体积的计算连在一起。其中，准确的认识几何体是关键，而几何体的变化直接影响由三视图向直观图的转化，当然，对“准确认识几何体”也会有很大影响。例5一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为( )（A） （B）（C） （D）分析：这是一个什么样的三棱锥呢？从俯视图中可以看出底面是等腰直角三角形，直角边
6、长为6。再看俯视图中还有一条“斜边中线”，显然，它是一条棱的射影，那么，另外两条侧棱的射影在哪里？正好落在了斜边上，由此可知含这两条侧棱的侧面与底面垂直，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点。解：棱锥的直观图如右，则有PO4，OD3，由勾股定理，得PD5，AB6，全面积为：66265644812，故选.A。例6设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 分析：从俯视图与侧视图可以得到两个信息，一是顶点在底面上的射影位于底面三角形的一边上，且是底边上的四分之一分点；二是一个侧面与底面垂直；再看正视图，可以得到底面三角形的一个顶点在底边上的射影是该边的中点。解：棱
7、锥的直观图如右，这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于2434于是，该几何体的体积为4 点评：上述两题的几何体都是三棱锥，这两个几何体都不规范，建立在三视图的基础上产生直观图都有一定的困难。再看看前两年的考题，可以发现也考三视图，但图形都是大家熟悉的规范图形，由三视图想直观图很轻松，重点考查面积与体积的基本计算，而09年呢？真的不同了。这些微妙的变化应引起我们的重视。4.将创新意思溶入开放性问题之中条件不完备或结论不确定（或结论不唯一）的都是开放型问题，开放型问题本身就具有很大的创新性，对完善性探讨或对结论的探究都将是些类问题的设计方向。例7在正四棱柱中，顶点到
8、对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ ）A若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为B若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为解析：设底面边长为1，侧棱长为，过作。在中，由三角形面积关系得. 设在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是于是当，所以，所以例8如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为_.解析：由题意得而即的最小值为，由于恒成立，则。点评
9、：上述两题都打破了立几的常规命题模式，既“摆脱”了点、线、面，又依存于点、线、面，求解中一个巧妙地利用函数，一个适时的应用了基本等式，无论是求解还是将要面对的结论具有很大的创新性。5.将创新意思溶入实际应用之中在立几客观题中命制应用题，是近年经常发生的。此类题以生活中的某些现象为载体，以立几中的基础知识与基本技能为工具，试题难度不在于数学问题的求解，而在于将实际问题抽象为数学问题。例9如图，一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20 m的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进现在小船在桥下水平面P点以南的40 m处，汽车在桥上Q点以西30 m处（其中PQ水面），则
10、小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）解析：设经过ts汽车在A点，船在B点，如下图，则有AQ=3020t,BP=4010t,PQ=20. 设点A在水平面的射影为C，连结CB，AB，不难得出ACB 和CPB 都是直角三角形，从而AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（4010t）2+(3020t)2=1005(t2)2+9故当t=2时，线段AB最短，最短距离为30 m.例10某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？解析：设连结BD.则在中，设则等号成立时故当时，建造这个支架的成本最低.点评：面对此类问题，要记住“麻雀虽小，五脏俱全”；求解时一点也不能含糊，“实际问题”“建立模型”“产生数学结论”“实际结果”的基本步骤一点也少不了。立几的客观题，一类“不大不小”的试题，在课程改革与高考改革的双重改革之下产生的创新问题不仅对高考，对今后的教学也同样有其重要意义。我们在欣赏创新成果的同时，将更加关注这种成果可能向其它章节扩展与延伸。