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1、好题推荐1对于函数y=f（x），若存在区间a，b，当xa，b时，f（x）的值域为ka，kb（k0），则称y=f（x）为k倍值函数若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是【本题考点】函数的值域；新定义；导数的几何意义.属于计算题；是填空题中压轴题；新定义【分析】由于f（x）在定义域x|x0 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于，当x趋于时，g（x）趋于1，因此当1k1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题【解答】
2、解：f（x）=lnx+x，定义域为x|x0，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx的两个不同根k=1+，令 1+=g（x），令 g（x）=0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于，当x趋于时，g（x）趋于1，因此当1k1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程 k=1+ 有两个解故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为 （1，1+）【题目变形】对于函数y=f（x），存在区间a，b，当xa，b时，yka，kb（k0），则称y=
3、f（x）为k倍值函数已知f（x）=ex+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（e+1，+）2.设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM（MD），有x+lD，且f（x+l）f（x），则称f（x）为M上的l高调函数如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是【考点】奇偶性与单调性的综合；新定义菁优网版权所有【分析】定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，画出函数f（x）的图象，可得83a2（a2），从而可得结论本题考查基本初等函数的性质，考查学生的阅读能力，应用知识分
4、析解决问题的能力，考查数形结合的能力，是一个新定义问题，注意对于条件中所给的一个新的概念，要注意理解【解答】解：当xa2时f（x）=x2a2，当0xa2时f（x）=x，再根据奇函数图象关于原点对称可作出f（x）的图象，如下图所示：由f（x）为R上的8高调函数，知f（x+8）f（x）恒成立，由图象得83a2（a2），即a22，解得a3如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（）A288种B264种 C240种D168种【考点】排列、组合及简单计数问题选择题中的压轴题；分类讨论菁优网版权所有【分析】由
5、题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当B，D，E，F用四种颜色，B，D，E，F用三种颜色，B，D，E，F用两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练【解答】解：图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，B，D，E，F用四种颜色，则有A4411=24种涂色方法；B，D，E，F用三种颜色，则有A4322+A43212=192种涂色方法；B，D，E，F用两种
6、颜色，则有A4222=48种涂色方法；根据分类计数原理知共有24+192+48=264种不同的涂色方法【题目变形】如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若四种颜色都用上，则不同的涂色方法共有 216 种.【题目变形】如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有12种【考点】计数原理的应用菁优网版权所有【分析】先确定完成涂色任务需要分六步，利用组合求出各步的方法数，将各步的方
7、法数乘起来本题考查利用分布原理求完成事件的方法数、考查涂色问题常用的方法是两个原理【解答】解：先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C31C21C11C21=3212=12种不同的涂法故答案为：124已知函数f（x）=ln（x1）k（x1）+1（kR）（1）若k=2，求以M（2，f（2）为切点的曲线的切线方程；（2）若函数f（x）0恒成立，确定实数k的取值范围；（3）证明：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题菁优网版权所有压轴题；导数的综合应用【分析】（1）利用导数研究函数在x=2处的导数，得到切线的斜率，然后根据点斜式可得切线方程；（2）利用导数研究函数
8、的单调性，求出函数的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范围；（3）由（2）知ln（x1）x2，则，取x=3，4，5n，n+1累加可得结论本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中高档题【解答】解：（1）k=2，f（x）=ln（x1）2x+3，则f（2）=1k=1，切线方程为x+y1=0；（2）得当k0时，f（x）0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）0不恒成立，当k0时，函数f（x）在单调递增，在单调递减，当时，f（x）取最大值，k1（3）由（2）知k=1时，f（x）0恒成立，即ln（x1）x2取x=3，4，5n，n+
9、1累加得5已知函数f（x）=|xa|lnx（a0）（）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（）若a0，求f（x）的单调区间；（）证明：（nN+，n2）【考点】：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有属于综合题【分析】（）a=1时，f（x）=|x1|lnx，将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间，进而可得f（x）的最小值；（）将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间；（）由（）可知，lnxx1，从而，令x=n2，可得，再进行叠加，利用放缩法，即可证得结论成立本题考查利用导数
10、研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中，用放缩法证明不等式 是解题的难点【解答】（）解：a=1时，f（x）=|x1|lnx （x0）当0x1，f（x）=1（x+lnx），f（x）=10，所以f（x）在（0，1上单调递减；当x1，f（x）=x（1+lnx），f（x）=1=0，所以f（x）在（1，+）上单调递增，x=1时，f（x）的最小值为f（1）=0；（）解：若a1，当xa时，f（x）=xalna，f（x）=1=0，f（x）在区间a，+）上单调递增；当0xa时，f（x）=axlnx，f（x）=10，所以f（x）在（0，a）上单调递减；若0a1，当xa时，f（x）=xal
11、na，f（x）=1=，x1，f（x）0，ax1，f（x）0f（x）在区间1，+）上单调递增，（a，1）上单调递减；当0xa时，f（x）=axlnx，f（x）=10，所以f（x）在（0，a）上单调递减；而f（x）在x=a处连续，则f（x）在（1，+）上单调递增，（0，1）上单调递减综上，当a1时，f（x）的递增区间是（a，+），递减区间是（0，a）；当0a1时，f（x）的递增区间是（1，+），递减区间是（0，1）；（）证明：由（）可知，当a=1，x1时，f（x）0，1（x+lnx）0，lnxx1x0，nN+，n2，令x=n2，得，（1+1+1）=n1（+）n1（+=n1（）=，故要证的不等式成立
12、6甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：（）乙投篮次数不超过1次的概率（）记甲、乙两人投篮次数和为，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件菁优网版权所有属于概率与统计【分析】（I）记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B，由题设条件，“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，利用互斥事件的概率公式即可求解；（II）由题意知甲、
13、乙投篮总次数的取值1，2，3，4，分别求出相应的概率，即可得到的分布列与期望本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题【解答】解：（I）记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，所求的概率是P=P（A+=乙投篮次数不超过1次的概率为（2）甲、乙投篮总次数的取值1，2，3，4，P（=1）=P（A）=；P（=2）=P（）=；P（=3）=P（）=；P（=4）=P（）=；甲、乙投篮次数总和的分布列为： 1234 P甲、乙投篮总次数的数学期望为