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1、高等代数9欧氏空间扬州大学高等代数课件(北大三版)-第九章-欧几里得空间高等代数9欧氏空间一 概念引入n 物理学上力F所做之功：W=SFcos Fn 空间解析中,矢量的数量积一般表示：,V3 Fcos 1),均不为0：=|cosR；2)或为0：规定=0.n 由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在线性空间中引入内积概念，从而建立欧几里德几何的基本特征.高等代数9欧氏空间n 公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性.对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性.n 在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空
2、间.定义定义1 V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为内积，是指 对任意的,V，对任意的kR,存在唯一的(,)R,使得 1)(,)=(,)；2)(k,)=k(,)3)(+,)=(,)+(,)4)(,)0，并且=0 当且仅当()=0这时，称V是欧几里德空间欧几里德空间.高等代数9欧氏空间例例1 Rn中，对任意的=(x1,xn),=(y1,yn)Rn,规定(,)=x1y1+xnyn,则Rn 对此构成欧式空间.证明证明：显然(,)R,且具唯一性.对任意的,Rn,kR,1)(,)=x1y1+xnyn=y1x1+ynxn=(,).2)(k,)=kx1y1+k xnyn=k(x1y1+xnyn)=
3、k(,).3)(+,)=(x1+y1)z1+(xn+yn)zn=(x1z1+xnzn)+(y1z1+ynzn)=(,)+(,).4)(,)=x12+xn20.而=0 当且仅当x1=x2=xn=0 当且仅当(,)=x12+xn2=0.故 Rn 关于(,)构成一个欧氏空间.高等代数9欧氏空间例例2 C(a,b)=定义在a,b上的实值连续函数关于如下规定的二元函数构成R上的欧氏空间.对任意的f(x),g(x)C(a,b),证明分析证明分析：根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中4条公理成立，故C(a,b)关于（f,g）构成欧氏空间.注：Rx,Rxn 关于如上定义的（f,g）也构成欧氏空间.a f(x)
4、b高等代数9欧氏空间二 基本性质5）(,k)=k(,)u (,k)=(k,)=k(,)=k(,).6)(,+)=(,)+(,)u (,+)=(+,)=(,)+(,)=(,)+(,).7)(0,)=(,0)=0 (对任意的V)u (0,)=(00,)=0(0,)=0=(,0).8)对任意的V，()=0,则=0u 取=,则()=0,据公理4得=0.9)高等代数9欧氏空间u 高等代数9欧氏空间三 向量长度高等代数9欧氏空间四 向量夹角n 为在V中引入夹角概念，先研究如下性质：12）(,)2 ()()(或|(,)|)其中等号成立当且仅当,线性相关.u 该不等式称为柯西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式.柯西
5、:法国数学家（1789-1857年）其主要贡献在微积分，复变函数和微分方程方面，许多定理和公式均以他的名字命名.布涅柯夫斯基是俄国数学家，施瓦茨是德国数学家，他们各自都发现如上结论，故历史上一般称为柯 西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式.柯 西高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间五五 向量的距离向量的距离15)+|（三角不等式）证明证明：|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)|2+2|+|2=(|+|)2+|.n 几何意义：几何空间中，两边之和大于第三边.定义定义5 5 向量,的距离 d(,)=|n 几何意义如图示.1
6、6),则 d(,)0.17)d(,)=d(,).18)d(,)d(,)d(,).证明证明：d(,)=|=d(,)d(,).19）欧氏空间的子空间关于其内积也构成欧氏空间.n 故可引入欧氏空间的子空间的概念.高等代数9欧氏空间六六 度量矩阵度量矩阵高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间9.2标准正交基高等代数9欧氏空间一.概念及基本性质定义定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组.l单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向量组中找不到两个向量不正交）.性质性质1 1,2,m是正交组，则1
7、,2,m线性无关.证明证明：设 k11+k22+kmm=0,用i(i=1,m)于该式两边作内积，即 (i,k11+k22+kmm)=k1(i,1)+ki(i,i)+km(i,m)=(i,0)=0 ki(i,i)=0 因i 0，得(i,i)0，故 ki=0 (i=1,m)1,2,m线性无关.ldimV=n 时，V中两两正交的向量不会超过 n 个(如平面上找不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量).高等代数9欧氏空间定义定义2 n维欧氏空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9
8、欧氏空间二 标准正交基的计算高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间 该定理的证明过程给出了求标准正交基的方法：高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间三三 正交矩阵正交矩阵高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间9.3欧氏空间同构高等代数9欧氏空间一一.同构概念同构概念定义8 实数域R上的欧氏空间V与V/同构，如果存在双射：VV/，满足：对任意的V，kR，1）(+)=()+()；2）(k)=k()；3）(),()=(,).该映射称为V到V/的同
9、构映射，并记为VV/.由该定义可知欧氏空间V到V/的同构映射一定是线性空间V到V/的同构映射，故得如下性质：性质1 有限维欧氏空间VV/当且仅当dimV=dimV/.证明:必要性 若VV/作为线性空间来说，V与V/仍然同构，据线性空间理论即知dimV=dimV/.充分性 设dimV=dimV/.当n=0时，它们显然同构.高等代数9欧氏空间当n 0时，设1,2,n 与1,2,n分别为V及V/的标准正交基，则 f:=x11+x22+xnn f()=x11+x22+xnn 是线性空间V到V/的同构映射，且 取=y11+y22+ynn,有 (,)=x1y1+x2y2+xnyn=(f(),f(),即 f
10、 是欧氏空间V到V/的同构映射，VV/.性质2 任一n维欧氏空间V都与Rn同构.证明：据题设dimV=dimRn 及性质1，即知VRn.性质3 欧氏空间之间的同构关系具有自反性、对称性、传递性.证明：略.高等代数9欧氏空间9.4正交变换高等代数9欧氏空间一一 正交变换的概念及性质正交变换的概念及性质定义定义9 V是欧氏空间，A(L(V)称为正交变换，如果对任意的,V,(A,A)=(,).性质性质1 (定理1)V是欧氏空间，A L(V)，则以下条件等价：1)A 是正交变换；2)对任意的V，A=（即保持向量的长度不变）；3)1,2,n 是V的标准正交基，则A1,A2,An 是V的标准正交基；4)在
11、任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间性质2 正交变换是可逆的线性变换.证明：正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵可逆，故正交变换可逆.性质3 正交变换是V到V的同构映射.证明：正交变换A 可逆，故是双射.A 是线性变换，故 A (+)=A ()+A ()；A (k)=kA ().A 是正交变换，故(A,A)=(,).所以A 是V到V的同构映射.性质4 A ,B 是正交变换，则 A 1,AB 是正交变换.证明：设A ,B 在标准正交基下的矩阵是A,B A,B是正交矩阵，且A1，AB 是正交矩阵 A 1,AB 是正
12、交变换.高等代数9欧氏空间性质性质5 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应.*设正交变换A 对应的正交矩阵为A，则A=1 称A为正交变换A 的行列式；当A=1时，称A 为第一类正交变换(或旋转)；当A=1时，称A 为第二类正交变换.性质性质6 正交变换保持向量夹角不变，反之则不一定.证明：设是正交变换 对任意的,V,(),()=(,)；=(),=().当,中有一个为0，则(),()中有一个为0，故(),()=,=900；若,均非0向量，则 ,=arccos(),()/()()=arccos(,)/=(),(),即 保持向量夹角不变.反之，则不一定，如数乘变换保持夹角不变，但不是正交变换.
13、高等代数9欧氏空间例例1 V2中将每一向量按逆时针方向旋转度的变换是正交变换.取标准正交基1=(1,0),2=(0,1),则容易验证矩阵A是正交矩阵，且A=1，故是第一类正交变换.例例2 令是过原点的平面，是V3关于的镜面反射.取1,2 为的标准正交基，即过原点互相垂直的 o 单位向量构成基.取3为过原点且垂直的单位向量，则1,2,3为V的标 ()准正交基.由镜面反射的定高等代数9欧氏空间义，(1)=1,(2)=2,(3)=3.对任意的V3，设=x11+x22+x33,则 ()=x1(1)+x2(2)+x3(3)=x11+x22 x33,故()2 =x12+x22+x32=,即推出 ()=，所
14、以是正交变换.由如上过程可知以下等式成立，即的行列式B=1，即是第二类正交变高等代数9欧氏空间9.5 子空间高等代数9欧氏空间定义10 设V1,V2是欧氏空间V的子空间，称V1,V2正交，记为V1V2，如果对任意的V1,V2，(,)=0.称(V)与V1正交，记为V1，如果对任意的 V1，(,)=0.n 几何空间V3中，xoy平面，oz轴，ox轴分别标为W1、W2、W3,则它 们都是V3的子空间，且 W1W2，W2 W3.取oz轴上的向量，则 W1 .高等代数9欧氏空间性质性质1 V1 V2，则 V1V2=0.对任意的 V1V2 V1 且 V2 由正交的定义即知(,)=0 =0 V1V2=0.性
15、质性质2 V1，且V1，则=0.由题设即知(,)=0 =0.性质性质3 （定理5）子空间V1,V2,Vs 两两正交，则 V1+V2+Vs 是直和.证明：设 0=1+2+s,iVi,i=1,2,s.用i对等式两边作内积得 (i,1)+(i,i)+(i,s)=0,由题设正交推出(i,i)=0，故i=0，i=1,2,s，即 0 的分解式唯一，故V1+V2+Vs 是直和.高等代数9欧氏空间定义定义11 设V1,V2是V的子空间，V1称为V2的正交补，如果 V1V2 且 V1+V2=V.n V1,V2 互为正交补.n 如几何空间中，xoy平面与oz轴互为正交补.oy轴与oz轴正交，但不构成正交补.性质性
16、质4 (定理6)V的任一子空间V1都有唯一的正交补.证明：A）存在性：1)V1=0,则其正交补是V.2)V1 0,在V1 中取正交基1,2,m 并扩充为V的正交基1,2,m,m+1,n 取V2=L(m+1,n),则V1+V2=V 高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间9.6实对称矩阵的标准形高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间定义定义12 A（L(V)）称为对称变换，如果对任意的,V,(A,)=(,A).引理引理3 A 是对称变换，V1是A -子空间，则V1是A -子空间.证明：V1是A -子空间 对任意的V1,有A V1,故(,A)=0(对
17、任意的V1)由A 是对称变换可知 (A,)=(,A)=0 AV1,即V1是A -子空间.引理引理4 A是对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量正交.证明：如引理2，在R中引入线性变换A，设,是A 的高等代数9欧氏空间不同的特征值，,是A 的分属于,的特征向量 A=,A=因A 是对称变换，(A,)=(,A)(,)=(,),即(,)=(,)因0，故得(,)=0，即.n Rn中对称变换A 的所有特征子空间两两正交.1 2 s A A V1V2VS高等代数9欧氏空间补充命题补充命题1 dimV=n,A L(V),则以下条件等价：1）对任意的,V,(A,)=(,A)；2）A 在某标准正交基下的矩
18、阵是实对称矩阵；3）A 在任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.证明：1)=2)设A 在标准正交基1,2,n下的矩阵是A=(aij),aijR.只要证明 aij=aji 即可.因为A i=a1i1+a 2i2+a nin (i=1,2,n)，故a ji=(A i,j)=(i,A j)=aij.2)=3)设A 在任一标准正交基下的矩阵是B，则n维欧氏空间由标准正交基1,2,n到标准正交基的过渡矩阵T是正交矩阵，即 T/=T1，且 B=T 1 AT=T/AT B/=(T/AT)/=T/AT=B,即 A 在任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵.高等代数9欧氏空间 3)=1)设在标准正交基1,2,n下的
19、矩阵A是实对称矩阵，即A/=A，对任意的V，=(1,2,n)X,=(1,2,n)Y,则 A=(1,2,n)AX,A=(1,2,n)AY (A,)=(AX)/Y=X/A/Y=X/AY；(,A)=X/(AY)=X/AY,即(A,)=(,A)是对称变换.补充命题补充命题2 1)单位变换是对称变换；2)A ，B 是对称变换，则kA ，AB 仍是对称变换 (对任意的kR).证明：略.定理定理7 对任意的实对称矩阵A,存在n阶正交矩阵T,使得 T/AT=T1AT 是对角矩阵.高等代数9欧氏空间1,2,n 1,2,n 证明分析：在Rn中,设A在给定的标准正交基1,2,n 下定义的线性变换是A ,问题即：寻找
20、一标准正交基1,2,n,使在该基下的矩阵是对角矩阵B 如图 (1,2,n)=(1,2,n)T,T 即为要找的正交矩阵 证明的关键：有n个特征向量构成标准正交基即可,T 即是这 n 个特征向量 1,2,n作列向量构成的,即 T=(1,2,n).L(V)A Rnn A T B=T/AT =T1AT高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间高等代数9欧氏空间四 二次曲面方程化简及分（略）五（补充）向量到子空间的距离1.内射影定义内射影定义：称1为在V1的内射影（如图）n V中内射影的几何直观很明确，一般欧氏空间中就不具有这一直观性，但其欧氏几何的特征是一致的2.命题命题：向量到子空间各个向量的距离以垂线最短.设W是V的子空间,V,W,W,则 对任意的W，.证明证明：=()+()因W是子空间，,W 高等代数9欧氏空间W，因为W，故，据勾股定理2+22 2 2，即有成立.高等代数9欧氏空间此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢