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1、6-6-1 1统统计计学学六章节相关与回归分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望6-6-2 2统统计计学学第一节第一节 相关分析相关分析一、相关分析的意义一、相关分析的意义二、相关关系的测定二、相关关系的测定6-6-3 3统统计计学学变量间的关系变量间的关系变量间的关系有两种类型：函数关系和相关关系。变量间的关系有两种类型：函数关系和相关关系。变量间的关系有两种类型：函数关系和相关关系。变量间的关系有两种类型：函数关系和相关关系。函数关系函数关系函数
2、关系函数关系是一一对应的确定关系。是一一对应的确定关系。设设有有两两个个变变量量 x x 和和 y y，变变量量 y y 完完全全依依赖赖于于 x x ，则则称称 y y 是是 x x 的的函函数数，记记为为 y y =f f(x x)，其其中中 x x 称称为为自自变量，变量，y y 称为因变量。称为因变量。各观测点都严格落在一条线上。各观测点都严格落在一条线上。例如：例如：n n圆的面积（圆的面积（S S）与半径之间非关系可表示为）与半径之间非关系可表示为S S=R R2 2 ；n n某某种种商商品品的的销销售售额额(y y)与与销销售售量量(x x)之之间间的的关关系系可可表表示示为为
3、y y=p p x x (p p 为单价为单价)6-6-4 4统统计计学学相关关系相关关系变量间确实存在、但数量上不固定的相互依存。这种关系不能用函数关系精确表达；一个变量的取值不能由另一个变量惟一地确定；当变量 x 取某个值时，与之相关的变量 y 的取值可能有若干个；各观测点分布在一条直线或曲线周围.6-6-5 5统统计计学学相关关系的例子商商品品的的消消费费量量(y y)与与居居民民收收入入(x x)之之间间的的关关系系商商品品销销售售额额(y y)与与广广告告费费支支出出(x x)之之间间的的关关系系粮粮食食亩亩产产量量(y y)与与施施肥肥量量(x x1 1)、降降雨雨量量(x x2
4、2)、温度、温度(x x3 3)之间的关系之间的关系收入水平收入水平(y y)与受教育程度之间的关系与受教育程度之间的关系(x x)父亲身高父亲身高(y y)与子女身高与子女身高(x x)之间的关系之间的关系6-6-6 6统统计计学学概念上述定义将相关关系区别于：上述定义将相关关系区别于：上述定义将相关关系区别于：上述定义将相关关系区别于：n n函数关系函数关系函数关系函数关系n n假假假假 相相相相 关关关关没有本质联系，只是表面数字的偶然没有本质联系，只是表面数字的偶然没有本质联系，只是表面数字的偶然没有本质联系，只是表面数字的偶然的巧合；的巧合；的巧合；的巧合；l l如上证指数与气温的关
5、系。如上证指数与气温的关系。如上证指数与气温的关系。如上证指数与气温的关系。相关关系比因果关系包括的范围更广泛。相关关系比因果关系包括的范围更广泛。相关关系比因果关系包括的范围更广泛。相关关系比因果关系包括的范围更广泛。n n因果关系属于相关关系；因果关系属于相关关系；因果关系属于相关关系；因果关系属于相关关系；n n相关关系不一定是因果关系。相关关系不一定是因果关系。相关关系不一定是因果关系。相关关系不一定是因果关系。6-6-7 7统统计计学学相关关系的类型相关关系的类型1、按相关关系涉及的因素多少分为：单相关一元相关，两变量间的相关关系；复相关多元相关，三个（或以上）变量间的相关关系；2、
6、按相关的表现形态分为：直线相关观察点的分布大致呈现为一条直线；曲线相关观察点的分布大致呈现为一条曲线6-6-8 8统统计计学学（续）（续）3、按相关方向分为：正相关两变量大体上呈同方向变化；负相关两变量大体上呈反方向变化。6-6-9 9统统计计学学二、相关关系的测定二、相关关系的测定进行相关分析的一般程序：定性分析定性分析定量分析定量分析相关表和相关图相关表和相关图相关表和相关图相关表和相关图计算相关系数与判定系数计算相关系数与判定系数计算相关系数与判定系数计算相关系数与判定系数6-6-1010统统计计学学（一）相关表和相关图（一）相关表和相关图相关表相关表将一个变量按大小顺序排序，另一个变量
7、对应排列而成的表格。相关图相关图相关图相关图也称为散点图。一对数据对应坐标图也称为散点图。一对数据对应坐标图上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图的散点而形成的图。的散点而形成的图。编制相关表、图的意义编制相关表、图的意义有助于有助于有助于有助于分析者判断分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。相关的有无、方向、形态、密切程度。6-6-1111统统计计学学相关关系的图示相关关系的图示完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关 完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关
8、 负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关 正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关 不相关不相关不相关不相关不相关不相关 非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关6-6-1212统统计计学学（二）相关系数和判定系数（二）相关系数和判定系数1.都是对变量之间关系密切程度的度量；2.判定系数=相关系数的平方；3.不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.n n对对两两个个变变量量之之间间线线性性相相关关程程度度的的度度量量称称为为简简简简单单单单相相相相关系数关系数关系数关系数（也称（也称（也称（也称直线相关系数直线相关系数直线相关系数
9、直线相关系数）,常简称相关系数常简称相关系数常简称相关系数常简称相关系数.n n此此外外还还有有复复相相关关系系数数、非非线线性性相相关关系系数数、偏偏相相关关系系数数3.有总体相关系数与样本相关系数之分：总体相关系数总体相关系数根据总体数据计算的，根据总体数据计算的，样本相关系数样本相关系数 r 根据样本数据计算的。根据样本数据计算的。6-6-1313统统计计学学相关关系的计算公式相关关系的计算公式或化简为6-6-1414统统计计学学相关系数取值及其意义相关系数取值及其意义1.r 的取值范围是-1,12.|r|=1，为完全相关；n nr=1，为完全正相关n nr=-1，为完全负正相关3.r=
10、0，不存在线性相关线性相关关系相关；4.-1r 0，为负相关；0 t t ，拒绝拒绝H H0 0（即总体线性相关显著）（即总体线性相关显著）若若 t t t t，接受接受H H0 0（即总体线性相关不显著）（即总体线性相关不显著）6-6-3838统统计计学学二、回归问题的方差分析二、回归问题的方差分析（F检验检验）1.提出假设。提出假设。H0：=0=0（线性关系不显著）线性关系不显著）；H1：0 0（线性关系显著）线性关系显著）2.确定检验统计量3.确定显著性水平，找出临界值F（1，n-2）4.计算统计量的值；5.作出决策：若FF,拒绝H0；若FF，接受H0检验与检验的一致性：检验与检验的一致
11、性：F=t的平方的平方6-6-3939统统计计学学三、回归预测三、回归预测1.回归预测是根据自变量 x 的取值来估计或预测因变量 y 的取值；2.估计或预测的类型n n点估计，给定点估计，给定x=xo o，因变量，因变量y y对应的点估计对应的点估计为：为：n n区间估计：区间估计：6-6-4040统统计计学学预测区间预测区间利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一定值 x0，求出因变量 y 的取值y0的估计区间。在1-置信水平下，y0的预测区间为：6-6-4141统统计计学学影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素1.置信水平(1-)n n区间宽度随置信水平的增大而增大区间宽度随置信水平的增大而
12、增大2.回归估计标准差(Se)n n区间宽度随离散程度的增大而增大区间宽度随离散程度的增大而增大3.样本容量n n区间宽度随样本容量的增大而减小区间宽度随样本容量的增大而减小4.用于预测的xo与x 的差异程度。n n区间宽度随区间宽度随x xo o与与 x x 的差异程度的增大而增大的差异程度的增大而增大6-6-4242统统计计学学预测区间（图）预测区间（图）xO Oyxx区间上限区间下限6-6-4343统统计计学学注意注意应用回归估计（预测）时注意：1.内插效果优于外推效果，不宜外推太远；2.n 不能太小，即用于拟合回归方程的数据不能太少。6-6-4444统统计计学学第四节第四节 可线性化的
13、曲线回归方程可线性化的曲线回归方程（非线性回归）非线性回归）一、配合回归曲线的问题一、配合回归曲线的问题一、配合回归曲线的问题一、配合回归曲线的问题1.通通过过定定性性分分析析或或散散点点图图判判断断变变量量之之间间的的曲曲线线相相关形态，选择曲线模型；关形态，选择曲线模型；2.2.可通过变量代换将曲线模型转换成线性形式；可通过变量代换将曲线模型转换成线性形式；3.用用最最小小二二乘乘法法求求出出线线性性模模型型中中参参数数的的估估计计值值，再转换为原曲线模型的参数的估计值。再转换为原曲线模型的参数的估计值。4.（注：并非所有的非线性模型都可以化为线性模型注：并非所有的非线性模型都可以化为线性
14、模型）6-6-4545统统计计学学可线性化的常用曲线模型可线性化的常用曲线模型2.线性化方法：令：令：y y =1/=1/y y，x x=1/=1/x x,则有则有y y =+x x（一（一）双曲线）双曲线1.基本形式：1/1/y y=+/x x3.图 0 0 06-6-4646统统计计学学2.线性化方法：两端取对数两端取对数 lg lg y y=lg=lg +lglg x x令：令：y y =lg=lgy y，x x=lg=lg x x，则则y y =lglg +x x（二）幂函数（二）幂函数基本形式：3.图00 1 1 1 1 =1=1-1-1 0 0 -1 -1 =-1=-1 6-6-4
15、747统统计计学学（三）（三）指数函数指数函数2.线性化方法：两端取对数得两端取对数得 ln lny y =ln=ln +x x 令：令：y y =ln=lny y，则有，则有 y y =lnln +x x1.基本形式：3.图 6-6-4848统统计计学学2.线性化方法令：令：y y =1/=1/y y，x x=e=e-x x,则有则有y y =+x x（四）（四）S型曲线型曲线基本形式：3.图6-6-4949统统计计学学三、非线性判定系数与相关系数三、非线性判定系数与相关系数（一）非线性判定系数（一）非线性判定系数 R R2 2 值域：值域：（0 0，1 1），越接近1表示非线性相关程度越强
16、，所配合的曲线回归模型拟合效果越好。6-6-5050统统计计学学（二）非线性相关系数（二）非线性相关系数（相关指数相关指数）R Rn n非线性判定系数的平方根。非线性判定系数的平方根。非线性判定系数的平方根。非线性判定系数的平方根。n n测定两变量间曲线相关的密切程度，衡量测定两变量间曲线相关的密切程度，衡量测定两变量间曲线相关的密切程度，衡量测定两变量间曲线相关的密切程度，衡量曲曲曲曲线回归模型的拟合效果线回归模型的拟合效果线回归模型的拟合效果线回归模型的拟合效果 。n n不能判明相关方向（用于直线时，通过其他不能判明相关方向（用于直线时，通过其他不能判明相关方向（用于直线时，通过其他不能判
17、明相关方向（用于直线时，通过其他方法确定相关系数的正负）。方法确定相关系数的正负）。方法确定相关系数的正负）。方法确定相关系数的正负）。注：衡量衡量曲线回归模型的拟合效果还可以采用回归估计标曲线回归模型的拟合效果还可以采用回归估计标准误差。准误差。6-6-5151统统计计学学本章学习要求本章学习要求1.弄清相关关系的概念、种类；弄清相关关系的概念、种类；2.掌握相关系数的计算方法和应用；掌握相关系数的计算方法和应用；3.掌握一元线性回归的基本原理和参数的最掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计方法；小二乘估计方法；4.掌握掌握相关系数或回归方程的显著性检验；回归方程的显著性检验；5.利用回归方程进行预测；利用回归方程进行预测；6.了解可化为线性回归的曲线回归了解可化为线性回归的曲线回归7.用用 Excel 进行回归分析进行回归分析