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1、D8.1.2_第二型曲线积分矢量场初步例例3.3.例例4 4.定义定义.设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分
2、是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!例例1.1.注：注：为方向余弦2.2.第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算例例2.2.解：解：例例3.3.解：解：，取逆时针方向。，取逆时针方向。定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,*证明证明:下面先证存在,且有对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可证其他情形其他情形(3)对空间光滑曲线弧 :类似有代代将 L 的参数方程代入被积函数换换定限定限下限起点参数值上限终点参数值一代、二换、三定限例例4 4.计算其中L 为沿抛物线解法解法1
3、 1 取x为参数,则从点的一段.例例4 4.计算其中L 为沿抛物线从点的一段.解法解法2 2 取 y 为参数,例例5.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则例例6.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式例例7.设在力场作用下,质点由沿移动到解解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为例例8.求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参
4、数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系3.第一型与第二型积分的关系第一型与第二型积分的关系类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 T 上的投影为二者夹角为*例例9.设曲线段 L 的长度为s,证明续,证证:设说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连*例例10.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:原点 O 的
5、距离成正比,思考与练习思考与练习*1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 2.已知为折线 ABCOA(如图),计算提示提示:*3.解解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点*4.设曲线C为曲面与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解解:(1)(2)原式=令利用“偶倍奇零”1.（数学一 2010年）解解:考研真题考研真题作作业业P228 第4题中(1)-(5)选两小题P228 第5题中(6)(7)(8)选一小题