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1、你还记得角平分线上的点有什么性质吗 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望你还记得角平分线上的点有什么性质吗你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.角角 平平 分分 线线 回顾回顾 思考思考1 1如图如图如图如图,OC,OC,OC,OC是是是是AOBAOBAOBAOB的平分线的平分线的平分线的平分线,P P P P是是是是OCOCOCOC上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点,PDOA
2、,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(D,E(D,E(已知已知已知已知)PD=PE(PD=PE(PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个 角的两边距离相等角的两边距离相等角的两边距离相等角的两边距离相等).).).).OCB1A2PDE提示提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.逆定理逆定理 在一个角
3、的内部在一个角的内部,且到角的两边距离且到角的两边距离 相等的点相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.如图如图如图如图,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别垂足分别垂足分别 是是是是D,E,D,E,D,E,D,E,PD=PE,PD=PE,(已知已知已知已知),),),),点点点点P P P P在在在在AOBAOBAOBAOB的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上.(在一个角的内部在一个角的内部在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离且到角的两边距离且到角的两边距离且到角的两边距离 相等的点相等的点相等的点相等的点,在
4、这个角的平分线上在这个角的平分线上在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).).).提示提示:这个结论又是经常用来证明这个结论又是经常用来证明这个结论又是经常用来证明这个结论又是经常用来证明点在直线上点在直线上点在直线上点在直线上 (或或或或直线经过直线经过直线经过直线经过某一某一某一某一点点点点)的根据之一的根据之一的根据之一的根据之一.OCB1A2PDE几几何何的的三三种种语语言言 我能行我能行1 1已知已知已知已知:AOB,:AOB,:AOB,:AOB,如图如图如图如图.求作求作求作求作:射线射线射线射线OC,OC,OC,OC,使使使使AOC=BOC.AOC=BOC.AOC=BOC.A
5、OC=BOC.用用 尺尺 规规 作作 角角 的的 平平 分分 线线1.1.1.1.在在在在OAOAOAOA和和和和OBOBOBOB上分别截取上分别截取上分别截取上分别截取OD,OE,OD,OE,OD,OE,OD,OE,使使使使OD=OE.OD=OE.OD=OE.OD=OE.2.2.2.2.分别以点分别以点分别以点分别以点D D D D和和和和E E E E为圆心为圆心为圆心为圆心,以大于以大于以大于以大于DE/2DE/2DE/2DE/2长长长长 为半径作弧为半径作弧为半径作弧为半径作弧,两弧在两弧在两弧在两弧在AOBAOBAOBAOB内交于点内交于点内交于点内交于点C.C.C.C.3.3.3.
6、3.作射线作射线作射线作射线OC.OC.OC.OC.你能说明你能说明你能说明你能说明OCOCOCOC为什么是为什么是为什么是为什么是AOBAOBAOBAOB的平分线吗？的平分线吗？的平分线吗？的平分线吗？提示提示:作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握.A AB BOOC C则射线则射线则射线则射线OCOCOCOC就是就是就是就是AOBAOBAOBAOB的平分线的平分线的平分线的平分线.D DE E尺尺 规规 作作 图图 做一做做一做作法作法:线段
7、的垂直平分线的性质w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMNw如图如图,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任上任意一点意一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).).回顾 思考线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平
8、分线上.ACBPMNw如图如图,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条到一条线段两个端点距离相等的点线段两个端点距离相等的点,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上).).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?回顾 思考线段的垂直平分线的作法l已知:线段AB,如图.l求作:线段AB的垂直平分线.l作法:l用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线.l1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.ABCDl2.作直线CD.
9、l则直线CD就是线段AB的垂直平分线.请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.老师提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.回顾 思考角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 1：在角的平分线上的点：在角的平分线上的点到这个角的两边的到这个角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 2：到一个角的两边的：到一个角的两边的距距离相等离相等的点，在这个角的平分的点，在这个角的平分线上。线上。角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点和定
10、理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的这条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理：和一条线段两个端点逆定理：和一条线段两个端点逆定理：和一条线段两个端点逆定理：和一条线段两个端点距距距距离相等离相等离相等离相等的点，在这条线段的垂直的点，在这条线段的垂直的点，在这条线段的垂直的点，在这条线段的垂直平分线上。平分线上。平分线上。平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段的垂直平分线可以看作是和线段线段两上端点两上端点距离相等距离相等的所有点的所有点的集合的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线 如图如图,求作一点求作一点P,P,使使PC=PD
11、,PC=PD,并且点并且点P P 到到AOBAOB的两边的距离相等的两边的距离相等.A AB BOOD D C C作作业业分分析析 独立作业独立作业2 2作作业业分分析析 独立作业独立作业2 2E EF FGGP P 如图所示，已知如图所示，已知ABC的角平分线的角平分线BM，CN相交于点相交于点P，那，那么么AP能否平分能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？么结论？解：AP平分BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、DBM是ABC的角平分线且点P在BM上，
12、PDPE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PFPE，PDPFAP平分BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等距离相等 做一做做一做定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.如图,在ABC中,c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).老师提示老师提示:这是一个证明三条直线交于一点的证明根据这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.做一做做一做1 1ABCPabc