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1、如何复习考研线代概率2014考研许峰 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望如何复习考研线代概率如何复习考研线代概率 众所周知，线代和概率在考研数学中各34分(1个填空，2个选择，2个解答或证明)，约占45%。可见，线代概率在考研数学中与高数几乎拥有同样的地位。然而，与高数相比，线代概率理论抽象，计算复杂，且概念定理众多。许多考生在考研复习过程中普遍感到这两门课内容繁杂，重难点不清晰，缺乏明确的复习思路，复习效率较低。其实，由于题目数量所限，加之重点内容的
2、集中度远高于高数，只要根据线代概率的内容体系，结合历年考题，即可制定出这两门课的科学、合理、高效的复习策略与计划，完全可以用不太多的时间和精力取得较好的成绩，事半功倍！下面首先展示历年考题的分析结果，然后给出线代概率的重点内容与复习策略,最后简要介绍暑期面授班的工作思路。一、历年考题统计分析一、历年考题统计分析 历年真题不仅是最好的模拟题(尤其是前10年考题)，而且是未来几年出题的风向标(特别是近几年考题)。分析、研究历年真题既可以准确把握重点内容，还可以在一定程度上进行预测。需要指出的是，这里所说的预测是指对内容和题型的推断,而不是所谓的猜题。任何考研辅导班和名师对具体题目的猜测都是不靠谱的
3、。本人统计、分析了19872013共27年考研数学中的线代概率考点。考虑到2003年起，考研数学分值改为150分，线代概率题型相对固定，下面给出20032013共11年考研数学中的线代概率考点和题型分布图，相信各位不难从中发现其中蕴含的统计规律。图图1 线代考点分布线代考点分布 图图2 线代题型分布线代题型分布 图图3 概率考点分布概率考点分布 图图4 概率题型分布概率题型分布 上述统计图很清楚地表明：1.考研线代最重要的内容是线性方程组,其次是相似对角化与二次型。两个大题几乎均来自上述两部分内容。2.考研概率最重要的内容是二维分布和参数估计。参数估计几乎每年均有大题,而另一个大题通常来自二维
4、分布或数字特征。下面根据上述分析结果，结合近几年的具体考点，分别给出考研线代和概率的各章节重点内容及复习策略，并对2014年考研线代和概率的考点及题型做出推断和预测。二、线代重点内容与复习策略二、线代重点内容与复习策略1.行列式行列式 行列式绝对不是考研线代中的重点，近11年仅考过4个填空题，内容均为与矩阵相关的行列式计算。另外，在计算和证明题中，各出现过一次用展开法则计算4阶和n阶行列式。考生只须熟悉行列式的性质、展开法则、克莱姆法则，注意矩阵与行列式的混合运算即可。2.矩阵矩阵 矩阵也不是考研线代中的重点，近11年也仅考过1个填空题，7个选择题，内容多为初等变换与初等矩阵的关系。但考虑到矩
5、阵的相关概念及运算是线代的基础，在后续内容中有着重要的应用，下面给出本章的重点内容及复习策略。(1)逆矩阵的概念、运算性质及逆矩阵的两种计算方法。(2)分块矩阵行列式及逆矩阵的计算。(3)初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵。这是本章节中最重要的内容。考生一定要极为熟悉初等变换与初等矩阵的对应关系，熟悉与初等矩阵相关的结论。如：A可逆的充要条件是A可表示为若干初等矩阵的乘积；A与B等价的充要条件是存在可逆阵P,Q，使A=PBQ。(4)矩阵秩的概念与求法。这里，特别提醒注意下列知识点：(1)伴随矩阵及其相关结论。(4次)(2)若a,b为非零列向量，则A=abT的充要条件是R(A)=1。(3次)(
6、3)秩的某些重要性质，如：若A可逆，则R(AB)=R(A)。R(AB)minR(A),R(B)。R(A+B)R(A)+R(B)。若AB=O，则R(A)+R(B)n。(4次)3.向量向量 向量在考研线代中较为重要，近11年考过2个填空题，8个选择题，1个证明题，内容多为向量组的线性相关性。本章的重点内容及复习策略如下：(1)向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关。这是本章节中最重要的内容。考生一定要理解线性相关性的概念，熟悉线性相关性的一些结论。如，向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示。部分相关，全体相关；全体无关，部分无关。(2)向量组等价的概念及判定。(
7、3)向量空间的基、维数、过渡矩阵。这是许多学生容易忽略的简单内容，近11年也考过3次。复习本部分内容需要注意下列问题：(1)已知一向量组的线性相关性，讨论另一向量组的线性相关性。(2)向量组等价与矩阵等价的区别。(3)秩在判定向量组的线性相关性及向量组等价等问题中的作用。向量的内容时常与其它内容相结合综合考查。2013年考研线代中，行列式部分出了1个填空，矩阵和向量部分出了1个选择。填空题改编自92年数5或94年数1,2中一计算题，用到了行列式展开法则及伴随矩阵相关知识，有一定难度，难以预测。例例1 设A=(aij)是3阶非零矩阵，Aij是aij的代数余子式。若aij+Aij=0，则|A|=(
8、)。分分析析 看到了代数余子式Aij应该立刻联想到什么内容？提到伴随矩阵一定要熟悉那些结果？由 ，得 ，从而，又 ，故 。因A非零，即存在 ，将|A|按第i行展开，故 。选择题较为常规，只要根据初等变换与初等矩阵的相关知识即可得出结论。例例2 设矩阵A,B均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则()。A.矩阵C的行向量组与A的行向量组等价B.矩阵C的列向量组与A的列向量组等价C.矩阵C的行向量组与B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与B的列向量组等价 分分析析 考研线代矩阵中最常见的考点是什么，要熟记什么结论？由B可逆知，B可表示为若干初等矩阵的乘积,即B=P1P2Pk,从而AP1P2Pk=C。
9、又用初等矩阵右乘矩阵等价于对此矩阵做相应的初等列变换，即矩阵A的列向量组经初等变换后变为C的列向量组，故A的列向量组与C的列向量组等价。注注 矩阵A与C显然等价。4.线性方程组线性方程组 线性方程组在考研线代中极为重要，近11年考过2个选择题，10个解答或证明题，内容多为含参数方程组的讨论。本章的重点内容及复习策略如下：(1)线性方程组解的判定与求解线性方程组解的判定与求解。这是本章节中最重要的内容。考生一定要熟悉齐次和非齐次线性方程组解的判定法则，掌握线性方程组两种求解方法。(2)基础解系的概念与性质。(3)齐次和非齐次线性方程组解的通解结构。复习本部分内容特别要注意：(1)含参数方程组的讨
10、论题型是重中之重，几乎年年必考。(2)从向量空间角度理解基础解系。(3)许多问题特别是向量组的线性相关性问题均可转化为线性方程组问题。2013年考研线代中的第1个大题是线性方程组，这毫无悬念。但此题题目新颖，不太容易与线性方程组相联系。例例3 设 ,当a,b为何值时，存在C，使得AC-CA=B，并求所有矩阵C。有兴趣的同学可以一试。5.特征值、特征向量与相似对角化特征值、特征向量与相似对角化 本部分内容在考研线代中非常重要，近11年考过3个填空题，3个选择题，5个解答题，内容多为特征值特征向量的概念与性质，相似矩阵的性质及对角化的判定与计算。本章的重点内容及复习策略如下：(1)特征值特征值(向
11、量向量)的概念的概念,性质与计算性质与计算。这是本章及下章中最基础的内容，考生一定要熟练掌握。(2)相似矩阵的概念与性质。(3)可对角化的条件。复习本部分内容需要注意下列问题：(1)特征向量的线性相关性。(2)相似矩阵有相同的行列式、特征值关系式的灵活运用。(3)有重特征值时可对角化的条件。(4)已知特征值和(部分)特征向量时求原矩阵。2013年考研线代中的第2个选择题是关于相似矩阵的性质，较简单，也易预测。例例4 矩阵 相似的充要条件是()。A.a=0,b=2 B.a=0,b任意C.a=2,b=0 D.a=2,b任意 相信在座的大部分同学都可以完成此题。6.二次型二次型 本部分在考研线代中同
12、样非常重要，近11年考过1个填空题，2个选择题，5个解答或证明题，内容几乎均为化二次型为标准形，个别题涉及矩阵正定或合同。本章的重点内容及复习策略如下：(1)用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形。这是本章中最核心的内容，考生一定要熟练掌握。(2)正定矩阵的概念、性质与判定。这里，提出一个“高档”问题：如何判定矩阵间的等价、相似、合同，如何理解这三个概念间的关系？上述问题27年来仅考过2个选择题，但若你通过努力搞清三个概念的本质含义、判定方法、联系与区别，相信你的线代水平提高的不是一点点。2013年考研线代中的第2个大题是二次型，这在意料之中。但此题是证明二次型的矩阵和标准形，而
13、不是计算二次型的标准形，并且要用到许多考生不太熟悉的秩的相关结论(R(A+B)R(A)+R(B),R(abT)=1)，题目新颖，有一定难度，无法预测。例例5 设二次型(1)证明二次型f 对应的矩阵为 ；(2)若,正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变换下的标准形为 。三、概率重点内容与复习策略三、概率重点内容与复习策略1.随机事件与概率随机事件与概率 本部分在考研概率中不太重要，近11年考过3个填空题,2个选择题,1个解答题，内容涉及全概率公式以及用加法、乘法公式求简单概率。考生只须熟悉加法公式、乘法公式、全概率公式及古典概型、几何概型即可。2.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 本
14、部分在考研概率中不太重要，近11年考过3个填空，4个选择，1个解答题，涉及密度函数的性质，正态分布、指数分布概率的计算，随机变量函数的分布(*)。考生要熟悉7种常用分布，分布函数和密度函数的性质，特别是正态分布的性质与计算，还应熟悉随机变量函数的分布的计算方法。3.二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 本部分是考研概率中最重要的两个内容之一，近11年考过2个填空题,5个选择题，7.5个解答题，内容包括二维随机变量函数的分布，二维随机变量概率的计算。本章的重点内容及复习策略如下：(1)二维均匀分布和二维正态分布。(2)联合分布和边缘分布。(3)二维随机变量概率的计算。这是本章考生必须熟练掌握
15、的技能。(4)二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布。这是本章中最重要的内容，考生一定要熟练掌握。要特别注意非独立连续随机变量线性组合的分布，离散随机变量和的分布，离散和连续随机变量和的分布。此外，还要熟记最大(小)值的分布。4.数字特征数字特征 本部分是考研概率中较重要的内容，近11年考过3个填空题,5个选择题，2.5个解答题，内容包括二维分布协方差和相关系数的计算，常用分布的期望和方差。本章的重点内容及复习策略如下：(1)7种常用一维分布的期望和方差。(2)期望和方差的性质与计算公式。(3)协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算。(4)随机变量独立与不相关的关系。本部分要特别注
16、意二维离散分布的协方差和相关系数的计算。此外，还要注意二维正态随机变量独立与不相关的特殊关系。5.大数定律，中心极限定理，统计分布大数定律，中心极限定理，统计分布 本部分是概率中不太重要的内容，近11年单独考过4个选择题,1个解答题，包括三大统计分布及正态分布的抽样分布。考生应熟悉切比雪夫不等式，三大分布的结构与性质，正态分布的某些常用抽样分布。需要提醒各位的是，上述内容往往与参数估计和无偏性综合考查。6.参数估计参数估计 本部分是考研概率中最重要的内容，近11年考过2个填空题，9个解答题，主要包括矩估计和最大似然估计，无偏性。本章的重点内容及复习策略如下：(1)矩估计和最大似然估计矩估计和最
17、大似然估计。这是本章中最重要的内容，考生一定要熟练掌握离散和连续两种类型的估计方法以及最大似然估计的非常规题型。(2)估计量的无偏性。考虑到试题的覆盖面和综合性，参数估计和无偏性有时会与三大分布和正态分布的抽样分布综合考查。此类综合题往往计算量较大，有一定难度，属压轴题。下面给出2013年考研概率的5个题目：例例6 设X1,X2,X3是随机变量，且则()。A.P1P2P3 B.P2P1P3 C.P3P1P2 D.P1P3P2 此题仅涉及正态分布，较简单。例例7 设随机变量 ，给定 ，常数c满足 ,则 ()。A.B.1-C.2 D.1-2 本题涉及到t分布和F分布，且要熟悉结论“若Xt(n)，则
18、X2F(1,n)”，有难度。例例8 设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a0为常数，则 此题可用常规条件概率计算，也可用指数分布的无记忆性计算，难度不大。例例9 设随机变量的概率密度为 令随机变量 (1)求Y的分布函数；(2)求概率 。本题表面为二维分布，其实可转化为一维随机变量函数的分布，有一定难度。例例10 设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为总体X的简单随机样本。(1)求的矩估计量；(2)求的最大似然估计量。本题为常规题型，容易预测，且比较简单。四、四、2014年线代概率预测年线代概率预测 下面根据历年特别是近几年考题，结合经验和直觉，对2014年考研线代概率的题型内容做大胆预
19、测。若差之毫厘，纯属偶然；若谬之千里，权做笑谈。1.2014考研线代题型预测考研线代题型预测 (1)第一个解答题毫无疑问是线性方程组，题型推断为含参数方程组解的讨论，且与向量组的线性相关性相综合。(2)第二个解答题应该是实对称矩阵的似对角化。(3)填空题是关于二次型的标准形。(4)第一个选择题一定是矩阵，题型为初等变换与初等矩阵的对应关系或由矩阵等式判定可逆性。(5)第二个选择题应该是向量，内容可能与秩有关。2.2014考研概率题型预测考研概率题型预测 (1)第一解答题必是二维分布，题型为二维随机变量函数的分布与概率的计算。(2)第二个解答题应该是参数估计，内容可能是无偏性与方差的计算。(3)
20、填空题可能是第一章中简单概率的计算。(4)第一个选择题可能是一维分布的性质或概率的计算。(5)第二个选择题应该是协方差或相关系数的计算。需要指出的是，上述仅仅是根据历年考题和经验给出的统计推断，只具有参考意义。即使预测全部正确，也不可能保证在考试中取得好成绩，因为同一个考点可以用形式各异的题目诠释。五、线代概率面授班简介五、线代概率面授班简介 考虑到考研线代概率的特点，考生的实际情况和师资等因素，辅导班决定在暑期对线代和概率这两门课进行面授辅导。线代由许峰老师讲授，概率由张洪涛老师讲授。面授班的主要工作和思路如下:1.资料资料 深入分析研究考研线代概率的特点，精心编撰内容翔实、重点突出、题型丰
21、富的特色辅导资料。2.面授面授 在第一轮复习的基础上，我们将向考生面对面剖析重难点内容，释疑解惑，讲解各类题型，预测可能的考点、题型，力争使考生熟悉考研线代概率中的重要知识点，掌握重点方法和题型，拓宽分析问题的思路，提高解题的能力。3.答疑答疑 答疑应该是面授班最大的特色。我们拟通过邮件、数学QQ(MathQ)、面对面等方式答疑，解决考生在线代概率(也可包括高数部分)复习中的各类疑难问题，确保面授的教学效果。4.模考模考 在对历年特别是近几年考题分析统计的基础上，精心编制3-5套模拟考题(包括高数)，计划在11或12月举行一次模拟考试，并且将对考试结果进行认真评阅和讲解。模拟考试和讲解可以使考生认识和发现在知识点和能力方面的不足,查漏补缺，强化对重点内容和题型的掌握，提高应试技能。结束语结束语 我们编撰的习题集被许多高校学生使用，编写的线代教材被安徽工业大学等几所高校选用，辅导的学生在全国大学生数学竞赛中取得过很好的成绩；我们的业务能力和讲课水平一直被同行和学生认可，我们有充分的实力和信心能够帮助考生在2014考研数学中取得好成绩。让时间来检验一切吧！本PPT可从下列信箱下载：MM：verykaopu 再次感谢各位光临！Byebye！