《二线变换的简单质教学课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二线变换的简单质教学课件.ppt（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 2009,Henan Polytechnic University1 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换二线变换的简单质教学课件 Still waters run deep.流静水深,人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望2 2009,H
2、enan Polytechnic University2 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换设是数域设是数域P上线性空间上线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，则称则称为为 的一个的一个特征值特征值，称为的属于特征值，称为的属于特征值一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 定义：定义：若对
3、于若对于P中的一个数存在一个中的一个数存在一个V的非零向量的非零向量使得使得的的特征向量特征向量.3 2009,Henan Polytechnic University3 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征
4、向量不是被特征值所唯一确定的，由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注：注：相同相同 或相反或相反时时 若若 是是 的属于特征值的特征向量，则的属于特征值的特征向量，则也是也是 的属于的特征向量的属于的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则若且，则 若若 都是都是 的的 属属 于特于特 征征 值的特征向量，值的特征向量，也是也是 的属于的特征向量的属于的特征向量.则则4 2009,Henan Polytechnic University4 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章
5、第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换设设 是是V的一组基，的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为线性变换在这组基下的矩阵为A.下的坐标记为下的坐标记为 二、特征值与特征向量的求法 分析：分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基设是的特征值，它的一个特征向量在基则则 在基下的坐标为在基下的坐标为5 2009,Henan Polytechnic University5 2 2 2 2 全排列及
6、其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换而而 在基下的坐标是在基下的坐标是于是于是又又从而从而 又又即即 是线性方程组是线性方程组 的解，的解，6 2009,Henan Polytechnic University6 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行
7、列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换以上分析说明：以上分析说明：所以它的系数行列式所以它的系数行列式 从而有非零解从而有非零解.若是的特征值，则若是的特征值，则反之，若满足反之，若满足则齐次线性方程组有非零解则齐次线性方程组有非零解.若是一个非零解，若是一个非零解，特征向量特征向量.则向量就是的属于的一个则向量就是的属于的一个7 2009,Henan Polytechnic University7 2
8、2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换设设 是一个文字，矩阵称为是一个文字，矩阵称为称为称为A的的特征多项式特征多项式.1.特征多项式的定义特征多项式的定义A的的特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式（是数域（是数域P上的一个上的一个n次多项式）次多项式）8 2009,Henan Polytechni
9、c University8 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换 矩阵矩阵A的特征多项式的根有时也称的特征多项式的根有时也称为为A的特征值的特征值,注：注：而相应的线性方程组而相应的线性方程组 的非零解也就的非零解也就称为称为A的属于这个特征值的特征向量的属于这个特征值的特征向量.9 2009,H
10、enan Polytechnic University9 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换 i)在在V中任取一组基中任取一组基 写出写出 在这组基下在这组基下就是的全部特征值就是的全部特征值.ii)求求A的特征多项式的特征多项式 在在P上的全部根它们上的全部根它们2.求特征值与特征向量的一般步
11、骤求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组并求出它的一组基础解系并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值它们就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量在基的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标下的坐标.)10 2009,Henan Polytechnic University10 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值
12、与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换 则则就是属于这个特征值就是属于这个特征值 的全部线性的全部线性无关的特征向量无关的特征向量.而而（其中，不全为零（其中，不全为零）就是的属于就是的属于 的全部特征向量的全部特征向量.如果特征值如果特征值 对应方程组的基础解系为：对应方程组的基础解系为：11 2009,Henan Polytechnic University11 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytec
13、hnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换对皆有对皆有所以，所以，V中任一非零向量皆为数乘变换中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量的特征向量.例例1.在线性空间在线性空间V中，数乘变换中，数乘变换K在任意一组基下在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是，它的特征多项式是故数乘变换故数乘变换K的特征值只有数的特征值只有数k，且，且12 2009,Henan Polytechnic University12 2 2 2 2 全排列及其逆序
14、数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换解：解：A的特征多项式的特征多项式 例例2.设线性变换在基设线性变换在基 下的矩阵是下的矩阵是求特征值与特征向量求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）故的特征值为：（二重）13 2009,Henan Polytechnic University13 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列
15、及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 即即 它的一个基础解系为它的一个基础解系为：因此，属于因此，属于 的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为而属于而属于 的全部特征向量为的全部特征向量为不全为零不全为零 14 2009,Henan Polytechnic University1
16、4 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换因此，属于因此，属于5的一个线性无关的特征向量为的一个线性无关的特征向量为 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 解得它的一个基础解系为：解得它的一个基础解系为：而属于而属于5的全部特征向量为的全部特征向量为15 2009,Henan Polytechn
17、ic University15 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换 例例3 3 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，的特征向量，则则(1)(1)是是的特征值的特征值(m(m是任意正整数是任意正整数).).(3)(3)当当A可逆时，可逆时，是是的特征值
18、的特征值(2)(2)若若为数域为数域P P上的多项式，则上的多项式，则为为特征值特征值.16 2009,Henan Polytechnic University16 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换已知已知3阶方阵阶方阵A的特征值为：的特征值为：1、1、2，例例4 4求矩阵的特征值及求矩阵的特
19、征值及的特征值.例例5 5设设4 4阶方阵阶方阵A A满足条件满足条件求求的一个特征值的一个特征值.17 2009,Henan Polytechnic University17 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换三、特征子空间三、特征子空间 定义：定义：再添上零向量所成的集合，即再添上零向量所成
20、的集合，即设设 为为n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换，为为的一个特征值，令的一个特征值，令 为的属于的全部特征向量为的属于的全部特征向量则则 是是V的一个子空间的一个子空间,称之为的一个称之为的一个特征子空间特征子空间.18 2009,Henan Polytechnic University18 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七
21、章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换注：注：的解空间的维数，且以方程组的解空间的维数，且以方程组(*)的基础解系为坐标的的基础解系为坐标的若在若在n维线性空间维线性空间V的某组基下的矩阵为的某组基下的矩阵为A，则，则即特征子空间即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组的维数等于齐次线性方程组(*)全部线性无关的特征向量就是全部线性无关的特征向量就是 的一组基的一组基.19 2009,Henan Polytechnic University19 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,
22、Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换四、特征多项式的有关性质四、特征多项式的有关性质1.设设 则则A的特征多项式的特征多项式由多项式根与系数的关系还可得由多项式根与系数的关系还可得 A的的全体特征值的积全体特征值的积 A的全体特征值的和的全体特征值的和称之为称之为A的迹的迹,记作记作trA.20 2009,Henan Polytechnic University20 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列
23、及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换注：注：有相同特征多项式的矩阵未必相似有相同特征多项式的矩阵未必相似.它们的特征多项式都是，但它们的特征多项式都是，但A、B不相似不相似.多项式多项式.因此因此,矩阵矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征的特征多项式也说成是线性变换的特征 由由定理定理6线性变换的特征值与基的选择无关线性变换的特征值与基的选择无关.如如 2.(定
24、理定理6)相似矩阵具有相同的特征多项式相似矩阵具有相同的特征多项式.21 2009,Henan Polytechnic University21 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换求求x 例例 已知矩已知矩阵阵A与与B相似，其中相似，其中22 2009,Henan Polytechnic Uni
25、versity22 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换设设 为为A的特征多项式的特征多项式,则则证证:设设 是是 的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则3.哈密尔顿哈密尔顿凯莱凯莱（HamiltonCaylay）定理定理都是都是的多项式，且其次数不超过的多项式，且其次数不超过n1.又的元素是的各个代数余子
26、式，它们又的元素是的各个代数余子式，它们因此，可写成因此，可写成零矩阵零矩阵23 2009,Henan Polytechnic University23 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换其中，都是其中，都是 的数字矩阵的数字矩阵.再设再设则，则，而而比较比较、两式，得两式，得24 2009,H
27、enan Polytechnic University24 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换以依次右乘以依次右乘的第一式、第二式、的第一式、第二式、第、第n式、第式、第n1 1式，得式，得25 2009,Henan Polytechnic University25 2 2 2 2 全排列及其逆
28、序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换把把的的n1 1个式子加起来，即得个式子加起来，即得4.设设为为有限有限维线维线性空性空间间V的的线线性性变换变换，是，是的特征多项式，则的特征多项式，则零变换零变换26 2009,Henan Polytechnic University26 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序
29、数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换例例3.设求设求解：解：A的特征多项式的特征多项式用去除得用去除得27 2009,Henan Polytechnic University27 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polyt
30、echnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换28 2009,Henan Polytechnic University28 2 2 2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 2009,Henan Polytechnic University 4 4 4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量第七章第七章第七章第七章 线性变换线性变换线性变换线性变换练习练习1：已知为已知为A的一个特征值，则的一个特征值，则（1）必有一个特征值为必有一个特征值为;（2）必有一个特征值为必有一个特征值为;（3）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为;（4）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为.（5）则则 必有一个特征值为必有一个特征值为.