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1、实变函数论西南辅导课程十至十四ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望例例1 1 设设 为可测集，试证为可测集，试证 证明证明 若若 或或 ，则结论显然则结论显然若且，则由可测，取例例2 2 考察康脱闭集考察康脱闭集 与相应的开集与相应的开集 由上面定义知，由上面定义知，=1-=0 =1-=0注意：这里我们得到了一个测度为注意：这里我们得到了一个测度为0 0 的不可数集的例子的不可数集的例子第三节第三节 可可 测测 集（续）集（续）定理定理1 1
2、 （1 1）凡外测度为零的集合是可测集，凡外测度为零的集合是可测集，我们称为零测集。我们称为零测集。（2 2）零测集之任何子集仍为零测集。零测集之任何子集仍为零测集。（3 3）有限个或可数个零测集之并仍为有限个或可数个零测集之并仍为 零测集零测集。证明：设证明：设 ，则对任何集合，则对任何集合 ，有，有定理定理 2 2 区间都是可测集，且区间都是可测集，且 定理定理 3 3 开集、闭集都是可测集。开集、闭集都是可测集。证证明明 因因为为任任何何非非空空开开集集可可表表示示为为可可数数多多个个互互不不相相交交的的左左开开右右闭闭区区间间之之并并，而而区区间间是是可可测测的的，故故开开集集可可测测
3、。闭闭集集作作为为开集之余集也是可测的开集之余集也是可测的 。我我们们指指出出重重要要的的一一类类集集，它它从从开开集集出出发发，通通过过取取余余集集，作作至至多多可可列列次次或或并并或或交交的的运运算算，所所得得到到的的集集统统称称为为波波雷雷尔尔集集。这这样样，一一切切波波雷雷尔尔集集是是可可测测的的。特特别别，波波雷雷尔尔集集中中有有这这样样的的集集值值得得注注意意，一一种种是是可可表表为为可可列列个个开开集集的的交交，称称为为 集集；另另一一种种是是可可表表为为可可列列个个闭闭集集的的并并，称称为为 集集。它它们们可可用用来来构造任意可测集的测度。构造任意可测集的测度。定理定理 5 5
4、 凡波雷尔集都是可测集。凡波雷尔集都是可测集。定理定理6 6 设设E E是可测集，则存在是可测集，则存在 型集型集 使使 且且证证明明 （1 1）先先证证 任任意意给给的的 ，存在开集存在开集G,G,使使 ，且，且 。为此，先设为此，先设，则由测度的定义，则由测度的定义，有一列开区间有一列开区间使使令令 ，则，则 为开集，为开集，其次，设其次，设 ，这时，这时 必为无界集，必为无界集，但它总可表示成可数多个互但它总可表示成可数多个互不相交不相交的有界可测集的并的有界可测集的并则则为开集，且为开集，且（2）依次取 ，由证明中的（1）存在开集 ，使 ，则 为 型集且 定理定理7 7 设设E E是可
5、测集，则存在是可测集，则存在 型集型集 使使 且且 证证明明 因因 可可测测，由由定定理理6 6存存在在 型型集集 G G使使 ，。令令 ，则则 为为 型集且型集且注注意意1 1 定定理理 6 6和和定定理理7 7表表明明，可可测测集集E E是是与与某某个个 集集或或某某个个 集集仅仅相相差差一一个个零零测测集集。由由于于其其逆逆也也成成立立，这这样样我们就获得了一切可测集的构造。我们就获得了一切可测集的构造。注意注意2 2 不可测集是存在的。不可测集是存在的。实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十一辅导课程十一第四章第四章 可测函数可测函数 本章引进一个新的函数类本章引
6、进一个新的函数类可测函可测函数类，并讨论它的性质，为下一章的勒贝数类，并讨论它的性质，为下一章的勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可测函数类中进行运算，如代数运算、取极测函数类中进行运算，如代数运算、取极限运算等是相当方便的，所得结果仍是可限运算等是相当方便的，所得结果仍是可测函数。测函数。第一节第一节可测函数及其基本性质可测函数及其基本性质 本节主要介绍可测函数的概念及其性本节主要介绍可测函数的概念及其性质，通过本节的学习，我们要掌握可测质，通过本节的学习，我们要掌握可测函数的概念
7、，可测函数的基本性质，即函数的概念，可测函数的基本性质，即可测函数的四则运算和极限运算仍为可可测函数的四则运算和极限运算仍为可测函数，同时我们要知道可测集上的连测函数，同时我们要知道可测集上的连续函数，简单函数，区间上的单调函数续函数，简单函数，区间上的单调函数均为可测函数。另外，本节最后给出的均为可测函数。另外，本节最后给出的“几乎处处几乎处处”概念是一个很重要的概念概念是一个很重要的概念 设设E E是是 一一个个可可测测子子集集（有有界界或或无无界界），是是定定义义在在E E上上的的实实函函数数（其值可以为无穷大）。（其值可以为无穷大）。关于包含关于包含 在内的实数运算作如下规定：在内的实
8、数运算作如下规定：是全体有限实数的上确界，是全体有限实数的上确界，是全体有限实数的下确界：是全体有限实数的下确界：上（下）方无界的递增（减）数列上（下）方无界的递增（减）数列对于任何有限实数对于任何有限实数 无意义无意义设设是任一实数，记是任一实数，记=定定义义1 1 设设 是是定定义义在在可可测测 集集 E E上上的的实实函数。如果对每一个实数函数。如果对每一个实数 集集 恒恒可可测测（勒勒贝贝格格可可测测），则则称称 是是定定义义在在 E E上的（勒贝格）可测函数。上的（勒贝格）可测函数。定定理理1 1设设 是是定定义义在在可可测测 集集 E E上上的的实实函函数数，下下列列任任一一个个条
9、条件件都都是是 在在 E E上上（勒勒贝贝格格）可可测的充要条件：测的充要条件：（1 1）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（2 2）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（3 3）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（4 4）对对任任何何有有限限实实数数 ，都都可测可测证证明明 与与 对对于于E E是是互互余余的的，同同样样 与与 对对于于E E也也是是互互余余的的。故故在在前前三三个个条条件件中中，只只须须证证明明（1 1）的充要性。）的充要性。事实上，易知事实上，易知=关关于于（4 4）的的充充要要性性，只只需需注注意意表表示式示式 =时时 =推推论论
10、 1 1 设设 在在E E上上可可测测，则则 总总可可测测，不不论论 是是有有限限实数或实数或 ，。证证 只需注意只需注意-=例例1 1 定定义义在在零零测测集集上上的的任任意意实实函函数均数均 为可测函数。为可测函数。事实上，零测集的子集总是可测集。事实上，零测集的子集总是可测集。每一个实数每一个实数 ，集，集 恒可测恒可测 例例2 2 区间区间 上的连续函数及上的连续函数及 单调函数都是可测函数。单调函数都是可测函数。例例1 1设设 =，在，在 上定义狄里克雷上定义狄里克雷 函数如下：函数如下：=由于对任意实数由于对任意实数 ，集，集 为为 （当（当 ），），中有理点集中有理点集 空集空集
11、 。它们都是可测集。它们都是可测集。故故 是是E E上的可测函数。上的可测函数。定定义义2 2 定定义义在在 的的实实函函数数 称称为为在在 连连续续，如如果果 有有限限，而而且且对对于于 的的任任邻邻域域 ，存存在在 的的某某邻邻域域 ，使得，使得 ，即只要，即只要 且且 时时，便便有有 。如果如果 在在E E中每一点都连续，则称中每一点都连续，则称 在在E E上连续。上连续。定定义义 3 3 设设 的的定定义义域域E E可可分分为为有有限限个个互互 不不 相相 交交 的的 可可 测测 集集 ，=，使使 在每个在每个 上都等于某个常数上都等于某个常数 则称则称 为简单函数。为简单函数。例例4
12、 4 可测集可测集E E上的连续函数是可测函数。上的连续函数是可测函数。事事实实上上，设设 ，则则由由连连续续性性假设，存在假设，存在x x的某邻域的某邻域 ，使，使令=定理定理2 2 （1 1）设）设 是可测集是可测集E E上的可测上的可测函数，而函数，而 为可测子集，则为可测子集，则 看看作定义在作定义在 上的函数时，它是上的函数时，它是 上的上的可测函数；可测函数；（2 2）设设 是定义在有限可测集是定义在有限可测集 的并集的并集 上，上，且且在在每每个个 上上 都都可可测测，则则 在在E E上上也可测。也可测。证证 （1 1）对于任何有限数）对于任何有限数 ，=，由假设等式右边是可测集
13、。由假设等式右边是可测集。（2 2）E E是是可可测测集集而而且且对对于于任任何何有有限限数数 ，有，有 =由假设等式右边是可测集。由假设等式右边是可测集。例例1 1任任何简单函数都是可测函数。何简单函数都是可测函数。事事实实上上，定定义义在在可可测测集集上上的的常常值值函函数数显显然然是是可可测测 的的，由由定定理理2 2便便知知任任何何 简简单单函函数都是可测函数。数都是可测函数。定理定理3 3 设设 是是 上一列（或有限个）上一列（或有限个）可测函数，则可测函数，则 =与与 都是可测函数。都是可测函数。证证 由于由于 =，=而得证。而得证。定定理理4 4 设设 是是 上上一一列列可可测测
14、函函数数，则则=，也在也在E E上可测，特别当上可测，特别当 =存在时，它也在存在时，它也在E E上可测。上可测。证证 由于由于 =，=重复应用定理重复应用定理3 3即得证。即得证。实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十二辅导课程十二定定理理5 5 设设 是是可可测测集集E E上上的的可可测测函函数数，则则 总总可可以以表表示示成成一一列列简简单单函函数数 的的极限函数，而且还可办到极限函数，而且还可办到证证 （1 1）情形。情形。对每个自然数对每个自然数n,n,定义定义则则 为为E E上的简单函数，且不难证明上的简单函数，且不难证明 我们证明我们证明 =。如果如果 =+
15、=+，则，则 =+=+。如果如果 +，则有自然数，则有自然数N N，使使 从而当从而当 时时 （2 2）一般情形）一般情形令令=sup,=sup则则 ，都是非负可测函数，都是非负可测函数，对对 ，作出相应的简单函数列作出相应的简单函数列 ，则则 =-=-，即为所求。，即为所求。由由此此得得到到：函函数数 在在 E E上上可可测测 的的充充要要 条条件件是是 总总可可以以表表示示成成一一列列简简单单函函数数 的极限函数，其中的极限函数，其中定定理理6 6 在在可可测测集集E E上上定定义义的的两两个个可可测测函函数数的的和和、差差、积积、商商（假假定定运运算算有有意意义义）都都是可测的。是可测的
16、。证证 设设 ，是是E E上上可可测测函函数数。故故存存在在两两个个简简单单函函数数列列 ，,使得使得lim,lim=.Lim=limlim显然两个简单函数的代数运算仍是简显然两个简单函数的代数运算仍是简单函数，据定理单函数，据定理5 5知结论成立。知结论成立。定义定义 4 4 如果命题如果命题S S在集在集E E上除了某个零测上除了某个零测度子集外处处成立，则说命题度子集外处处成立，则说命题S S在集在集E E上几上几乎处处成立，记为乎处处成立，记为S,a.e.S,a.e.命题命题S S也指某也指某一性质而言。一性质而言。例例1 1，两两函函数数f f与与g g几几乎乎处处处处相相等等指指的
17、的是是f f与与g g不不相相等等的的点点集集 的的测测度度为为零零，而在而在 上处处有上处处有容容易易证证明明，两两个个几几乎乎处处处处相相等等的的函函数数具具有有相相同同的的可可测测性性。即即改改变变函函数数在在一一个个零测集上的函数值不改变其可测性。零测集上的函数值不改变其可测性。例2几乎处处有限取值为无穷大的点集为零测集。例3几乎处处收敛不收敛的点集为零测集。例4几乎处处为正函数值不是正数的点集为零测集第第 二二 节节 叶果洛夫定理叶果洛夫定理 本节主要介绍一个重要定理本节主要介绍一个重要定理叶叶果洛夫定理。通过本节的学习，我们要果洛夫定理。通过本节的学习，我们要知道，对于定义在测度有
18、限的可测集上知道，对于定义在测度有限的可测集上的几乎处处有限的可测函数列，几乎处的几乎处处有限的可测函数列，几乎处处收敛与处收敛与“基本上基本上”一致收敛是等价的，一致收敛是等价的，同时我们要知道，叶果洛夫定理的逆定同时我们要知道，叶果洛夫定理的逆定理总是成立的。理总是成立的。在在数数学学分分析析中中知知道道一一致致收收敛敛是是函函数数列列非非常常重重要要的的性性质质，它它能能保保证证极极限限过过程程和和一一些些运运算算的的可可交交换换性性。但但一一般般而而论论，一一个个收收敛敛的的函函数数列列在在其其收收敛敛域域上上是是不不一一定定一一致致收收敛敛的。的。例如例如 在在 上不一致收敛。上不一
19、致收敛。但是只要从但是只要从 的右端点去掉任意小的的右端点去掉任意小的一段成为一段成为 ，则，则 在其上就一致在其上就一致收敛了。其实这一现象在某种意义下是带收敛了。其实这一现象在某种意义下是带有普遍意义的。有普遍意义的。引引理理 设设 ，是是E E上上一一列列几几乎乎处处处处有有限限的的可可测测函函数数列列，是是E E上上几几乎乎处处处处有有限限的的可可测测函函数数，在在E E上上几几乎乎处处处处收收敛敛于于 ，则则对对任任意意 和和任任意意自自然然数数n n，作，作我们有我们有证明证明 首先，首先，作为可测函数列的极限作为可测函数列的极限 函数是可测的函数是可测的 可测其次，根据关于其次，
20、根据关于 与与 的假设，的假设，推推论论 1 1 设设 ，是是E E上上一一列列几几乎乎处处处处有有限限的的可可测测函函数数列列，是是E E上上几几乎乎处处处处有有限限的的可可测测函函数数，在在E E上上几几乎乎处处处处收收敛于敛于 ，则对任意，则对任意 有有证明证明 由于由于 所以所以再由引理即得证再由引理即得证 定理（叶果洛夫定理）定理（叶果洛夫定理）设设 ，是是E E上一列几乎处上一列几乎处处有限的可测函数列，处有限的可测函数列，是是E E上几乎处上几乎处处有限的可测函数，处有限的可测函数，在在E E上几乎处上几乎处处收敛于处收敛于 ，则对任意，则对任意 ，存在，存在子集，子集，使在使在
21、 上上 一致收一致收敛，且敛，且 。证明证明 任选一列自然数任选一列自然数 ，与此相应，与此相应 作作 的子集的子集则则 必在必在 上一致收敛于上一致收敛于 事实上，对任给事实上，对任给 ，选选 使使 则当则当时，对一切时，对一切，都有都有所以当给定了任一个所以当给定了任一个 之后，之后，如果能适当的选取如果能适当的选取 ，使，使 则则 令令 ，它就满足定理的要求。，它就满足定理的要求。但由引理，对于但由引理，对于分别存在充分大的分别存在充分大的 ，使，使 故只要选取满足这条件的故只要选取满足这条件的，就有，就有这这个个定定理理告告诉诉我我们们，凡凡是是满满足足定定理理假假设设的的几几乎乎处处
22、处处收收敛敛的的可可测测函函数数列列，即即使使不不一一致致收收敛敛，也也是是“基基本本上上”（指指去去掉掉一一个个测测度度可可任任意意小小的的某某点点集集外外）一一致致收收敛敛，因因此此在在许许多多场场合合它它提提供供了了处处理理极极限限交交换换问问题题的有力工具。的有力工具。注意注意1 1：当：当 时，定理不成立时，定理不成立例：设则令则可测，且但对，结论不成立注意注意2逆定理当逆定理当和和时都成立时都成立证明对，存在在上，一致收敛于另一方面，当时，存在某使由于在上，一致收敛于故一致收敛于实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十三第第 三三 节节 可测函数的构造可测函数的
23、构造前面我们已经知道，可测集上的连续函前面我们已经知道，可测集上的连续函数一定是可测函数。反之，一般的可测数一定是可测函数。反之，一般的可测函数可以说是函数可以说是“基本上连续基本上连续”的函数。的函数。这就是下面的定理：这就是下面的定理：定理 1 （鲁津定理）设是是使使在在上是连续函数，且上是连续函数，且简言之，简言之，上几乎处上几乎处，存在闭子集存在闭子集上几乎处处有限的可测函数，则对上几乎处处有限的可测函数，则对任意任意处有限的可测函数是处有限的可测函数是“基本上基本上连续连续”的函数。的函数。证明 我们从特殊到一般分三种情形来讨论。1.简单函数情形。可测互不相交，且可测互不相交，且=，
24、当当由（由（1 1）知，存在闭集）知，存在闭集 。使使 在在 上是连续的，且上是连续的，且 令令，显然，显然且且在闭集在闭集上是上是一致收敛于一致收敛于的连续的连续函数列，从而函数列，从而是是上的连续函数，上的连续函数，且且。实际上。实际上（3 3）情形。情形。令令 为球为球 。由（由（2 2）知，）知，在在 上是基本上连续。上是基本上连续。即存在闭子集即存在闭子集 ，使，使 在在 上上是连续的且是连续的且令令，由，由的特殊作法，我们容的特殊作法，我们容易证明，易证明，在在上是连续且上是连续且而而仍为闭集。仍为闭集。注注1 1 该定理的证明方法值得注意，先考该定理的证明方法值得注意，先考虑简单
25、函数，再往一般的可测函数过渡。虑简单函数，再往一般的可测函数过渡。注注2 2 该定理使我们对可测函数的结构有该定理使我们对可测函数的结构有了进一步的了解了进一步的了解 ，它揭示了可测函数与，它揭示了可测函数与连续函数的关系。在应用上通过它常常连续函数的关系。在应用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续可以把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题，从而得以简化。函数的问题，从而得以简化。注注3 3 该定理的逆定理也是成立的。该定理的逆定理也是成立的。实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十四第四节第四节 依测度收敛依测度收敛 本本节节我我们们引引进进另另一一个个收收敛
26、敛概概念念依依测测度度收收敛敛，并并讨讨论论它它与与几几乎乎处处处处收收敛敛的的关关系系。通通过过本本节节的的学学习习，我我们们要要知知道道，依依测测度度收收敛敛与与几几乎乎处处处处收收敛敛有有很很大大的的区区别别，另另一一方方面面，黎黎斯斯定定理理和和勒勒贝贝格格定定理理表明，它们也有一定的联系。表明，它们也有一定的联系。在这个序列中是第在这个序列中是第 个函数。个函数。可以证明这个序列是度量收敛于零可以证明这个序列是度量收敛于零 这是因为对任何这是因为对任何 但是函数列在（但是函数列在（0 0，11上的任何上的任何 一点都一点都不收敛。不收敛。例例2 2 取取 ，作函数列，作函数列 显然显然 ，当，当 。但是当但是当时，时，且且反反过过来来，一一个个几几乎乎处处处处收收敛敛的的 函函数数列列也也可以不是依测度收敛的可以不是依测度收敛的 。这说明这说明 不依测度收敛于不依测度收敛于1 1。