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1、七年级下册全等三角形复习课件.角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。用法：用法：用法：用法：QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法：用法：用法：用法：QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE二二.角的平分线：角的平分线：1.1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.2.角平分线的判定：角平分线的判定：知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.
2、SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法1。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，。证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法选择恰当的判定方法2。全等三角形，是证明两条。全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相等的重相等的重要方法之一，证明时要方法之一，证明时 要要观察观察待证的线段或角，待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。在哪两个可能全等的三角形中。分析分析
3、要证两个三角形全等，要证两个三角形全等，已有已有什么条件，什么条件，还缺还缺什么条件。什么条件。有有公共边公共边的，公共边一定是对应边，的，公共边一定是对应边，有有公共角公共角的，公共角一定是对应角，的，公共角一定是对应角，有有对顶角对顶角的，对顶角也是对应角。的，对顶角也是对应角。总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。证明方法证明方法方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1 1）：已知两边）：已知两边-找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和已知一边和
4、它的邻角它的邻角找是否有直角找是否有直角(HL)已知一边和它的已知一边和它的对角对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个找这个角的另一个(SAS)找这边的对角找这边的对角 (AASAAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)练习1 证明线段相等的方法证明线段相等的方法(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差
5、倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法2 证明角相等的方法证明角相等的方法(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3 证明两条线段的位置关系（平证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法行、垂直）的方法.可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4 辅助线的添加辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全
6、等三角形.5.证明三角形全等的思维方法证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.解：解：PC是是 APB的角平分线的角平分线APC=（角平分线定义角平分线定义）在在 中中2.如图，如图，PA=PB，PC是是PAB的的角
7、分线，角分线，A=55.求：求：B B的度数的度数 （）A=B（）A=55（已知已知）B=_（等量代换等量代换）P PA AB BC C第第2 2题题BPCAPC和和BPCPA=PB(已知已知)BPCAPC=PC=PC(公共边公共边)APC BPCSAS全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等55复习题复习题1111SABF =SBDFSABD =SAFDSBDC =SAFDSABE =SDEFABD CDB想一想想一想探一探探一探辨一辨辨一辨用一用用一用理一理理一理作作 业业探一探探一探1.1.如图（如图（1 1），），AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，则，则ABCDCBABCDC
8、B吗吗?说说理由说说理由ADBC图（1）2.2.如图（如图（2 2），点），点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC上，上，CDCD与与BEBE相交于点相交于点O O，且，且AE=AD,AB=AC.AE=AD,AB=AC.ABEACD吗吗?说说理由说说理由.BCODEA图（2）3.3.如图（如图（3 3），若），若OB=ODOB=OD，A=CA=C，ABOCDO吗吗?说说理由说说理由.ADBCO图（3）想一想想一想探一探探一探辨一辨辨一辨用一用用一用理一理理一理作作 业业人教版八年级人教版八年级数学数学上册上册5 5、如图：、如图：AC=AD,AB=AB,AC=AD,AB=AB,且且
9、 B=BB=BABCABC与与ABDABD全等吗全等吗?=ABCD4 4、如图：如图：AB=CDAB=CD，BF=DEBF=DE，DEC=DEC=BFA=90BFA=90ABFABF与与C CDEDE 全等吗？全等吗？探一探探一探 C D E A B F1、如图：在、如图：在ABC中，中，C C=900，AD平分平分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE=。12cABDE三.练习：类型一、全等三角形的性质和判定类型一、全等三角形的性质和判定两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC(1)
10、请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DCBE.解：（1）BAECAD 证明：BACEAD90 BAC CAEEAD CAE 即 BAECAD 又ABAC，AEAD，ABEACD（SAS）（2）由（1）得BEACDA,又COEAODBEACOE CDAAOD90 则有DCE180 9090，所以DCBE.【点评点评】ABE与ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明ABEACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.我们可以试着从变换的角度看待ABE与ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90得到的，对应边的夹角等于
11、旋转的角度90，即DCBE.如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE.证明：AEAB，ADAC，EABDAC90 EABDAEDACDAE，即DABEAC.在DAB与EAC中，DABEAC（SAS）BDCE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)作公共边可构造全等三角形：作公共边可构造全等三角形：2、如图：在四边形ABCD中，ADCB，ABCD.求证：BD.证明：连接AC，ADCB，ABCD.12，34 在ABC与CDA中 ABCCDA（ASA）BD点评点评】B与D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等
12、三角形.添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证AC，则连接对角线BD.举一反三：举一反三：【变式】在ABC中，ABAC.求证：BC证明：过点A作ADBC 在RtABD与RtACD中 RtABDRtACD（HL）BC.(2)倍长中线法：倍长中线法：己知：在ABC中，AD为中线.求证：AD证明：延长AD至E，使DEAD，AD为中线，BDCD 在ADC与EDB中 ADCEDB（SAS）ACBE 在ABE中，ABBEAE，即ABAC2AD AD.人教版八年级人教版八年级数学数学上册上册辨一辨辨一辨想一想想一想探一探探一探辨一辨辨一辨用一用用一用理一理理一理作作 业业ABECD例例1 1：
13、如图，对于给出的五个等量关系（：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）CECEDEDE（4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小刚认为至少要给三，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？辨一辨辨一辨ABECD例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）
14、DEDECECE （4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小刚，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）人教版八年级人教版八年级数学数学上册上册辨一辨辨一辨ABECD例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于
15、给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）CECEDEDE（4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ADBCACBDABBA ABDBA
16、C(SSS)辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）DEDECECE （4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小刚，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）
17、（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ADADBCBCDEDECECESSASSA不可以判定全等。不可以判定全等。1 12 2ABECD1 12 2辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）CECEDEDE（4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对
18、呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ABECD1 12 2ADADBCBCD=CD=C1=21=2ADEADEBCE(AAS)BCE(AAS)人教版八年级人教版八年级数学数学上册上册辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）CECEDEDE（4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图刚认为至少要
19、给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ABECDADADBCBCDAB=CBADAB=CBAABABBABA ABDBAC(SAS)人教版八年级人教版八年级数学数学上册上册辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2
20、 2）ACACBDBD（3 3）DEDECECE （4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小刚，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ABECD1 12 2ACACBDBDAE=BEAE=BEDEDECECEDEDE
21、CECE1 12 2AE=BEAE=BEADEADEBCE(SAS)BCE(SAS)辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）CECEDEDE（4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）
22、（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ABECD1 12 2ACACBDBDD=CD=CSSASSA不可以判定全等。不可以判定全等。辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）CECEDEDE（4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形
23、全等，的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ABECD1 12 2ACACBDBDDAB=CBADAB=CBASSASSA不可以判定全等。不可以判定全等。辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）DEDECECE （4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小刚，小刚认为至少要给三个条件，
24、才能判定图中认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ABECD1 12 2D=CD=C1=21=2DEDECECEADEADEBCE(ASA)BCE(ASA)辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）A
25、CACBDBD（3 3）DEDECECE （4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小刚，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图中认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中的的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ABECD1 12 2DEDECECEDAB=CBADAB=CBA没有形成全等的条件人教版
26、八年级人教版八年级数学数学上册上册辨一辨辨一辨例例1 1：如图，对于给出的五个等量关系：如图，对于给出的五个等量关系（1 1）ADADBCBC（2 2）ACACBDBD（3 3）CECEDEDE（4 4）D=CD=C（5 5）DAB=CBADAB=CBA，小，小刚认为至少要给三个条件，才能判定图刚认为至少要给三个条件，才能判定图中的三角形全等；小明认为只要给其中中的三角形全等；小明认为只要给其中的两个条件，就能判定图中三角形全等，的两个条件，就能判定图中三角形全等，他们谁说的对呢？他们谁说的对呢？（1）（）（2）（1）（）（3）（1）（）（4）（1）（）（5）（2）（）（3）（2）（）（4）（
27、2）（）（5）（3）（）（4）（3）（）（5）（4）（）（5）ABECD1 12 2D=CD=CDAB=CBADAB=CBAAB=BAAB=BAABDABDBAC(AAS)BAC(AAS)4.4.已知，已知，ABCABC和和ECDECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B B，C C，D D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=ADBE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，以上条件不变，将将ABCABC绕点绕点C C旋转一旋转一定角度（大于零度而定角度（大于零度而小于六十度），以上小于六十度），以上的结论海成立吗？的结论海成立吗？证明证明：ABCABC和和ECDECD都是等边三
28、角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ACE BCA+ACE=DCE+ACE即即BCE=DCABCE=DCA在在ACDACD和和BCEBCE中中 AC=BC AC=BC BCE=DCA BCE=DCA DC=EC DC=EC ACDBCE (ACDBCE (SASSAS)BE=AD BE=AD12.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：ADG 为等腰直角三角形。拓展题拓展题9.如图如图,已知已知AC
29、 BD，EA、EB分别平分分别平分 CAB和和 DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）想一想想一想探一探
30、探一探辨一辨辨一辨用一用用一用理一理理一理作作 业业例例2.2.如图，如图，CA=CBCA=CB，AD=BDAD=BD，那么，那么A=BA=B吗？请说明理由。吗？请说明理由。添加辅助线：构造全等三角形添加辅助线：构造全等三角形变一变变一变ACDBA=B解：理由如下：连结DC，在ACD和BCD中CACBADBDCDCD ACDBCD（SSS）A=BA=B想一想想一想探一探探一探辨一辨辨一辨用一用用一用理一理理一理作作 业业例例3.3.如图，如图，CA=CBCA=CB，AD=BDAD=BD，M M、N N分别是分别是CACA、CBCB的中点，的中点，求证：求证：DM=DNDM=DN。变一变变一变A
31、CDBMN证明：连结CD在ACD和BCD中CACBADBDCDCD ACDBCD（SSS）A=BM、N分别是CA、CB的中点，AC=BC AM=BN在AMD和BND中AMBNA=BADBD AMDBND（SAS）DM=DN。想一想想一想探一探探一探辨一辨辨一辨用一用用一用理一理理一理作作 业业 如图：两根长度为如图：两根长度为1212米的绳子，一米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理底部的距离相等吗？请说明你的理由。由。12米米12米米用一用用一用解：两个木桩离旗杆底部的
32、距离相等解：两个木桩离旗杆底部的距离相等理由如下：ADBC ADB=ADC=90，在RtADB 和RtADC中ABAC12ADADRtADB RtADC(HL)BD=CD想一想想一想探一探探一探辨一辨辨一辨用一用用一用理一理理一理作作 业业一、全等三角形的定义、性质、判定；一、全等三角形的定义、性质、判定；二、全等是证明线段相等、角相等的二、全等是证明线段相等、角相等的 重要方法；重要方法；三、知道能够通过添加辅助线构造三三、知道能够通过添加辅助线构造三 角形全等。角形全等。理一理理一理 请用三角形全等的知识自行设计一种测量底请用三角形全等的知识自行设计一种测量底部不可到达物体的宽度部不可到达物体的宽度(如河宽、池塘宽、山底部如河宽、池塘宽、山底部宽等等）的方案。宽等等）的方案。作业作业此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢