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1、四章机率概论 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望量測某件事情會發生的機會稱之為機率機率機率的觀念是整個統計決策理論的基礎，利用機率才可以討論不確定性，24.1 事件與機率事件與機率統計上所謂實驗實驗(亦稱為試驗，)是一種活動，它的實驗結果結果在未實驗前不知道那一種會發生，因此是不確定的。3統計的實驗並不一定要像在實驗室內的化學實驗或醫學實驗，可能只是簡單的擲兩個骰子，看其出現的點數。通常實驗完後就能得到一組資料，4而一個“事件事件”(Event)是實驗
2、的一個或多個可能結果所組成，習慣上以英文大寫字母表示。5樣本空間樣本空間做一實驗所有可能結果所成的集合稱為樣本空間樣本空間，我們以U表示6例例4.1、擲一個骰子實驗，觀察出現的點數，請寫出此實驗的樣本空間78例例4.2、擲一個硬幣兩次，觀察每次是正面或反面，請寫出其樣本空間910例例4.3、一袋子內有紅球3個，白球2個，黃球1個某人任意從袋中取出一球觀察其顏色，試寫出其樣本空間1112註：註：從袋中取球，取到紅球、白球、黃球的機會並不相等13例例4.4、擲一個骰子兩次，觀察每次出現點數，寫出此實驗的樣本空間1415註註1：若令 S=1,2,3,4,5,6，則U=S S，樣本空間也可寫成16同時
3、同時擲兩個骰子註註2：若在例4.4，擲一個骰子兩次改為 同時同時擲兩個骰子，觀察出現的點數(a)當此兩個骰子看成不同不同(例如塗上不同顏色)，則兩種實驗的樣本空間與例4.4是相同的；17(b)但如將兩個骰子看成相同，則其樣本空間可表成18註註3：如果我們關心的是擲二個骰子的點點數數和和，則樣本空間也可以表示成U=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1219事件事件是樣本空間的部分集20常用的機率定義法有(1)古典機率(2)相對次數機率(3)主觀機率21(1)古典機率22例例4.5、(例例4.4續)擲二個骰子的實驗令A表示出現點數和為6的事件，B表示兩個骰子同點數的事件，(1)寫出事件A
4、事件B的集合；(2)求兩個骰子和為6的事件A之機率？(3)求兩個骰子同點數事件B的機率？23擲二個骰子的實驗令A表示出現點數和為6的事件A=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)令B表示兩個骰子同點數的事件，B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)2425P(A)=事件A發生的機率P(A)的數值永遠是介於0與1之間26擲兩個骰子共有36種可能結果27(1)點數和為6的事件A在上述排列中有5種，故事件A的機率為P(A)=5/36(2)兩個骰子同點數的事件共有6種，故事件B的機率為 P(B)=6/3628注意：注意：(1)不能以兩個骰子的點數和
5、可能情形有2,3,4,.,11,12共有11種結果，以P(A)=1/11來計算，這種做法不正確，理由是各種點數和出現的機率不一樣。29例例4.7、(例例4.6續)一袋中有3個紅球，1個白球，由袋中取球兩次，每次取一球，觀其顏色後放回放回袋中30(1)寫出樣本空間U；(2)寫出第一次取到紅球的事件A1，並求P(A1)=？(3)寫出第二次取到紅球的事件A2，並求P(A2)=？(4)寫出A1A2的事件，並求P(A1A2)=？31樣本空間32第一次取到紅球的事件33第一次取到紅球的機率34第二次取到紅球的事件35第二次取到紅球的機率36第一次與第二次都取到紅球的事件為A1A237第一次與第二次都取到紅
6、球的機率38例例4.8、(例例4.7續)一袋中有3個紅球，1個白球，由袋中取球兩次，每次取一球，觀其顏色後不放回不放回袋中，39(1)寫出樣本空間U；(2)寫出第一次取到紅球的事件A1，並求P(A1)=？(3)寫出第二次取到紅球的事件A2，並求P(A2)=？(4)寫出A1A2的事件，並求P(A1A2)=？40樣本空間41第一次取到紅球的事件42第一次取到紅球的機率43第二次取到紅球的事件44第二次取到紅球的機率45第一次與第二次都取到紅球的事件為A1A246第一次與第二次都取到紅球的機率472.相對次數機率相對次數機率以n次實驗後，事件A發生了k次，則其相對次數是k/n，因此定義事件A的機率為
7、k/n，即 P(A)=k/n以這種定義法時，實驗次數n通常要很大。48例如，觀察過去1000天，台南地區下雨的天數有120天，則我們就說台南地區每天下雨的機率是120/1000=0.12。493.主觀的機率主觀的機率是由決策者本身認為某事件發生的機會是多少來定其機率，華德(Wald)所提決策理論就是利用主觀機率與客觀的資料合併做決策。50例如，某氣象播報員說台南市明天下雨的機率是0.2，或是在賽馬中，張三認為某匹馬會贏第一的機會是30%等，這都是主觀的機率的例子51事件機率必需滿足基本假設(1)非負數：對任何事件A，0P(A)1。52(2)標準化：必然發生事件的機率為1，P(U)=1其中U為樣
8、本空間53(3)加法性：(3)事件A,B互斥(即當AB=)，則P(AB)=P(A)+P(B)。54註：註：P(Ac)=1-P(A)，其中Ac是A的補集，即事件A不發生的機率與事件A發生的機率和為1。55若兩事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B)稱事件A,B是獨立，否則稱事件A,B是相依相依(不獨立)56例例4.9(例例4.7續)、一袋中有3個紅球，1個白球，由袋中取球兩次，每次取一球，觀其顏色後放回放回袋中，第一次取到紅球的事件A1，第二次取到紅球的事件A2，事件A1與A2是否獨立5758例例4.10(例例4.8續)、一袋中有3個紅球，1個白球，由袋中取球兩次，每次取一球，觀其顏色後不放回
9、不放回袋中，第一次取到紅球的事件A1，第二次取到紅球的事件A2，事件A1與A2是否獨立？5960串聯串聯61 排容原理排容原理P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)62並聯並聯634.2 基本機率觀念基本機率觀念實際應用上我們常面臨的不是單一事件，而是關心兩事件(或更多)發生的狀況，分成四種情形討論641.事件A,B都發生的機率A,B兩事件是獨立獨立P(AB)=P(A)P(B)65例例4.3、(例4.2續)A表擲兩個骰子的點數和為6的事件，B表擲兩個骰子點數相等的事件，試問A,B兩事件是否獨立？66【解】P(AB)=1/36 P(A)=5/36 P(B)=6/36 P(AB)P(A)P(B
10、)因此A,B兩事件不獨立。672.事件A,B中至少有一發生的機率A,B兩事件中，至少有一事件發生的機率寫成P(AB)68我們已要求當A,B事件互斥時(即AB=)，則 P(AB)=P(A)+P(B)但若A,B不互斥的話，則有下列一般等式：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)69AB=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,1),(2,2),(4,4),(5,5),(6,6)P(AB)=10/3670P(A)+P(B)-P(AB)=5/36+6/361/36=10/36=P(AB)71聯合機率聯合機率聯合機率聯合機率是討論兩個不同性質分類後，問各分類有某種特性的機率
11、。72員工性別與抽菸與否交叉列表73性別與抽菸與否的聯合機率聯合機率74邊際機率邊際機率如果令M表示男員工的事件，F表示女員工的事件，S表示抽菸員工的事件，N表示不抽菸員工的事件，則由提供的資料知 P(M)=2000/3000=2/3 P(F)=1000/3000=1/3 P(S)=650/3000=13/60 P(N)=2350/3000=47/60P(M),P(F)稱為性別屬性的邊際機率邊際機率P(S),P(N)稱為抽煙與否屬性的邊際機率75員工性別與抽菸聯合機率76如果年終公司摸彩第一特獎有一位，則第 一 特 獎 抽 到 的 是 女 員 工 機 會 是P(F)=1/3。而抽到第一特獎的是
12、會抽菸的女員工之機率就是 P(FS)=50/3000=1/6077條件機率條件機率條件機率條件機率對學習統計是必要的，因為統計是由提供訊息做決策，它會因提供的資料不同，而算出不同的機率，導出不同的決策。78當已知事件B發生時，問事件A會發生的機率，寫成P(A|B)。79一袋中有3個紅球，1個白球，大明與小華分別由袋中取球1次，大明先取，觀其顏色後不放回不放回袋中，輪由小華取球，已知大明抽到紅球，請問小華也抽到紅球的機會是多少80P(A|B)=2/381條件機率條件機率82例例4.13、(例4.12續)再以員工性別及抽菸為例，如我們已經知道得第一特獎的是女員工，問她會抽菸的機率是多少？83【解】
13、84給事件B，求事件A發生的機率85例例4.14、班上50位學生要抽5位代表出公差(1)第一位抽中出公差的機率是多少？(2)若已知第一位抽中出公差，試問第二位抽到出公差的機會是多少？86(3)若已知第一位未抽中出公差，試問第二位抽到出公差的機會是多少？(4)若未提供第一位抽中出公差與否，第二位抽中出公差的機率是多少？(5)以你觀點看，先抽者抽中出公差機率大，或是後抽者抽中出公差的機率大？8788當A,B兩事件獨立時(即P(AB)=P(A)P(B)，則(i)P(A|B)=P(A)(當P(B)0)(即提供B的訊息對A發生的機率沒有影響)(ii)P(B|A)=P(B)(當P(A)0)(即提供A的訊息
14、對B發生的機率沒有影響)89例例4.15、令A表某人在下期某張統一發票中特獎的事件，B表此人擲10個骰子，每個骰子都出現點數1的事件90試問(1).A、B兩事件何者的機率高？(2).A、B兩事件是否獨立？(3).A、B兩事件都發生的機率是多少？(4).已知此人擲10個骰子都出現點數1 (表運氣很好)，請問他這張發票會中統一發票特獎的 機率是多少？91【解】924.5貝氏貝氏公式公式93驗前機率驗前機率精華公司由甲、乙兩供應商分別提供70%與30%的映像管，映像管經組裝成電視機，若由精華公司生產出的電視機中任意抽樣一件，則此電視機的映像管來自甲供應商的機率是0.7，來自乙供應商的機率是0.3，此
15、兩個機率稱為事前機率事前機率(或驗前機率驗前機率 Prior)。94由過去的資料顯示：甲供應商提供的映像管有3%是不良品乙供應商提供的映像管有6%是不良品任意抽樣一件電視機的映像管是不良品，請問此抽樣的不良品映像管來自甲供應商的機率是否仍為0.7呢？95來自甲供應商的機率(事後機率)96事前機率新的資訊貝氏定理事後機率97例例4.9、(例4.4續)已知大華公司員工3000人中有2000位男員工，而男員工中有30%抽煙，女員工中有5%抽煙。有一天傍晚，總經理在公司內看到遠處有一員工抽煙，但不知是男是女，請問抽煙者是男生的機率是多少？98解法解法(1)由表4.1知全部員工中抽煙者有650位，其中男
16、生佔600位，故P(M|S)=600/650即為答案。99解法解法(2)100101102103104表表4.3大華公司各部門抽菸人數統計表105如果有一天傍晚，總經理在公司內看到遠處有一位員工在抽煙，請問此員工是人事部門的機率是多少？1061071081.了解機率在統計扮演的角色主要在統計推論(估計、檢定)，例如(a)估計問題：信賴區間之信賴度。(b)檢定問題：型I、型II誤差及值。(c)抽樣分配：抽樣分配，及抽樣誤差1092.了解條件機率的重要性與統計上之關聯(統計常由於得到不同資訊而做不同決策)1103.兩事件A,B獨立性的條件是P(A|B)=P(A)(或P(AB)=P(A)P(B)，以袋中取球為例，第一次取出為紅球的事件與第二次取出是紅球的事件在放回時是獨立、不放回時則不獨立1114.了解貝氏公式的應用知道驗前機率P(E1)與驗後機率P(E1|S)之差別，由此了解提供資訊S是否對事件E1有用？(所謂有用，即P(E1|S)P(E1)如有用則表示兩事件不獨立的，否則兩事件是獨立的112