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1、第七节 正弦定理和余弦定理,基础梳理,1. 设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是ABC的外接圆半径.（1）正弦定理三角形的 各边和它所对角的正弦的比相等，即 (2)正弦定理的三种形式a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,c= 2Rsin C(边到角的转换); (角到边的转换);,abc=sin Asin Bsin C.,2. 三角形常用面积公式(1) (h表示三角形长为a的边上的高）.(2) (3) (r为三角形的内切圆半径）.,3. 余弦定理三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 ,即a2= b2+c2-2bccos A
2、, b2= c2+a2-2cacos B , c2= a2+b2-2abcos C.,余弦定理也可以写成如下形式：,4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中,分别令A、B、C为90,则上述关系式分别化为：a2=b2+c2 , b2=a2+c2 , c2=a2+b2.,典例分析,题型一正弦定理和余弦定理的应用【例1】在ABC中，已知 ,B=45，求A、C和c.,分析已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.,解方法一:B=4590,且bcb,角A为最大角.由余弦定理,得 ,A=120sin A= ,再
3、根据正弦定理，得,题型二 三角形的面积问题,【例2】(2008辽宁)在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c，已知c=2,C= .若ABC的面积等于3,求a,b.,分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程，然后解方程组得a,b.,解 由余弦定理及已知条件得 -ab=4.ABC的面积等于3, absin C= ,ab=4.联立方程组 -ab=4, ab=4, 解得 a=2, b=2.,学后反思 在解决三角形问题中，面积公式S= absin C= bcsin A= acsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.,举一反三,2. (2010江
4、阳模拟）在ABC中，a=4,A=30,b= ,则SABC= .,解析： 根据 -2bccos A得c=4或c=8.S= bcsin A,SABC=8 或4 .答案： 8 或4,题型三 判断三角形的形状,【例3】在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C,试确定ABC的形状.,分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.,解 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, =ab,cos C= ,0C,C= .又A+B+C=,A+B= .2c
5、os Asin B=sin C,2cos Asin B=sin(-A-B),2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,sin(A-B)=0,A=B= ,A=B=C= .三角形ABC为等边三角形.,学后反思 （1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.（2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C .,举一反三3. 在ABC中，a2tan B=b2tan A,则三角形的形状是_.解析：由正弦定理,得sin2Atan B=sin2Btan A,即sin
6、Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.A,B(0,),A=B或A+B=90.答案： 等腰三角形或直角三角形,题型四 正、余弦定理的综合应用例4. (14分)(2008哈尔滨模拟）ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小；(2)若a=3,求bc的最大值；(3)求 的值.,分析（1）由b2+c2-a2+bc=0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A,进而求出A的值.（2）由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化
7、简求值的目的.,解(1)A=1202(2)由a= ,得b2+c2=3-bc,.3b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号）,3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号），4即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为16,（3）由正弦定理，得 ,7,学后反思(1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角.(2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视., 11 14,举一反三,4.在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和 ,求A和tan B的值.,解析：由已知条件，应用余弦定理得cos A=,故A=60.在ABC中，C
8、=180-A-B=120-B.由已知条件，应用正弦定理得,解得cot B=2,从而tan B= .,易错警示,【例】(2009济南高三统考改编)在锐角三角形ABC中，若C=2B,则 的取值范围是 .,错解 由正弦定理易得 =2cos B,由于三角形为锐角三角形，故0C=2B90,得B(0,45).故 =2cos B(2,2).,错解分析 思维不严密导致错误.显然0C=2B90是三角形为锐角三角形的必要不充分条件,还应有B+C90.,正解 =2cos B.由锐角三角形ABC，C=2B两个条件可得 B , cos B ,2 2cos B .即ABAC的取值范围是( , ).,考点演练,10. 在A
9、BC中，sin A+cos A= ,AC=2,AB=3,求ABC的面积.,解析: sin A+cos A= cos(A-45)= ,cos(A-45)= .又0A180,A=105,sin A=sin 105=sin(45+60)= ,SABC= ACABsin A= 23 = .,11. （2009北京）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，B= ,cos A= ,b= .(1)求sin C的值；（2）求ABC的面积.,解析: (1)角A,B,C为ABC的内角，且B= ，cos A= ,C= -A,sin A= ,sin C=sin( -A)= cos A+ sin A= .(2)由(1)知sin A= ,sin C= .又B= ,b= ,在ABC中，由正弦定理得a=bsin Asin B= .ABC的面积为S= .,12. (2009浙江)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos ,ABAC=3.(1)求ABC的面积；（2）若b+c=6,求a的值.,解析: (1)cos ,cos A= ,sin A= .又由ABAC=3,得bccos A=3,bc=5,SABC= bcsin A=2.(2)由(1)知，bc=5,又b+c=6,b=5,c=1或b=1,c=5.由余弦定理,得 -2bccos A=20,a=2 .,