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1、第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,基础梳理,1. 直线与平面垂直,(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面内的 一条直线都垂直,就说直线a与平面互相垂直.,(2)直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条 垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,(3)直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 .,任意,相交直线,平行,2. 点面、线面距离及线面角,(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线, 的距离,叫做这个点到这个平面的距离.,(2)直线和平面的距离一条直线和一个平面 ,这条直线上 到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.,(3)直
2、线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的 所成的 ,叫做这条直线与这个平面所成的角.一条直线 于平面,则称它们所成的角是直角;一条直线与平面 或 ,则称它们所成的角是0的角.,这个点和垂足间,平行,任意一点,射影,锐角,垂直,平行,在平面内,3. 二面角及其平面角,4. 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是 ,那么就说这两个平面互相垂直.,(1)二面角的定义一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ,这条直线叫做二面角的 ,每个半平面叫做二面角的 .,(2)二面角平面角的定义以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射
3、线所成的角叫做二面角的 .,二面角,棱,面,平面角,直二面角,(2)平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的 ,那么这两个平面互相垂直.,典例分析,题型一 线线垂直【例1】如图,=CD,EA,垂足为A,EB,垂足为B,求证:CDAB.,分析 要证CDAB,只需证CD平面ABE即可.,(3)平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面.,一条垂线,交线,证明 =CD,CD,CD.又EA,CD,EACD.同理EBCD.EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB.AB平面EAB,ABCD.,学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常
4、先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等;若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.,举一反三1. 如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于ABCD所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证:AESB,AGSD.,证明： SA平面ABCD,BC 平面ABCD,SABC.又BCAB,SAAB=A,BC平面SAB.又AE平面SAB,BCAE.SC平面AEFG,AE平面AEFG,SCAE.BCSC=C,AE平面SBC.又SB平面SBC,AESB.同理可证,AGSD.,题型二 线面垂直【例2】如图,P为ABC所在
5、平面外一点,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.求证:(1)BC平面PAB;(2)AE平面PBC;(3)PC平面AEF.,分析 要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可.,证明 (1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB. PAAB=A,(2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC. PBBC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF. AEAF=A,学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直.在线线垂直和线面
6、垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用.由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.,举一反三2. 已知P为RtABC所在平面外的一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，求证：PD平面ABC.,证明：如图，连接CD.PA=PB，D为斜边AB的中点，PDAB. D为斜边AB的中点，CD= AB=AD.又PA=PC， PDDC.又ABCD=D,PD平面ABC.,题型三 面面垂直【例3】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证：（1）DE=DA;(2)平面MBD平面ECA;(3)平面DEA平
7、面ECA.,分析 （1）要证明DE=DA,只需证明取EC中点F构造的RtDEFRtADB.(2)注意到M为EA中点，可取CA中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明BN与平面ECA垂直即可.(3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线.,证明 （1）方法一：如图，取EC的中点F，连接DF.EC平面ABC，ECBC.CE=2BD，BD=CF.又BDCE,BD CF.四边形BDFC是平行四边形.BC DF.DFEC.在RtDEF和RtADB中，EF= EC=BD,FD=BC=AB,RtDEFRtADB.DE=DA.方法二：如图，取AC中点N，连接BN、MN.ABC是正三角形，BNAC于点N.又
8、EC平面ABC，EC 平面CAE，,平面ACE平面ABC，交线为AC.BN平面ACE.又M、N分别是AE、AC中点,在ACE中，MN CE,又BDCE且2BD=CE,BD CE MN.四边形BDMN是平行四边形,MD BN.DM平面ACE.又AE平面ACE，DMAE于点M.又M是AE中点，DA=DE.(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MN EC.又BDEC且EC=2BD,MN DB.N点在平面BDM内.,学后反思 在求证面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化
9、运用，这种转化方法是本节内容的显著特征.掌握转化思想方法是解决这类问题的关键.,EC平面ABC，BN平面ABC，ECBN.ABC为正三角形，BNAC.又ACEC=C,EC平面ACE，AC 平面ACE,BN平面ACE.BN 平面MBN,平面MBN平面ECA，即平面MBD平面ECA.（3）DMBN,BN平面ECA，DM平面ECA.又DM 平面DEA,平面DEA平面ECA.,举一反三3. 如图所示，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.求证：ABBC.,证明： 如图，作AHSB于H，连接EH、AE，平面SAB平面SBC，AH平面SBC,AHBC.又SA平面ABC，SABC.又SA
10、AH=A,SA,AH平面SAB,BC平面SAB.BCAB.,题型四 二面角的求法【例4】(14分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)求证:D1EA1D;(2)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为 .(3)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离.,分析 (1)线面垂直的性质;(2)二面角的逆用;(3)根据三棱锥等体积法.,解 (1)证明:AE平面AA1D1D,AEA1D. .2又AA1D1D为正方形,A1DAD1,A1D面AD1E,A1DD1E. .4,(2)过D作DHCE于H,连接D1H、DE,则D1HCE, .5D
11、HD1为二面角D1ECD的平面角. .7设AE=x,则BE=2-x.在RtD1DH中,DHD1= ,DH=1.在RtDAE中,DE= ,在RtDHE中,EH=x.在RtDHC中,CH= ,在RtCBE中,CE= , , .9当AE= 时,二面角D1-EC-D的大小为 . 10,(3)设点E到面ACD1的距离为h.在ACD1中,AC=CD1= ,AD1= ,故SACD1=而SACE= AEBC= ,VD1ACE= SACEDD1= SACD1h,.13 1= h,h= . .14,学后反思 确定二面角的平面角的方法:(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.(2
12、)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.,4. 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1、O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求证:面O1DC面ABCD;(2)若点E、F分别在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,问:点F在何处时,EFAD?(3)若A1AB=60,求二面角C-AA1-B的余
13、弦值的大小.,举一反三,解析: (1)证明:连接AC、BD、A1C1,则O为AC、BD的交点,O1为A1C1、B1D1的交点.由平行六面体的性质可知, A1O1OC,所以四边形A1OCO1为平行四边形,A1OO1C.,又A1O平面ABCD,所以O1C平面ABCD.又O1C平面O1DC,所以平面O1DC平面ABCD.(2)当F为BC的三等分点(靠近B)时,有EFAD.(3)连接A1C,A1B,作BGA1A与A1A交于点G,连接OG,可证OGAA1,则OGB为二面角C-AA1-B的平面角.设AB=1,则OB= ,BG=ABsin 60= ,AG= .又OA= ,所以OG= .在OGB中,利用余弦定
14、理得,易错警示,【例】设平面与平面的交线为l,直线AB在平面内,且ABl,垂足为B,直线CD垂直于平面,且CD平面.求证:AB平面.,错解 如图1所示,CD平面,且CD平面,而ABl,ABCD,AB平面.,错解分析 错解仅将已知条件复述一遍,就直接从CD平面,得出CDAB,这是没有根据的,犯了论据不足的错误.,正解 如图2所示,过CD及平面内任一异于AB的点P作平面,设平面与平面的交线为EF.CD平面,EFCD.CD平面,EF平面,EFl.EF、AB均在平面内,且EF、AB均与l垂直,ABEF.又EF平面,AB平面.,解析： 如图，连接CD，MC平面ABC, MD=13.,11. (2009江
15、苏)如图，在直三棱柱 中，E、F分别是 、 的中点，点D在 上， 求证：（1）EF平面ABC;(2)平面 平面 .,证明： （1）E、F分别是 、 的中点，EFBC,EF 平面ABC，BC 平面ABC.EF平面ABC.(2)三棱柱 为直三棱柱, 平面 ， ,又 , 平面 又 平面 平面 平面,12. (2010淮安质检)如图，在三棱柱BCEADF中，四边形ABCD是正方形，DF平面ABCD,M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一点.(1)求证:GNAC;(2)若FG=GD，求证:GA平面FMC.,证明： (1)连接DN,四边形ABCD是正方形，DNAC.DF平面ABCD,AC平面ABCD,DFAC.又DNDF=D,AC平面DNF.GN平面DNF，GNAC.(2)取DC的中点S，连接AS、GS,G是DF的中点,GSFC,ASCM.又GS,AS平面FMC，FC、CM平面FMC,GS平面FMC，AS平面FMC.而ASGS=S,平面GSA平面FMC.GA 平面GSA,GA平面FMC.,