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1、可靠性工程与风险评估可靠性设计 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第一节 设计参数的确定 系统、装置或零部件工程设计的可靠度，通常是几个设计变量和参数的函数。这些变量和参数大部分是随机的。随机变量之间相互组合的问既是可靠性设计中可能经常遇到的。一、函数的统计特征值 这里，首先叙述随机变量的变换。然后叙述随机变量的和、差、积、商以及随机变量函数的期望和方差的近似计算方法。如果随机变量x的概率密度函数为 已知，则随机变量的概牢密度函数可以写成：其中 若 x
2、 有两个值，用 和 表示，则：倘若 x有n个值，则式(42)有n项。（4-1）（4-2）设一维随机变量x，有：1、概率密度函数法2、矩法（代数法）3、Taylor级数展开法 工程材料性能的数据是可靠性设计的重要依据。所谓工程材料性能是指有关其性能特征的全体，例如强度、弹性模量、延伸率和断裂韧性等。由于材料性能具有不确定姓，因此，它们可以用随机变量的概率模型来捞述。所以，工程材料性能就可以用其性能特征的概率分布和统计参数来表示。二、工程材料性能数量的统计意义 强度是材料性能的主要指标。根据大量的统计资料表明，材料强度的概率分布可以假定服从正态或对数正态分布。因此，材料强度可以用其分布的平均值和标
3、准差(或者变异系数)来描述；另一种方法是以规定的性能特征的标准值 ，以及低于该值的概率 来描述。三、统计偏差 设计变量的技术要求是名义值加上或减去偏差。在可靠性设计中，装置成零部件的几何尺寸一般应作为随机变量来处理。如果已知该随机变量服从某一分布，则其数学期望和标准差就可求得。但通常情况下，它们的分布是不知道的。如果零部件加工条件仅受偶然原因影响，其产品母体的质量特征往往可以假定服从正态分布。从正态分布的母体中随机抽取试样，测量其加工尺寸，求出试样测定值的平均值，记作 。若反复取样、测试、求取平均值，则这些试祥尺寸的乎均值 的分布仍然是正态分布，且与母体间有如下关系：母体的平均值；母体的标庞差
4、，各试样平均值 的平均值，即总平均值；试样平均值 分布的标准差；每次取样的试样数目。式中 只要加工生产处于稳定状态，则从中抽取试样的平均值 ，出现在 区间内的可能性为99.73%。亦即在10000个试样中，其平均值X，出现在 区间外的可能性只有27个。根据“小概率事件在一次试验中几乎是不可能出现的”原理，则采用 控制偏差是工程上可以允许的。第二节 结构的可靠性分析 一、可靠度系数（FOSM）静载荷作用下，可靠性设计遵循的失效物理模型是应力强度干涉模型。最常用的是其中应力、强度均服从正态分布和对数正态分布的模型。参阅式(37)、(310)，它们分别表示正态分布和对数正态分布中，应力、强度和概率三
5、者的关系，称之为联结方程。定义 为结构可靠性分析的可靠度系数，或安全指标，并有：或从式(37)、(310)推导过程中可知，可靠度为：式中 ()标准正态分布函数。是失效概率 的度量，对于某固定的概率密度函数而言，值越大，越小，亦即结构具有更大的可靠度。表45是正态分布时，可靠度系数(安全指标)与失效概率的关系。参阅图4-2，当概率密度函数 的离散性一定时，即：常量，若 增加，显然 增加，将因而减小，可靠度增加。FOSM（First Order Second Moment）计算步骤：1、确定各随机变量的分布，数学期望和方差（标准差）；2、选择失效模式和计算基准；3、计算应力的均值和方差；4、确定强
6、度的均值和方差；5、按联结方程计算可靠度。本段拟叙述另外一种设计方法，它也是基于一次二阶短理论，但不是在中心点处展开，而是引入设计验算点的概念。二、设计验算点 首先，讨论两个正态变量线性极限状态方程的情况。极限方程式：式中，r、s分别代表强度和应力相互独立且服从正态分布。将它们变换成标准正态分布。变换量为：式中 分别表示随机变量r、s的均值；分别表示随机变量r、s的标准差。这两个变换关系也可以写成代入极限方程r-s=0可得：参阅图43。在 坐标系中，为一直线。在 坐标系中，这条直线的方程变为式(415)。如果将式(415)两边均除以 ，得从解析几何直线方程可知：在 坐标系中，原点 至此直线的距
7、离 为：其中 为垂足。法线 对坐标的方向余弦为：显然，可靠度系数(安全指标)就是标准正态坐标系中，原点 到极限状态方程宜线的最短距离 。达就是 的几何意义。因此，的计算可以转化为求 的长度。为极限状态方程直线上的一点，它在 坐标系中的坐标为 ，有如下关系：在原坐标系中的坐标为 称为设计验算点。其次，讨论多个正态变量极限状态方程的情况。极限方程式：方程(42)可能是线性，也可熊是非线性。引入标准化正态变量：式中 分别代表变量的均值和标准差。将 代入式(421)，有：AFSOM解题步骤：1、写出极限状态方程，假定一个 值，并对所有的随机变量赋初值，2、计算 处的偏导数，3、按公式423计算灵敏系数
8、4、按公式424计算新的设计验算点的坐标5、重复25步，直至 稳定为止；6、检验 ，若 ，重新假设 值，重复26步，直至 为止；7、计算结构可靠度，开始输入原始数据，控制误差ERR设定 初值赋设计验算点初值确定极限状态方程计算设计验算点处的偏导数计算灵敏系数计算新的设计验算点误差判断校验极限状态方程输出数据结束计算结构可靠度否是是否重设 值 三、当量正态分析方法 上面叙述的可靠度计算方法，是在随机变量服从正态分布情况下推求的。在许多结构问题吁，随机变量并非皆为正态分布。譬如，最弱环模型，其近似分布是极值型分布，风裁荷、应力腐蚀裂纹分布等也都不是正态分布。所以，必须寻求按实际分布的计算方法。一、
9、拉克维兹斯考夫法是求解维非正态分布可靠度的简便方法。它是国际结构安全性联合委员会采用的方法。非正态分布的随机变量可以被一个与原来函数等效的正态分布函数代替。即将非正态的随机变量先行“当量正态化”。“当量正态化的条件是：1在设计验算点处 ，当量正态变量的概率密度函数 与变量原分布的概率密度函数 相等(参阅图44)。2在设计验算点处 ，当量正态变量的累积概率分布函数 与变量原分布的累积概率函数 相等。cdfpdf 二、派罗黑摩(Paloheimo)法是求解n维非正态分布可靠度的另一种方法。计算方便，精度足以满足工程结构设计的要求。与前述拉克维兹菲斯勒方法相似，首先将非正态分布的随机变量，用一个与原
10、来函数等效的正态分布函数代替，即将非正态的随机变量先行“当量正态化”，然后按照n维正态分布的情况参阅式(421)一(425)进行计算。（具体见书）第三节 可靠度与安全系数 一、平均安全系数 机械产品的常规设计、或称基于强度理论的规范设计，其安全系数被定义为，材料的强度与裁荷产生的应力之比；一般常用材料的平均强度与结构危险截面的平均应力之比表示。即式中 材料的强度均值；结构危险截面应力均值；安全系数。安全系数 ，也称为平均安全系数。它的物理意义较为明确，对于许多机械产品而言，它有多年取用经验，所以至今仍被广泛采用。但是，由于许多场合，它的数值凭经验决定和具有一定盲目性随着科学技术的进步，这个弱点
11、越来越突出。对于可靠性要求较高的装置或容部件，必须重新考虑衡量结构安全的度量指标。式（411)、(4l 2)定义的可靠度系数，把应力、强度和失效概率三者之间的关系联结在一起。仿照式(445)所表示的平均安全系数的定义，它们尚可进一步作如下阐述。因为或者 式(4-46)、(447)把平均安全系数与结构可靠度(其值与相对应)之间的关系连在一起，赋予平均安全系数新的含意。表46示出按式(446)计算的平均安全系数及相应的可靠度。图410表示分布情况变化与平均安全系数和可靠度之间的定性关系。图410 安全系致与可靠度的直观变化 从图4-10(a)可以看出，当强度和应力的标准差一定时，提高平均安全系数就
12、会提高可靠度。阴影面积 。从图410(b)可以看出，当强度和应力的平均值一定时，降低它们的标准差，就可提高可靠度。阴影面积 。上述关系是按式(411)推求获得的。如果按照式(412)，也可以得到相似的结论。根据式(412)，有三、概率安全系数 在可靠性工程中，定义概率安全系数 为：在某一概率值(a%)下材料的最小强度 与在另一概率位下可能出现的最大应力 之比。假设强度和应力均服从正态分布，分别代表它们的均值，代表它们的标准差。所以 三、随机安全系数 材料的强度r和装置或零部件的应力s都是随机变量，如果定义安全系数为：（4-51）显然，n也是随机变量。n称之为随机安全系数，的概率即为可靠度。求取
13、 的概率。（详见书本）第四节 贝叶斯(Bayes)方法在可靠性设计中的应用 在可靠性设计中，往往必须通过试验获得大量的数据后才能证实一个具有高置信度水平的可靠度。然而，实际上这是有一定困难的。在试验数据较少的情况下，贝叶斯方法把主观判断或经验和试验数据相结合，提供了统计推断的结果，它适用于可靠性设计中对不确定性因素的定量估计。一、贝叶斯方法 设事件 是样本空间 的一个划分，且 对于任一事 A，由条件概率的定义有：由全概率公式代入上式得：（4-59）式(459)称为贝叶斯公式。它表明：引起事件A发生的原因可能是n个互不相容的事件 中之一。当发生某事件A时，如欲寻求其发生的原因，必须求得A出现条件
14、下某个事件 发生的概率。这就是式(459)中 的。常常取条件概率 最大者，认为是引起事件发生的原因。Bayes公式的用途：1、故障原因分析2、后验概率估算3、概率分布推测 第五节 可靠度的分配 在可靠性设计中，如果考虑系统的整体情况，会涉及到可靠度分配问题。可靠度分配的目的是合理的确定系统中每个单元的可靠度指标，以便制造者了解各单元所需的可靠度，从而在生产中加以切实的保证。进行可靠度分配，必须明确分配的目标函数与约束条件。因为目标函数和约束条件不同，可取度的分配方法有着很大的差异。例如，有的系统以成本、重量、体积等尽可能小作为目标函数而以可靠度不小于某一最低值为约束条件，也有的系统结出成本、重
15、量、体积等的界限值作为约束条件，而要求系统的可靠度尽可能大作为目标函数。在系统中包含高压或超高压设备的设计中，通常采用后一种方法。一、等同分配法 等同分配法又称简单分配法。它是对系统中全部单元或子系统分配以相等的可靠度。设系统由n个单元或子系统串联组成。令 为整个系统所要求的可靠度，为单元或子系统的可靠度。如果各单元或于系统的失效是独立的，则有：设系统由n个单元或子系统并联组成。如果各单元或子系统的失效是独立的，仿上式，单元或子系统的可靠度与整个系统的可靠度的关系为：二、相对失效率法 前曾述及，系统的可靠度可以按照单元的重要性进行分配。所谓重要性可以用单元的失效率与系统的失效率之比，或相对失效
16、率来表示。假设系统由n个单元串联组成。根据已往累积的数据推测各单元的失效率为 。并没各单元失效是独立的。故有：其中，为各单元的可靠度；为系统的可靠度。根据式(18)，将失效率关系代入上式，得所以（4-69）式中 为系统的推测(预计)失效率。令 表示所推测的各单元失效率之比。令 分配给各单元的失效率为 或 如果整个系统要求的失效率为 ，显然有令 为整个系统要求的可靠度，则：所以，分配到各单元的可靠度为：此式适用于已知系统要求的失效率、计算各单元可靠度的情况。反之，如果已知系统所要求的可靠度，则整个系统要求的失效率为：分配给各单元的可靠度为：三、AGREE法 AGREE(Advisory Grou
17、p on Reliability of Eiectronic Equipment-电子设备可靠性咨询组)分配法，考虑了各单元或子系统的复杂性，以及单元和系统之间的失效关系。这个方法要求各单元工作期间的失效率为一常数，且作为互相独立的串联系统。失效率分配公式为：（4-76）可靠度分配公式为：分配给单元i的失效率；分配给第i个单元的可靠度。在运行时间t中，系统要求的可靠度；第i个单元的重要度系数；系统中总的组件数；第i个单元的组件数；在系统运行的时间中，要求第i个单元运行的时间；工作时间或要求系统运行的时间；四、动态规划法 动态规划是解决多阶段决策过程中最优化问题的一种方法。所谓多阶段决策过程是指
18、一类过程由于它的特殊性可以将过程分为若干阶段，而在每一个阶段都需要作出决定以便使整个过程取得最优的效果。由于时间往往是很重要的因素在各个阶段采取的最优策略是与时间有关的，因此这种处理的方法称为动态规划法。五、拉格朗日（Lagrange)乘子法 如上所述，可靠度的分配问题可以视作在约束条件下求解函数的极值一目标函数。一般说来，连续函数可以通过将其微分求取极值。譬如，连续函数G(x,y)的极值条件可以写成：约束条件可以写成：式(480)中的dx，dy不是独立的，而是由式(481)微分关系相联系着的。（4-80）（4-81）假设则代入式(480)，得（4-82）式(481)和式(482)是求解极值的两个方程。如果引进拉格朗日乘子 ，则有：的极值条件为：将 视作独立的任意变量从上式可得：消去 ，得（4-83）式(483)与式(481)、(482)完全相同。可知，引进拉格朗日乘子后所得的结果与按照一般方法求解在约束条件下函数的极值，获得等价的结果。利用拉格朗日乘子求解的方法叫做拉格朗日乘子法。它的一般形式可表达如下：在约束条件下求极值。约束条件为：欲求极值的函数为：