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1、张量分析张量分析TensorAnalysispptTensorAnalysisppt课课件件1 张量的概念 在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有：这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当 坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。D)置换符号置换符号eijk=eijk定义为:i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。当i,j,
2、k是1，2，3的偶置换(123,231,312)当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321)当i,j,k的任意二个指标相同D)置换符号（续）置换符号主要可用来展开三阶行列式：若以 表示行列式中的普遍项，以 表示行列式，则上述行列式可写成：E)克罗内克符号与置换符号的关系二、基矢量在曲线坐标系中，空间一点P的位置矢量r是曲线坐标 xi 的函数，则：空间一点P的位置矢量可用直角坐标表示为：式中 ij 为沿坐标轴 zj 方向的单位矢量。上式表明，是单位矢量 ij 的线性组合，因此也是矢量。基矢量（续）表征当 xi 变化时位置矢量r的变化，因此 的方向是沿坐标曲线 xi 的切线方向。矢量
3、 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。作用在一点的任意矢量V，可以沿gi的方向按平行四边形法则分解：基矢量（续2）可知：若坐标系由xi 变换为yi，则基矢量gi按上述变换法则变换。基矢量gi也称为协变基矢量。若坐标系xi变换成另一新坐标系yi逆变换为：则在新坐标系 yi 中的基矢量为坐标变换时，个量的分量的变换法则是该量的重要性质。三、基本度量张量对于任何坐标系，首先必须知道在该坐标系中如何
4、度量长度。在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为下式。称为坐标系xi的基本度量张量。在三维空间，基本度量张量gij有9个分量。定义:续1若坐标系xi变换成另一新坐标系yi逆变换为：则在新坐标系 yi 中的基矢量为续2gij的特性：1）度量空间线元的长度(称为度量)；2）当坐标变换时，它按照一特定的变换法则变换，这是张量的基本特性;因此gij称为度量张量，这是一个非常重要的基本张量，又称为基本度量张量。四、对偶基矢量、相伴度量张量A)指标对偶基矢量（逆变基矢量）gi 由下式定义：在三维空间中，g1、g2、g3 分别垂直于（g2，g3）、（g1，g3）及（g1，g2）所在的平面。B)相伴（共轭）
5、度量张量式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量，或共轭度量张量将对偶基矢量 gi 沿基矢量 gj 的方向分解:B)相伴（共轭）度量张量类似协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换，提升或下降指标。C)矢量的逆变分量和协变分量任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量 gi 方向的分量表示。vi称为矢量V的协变分量；vi是矢量V的逆变分量。表示矢量的逆变分量和协变分量的大小等于矢量和相应的基矢量的点积。D)对偶基矢量、相伴度量张量的变换法则若坐标系xi变换成另一新坐标系yi逆变换为：逆变基矢量的变换法则:
6、相伴度量张量的变换法则：五、张量设一个量的分量在曲线坐标系 xi（i=1,2,3）中定义，它们是坐标x1、x2、x3 的函数。若坐标系 xi作容许变换成另一新坐系标 yi（i=1,2,3），则可以定义该量在新坐标系 yi 中的分量，并根据该量的分量在坐标变换时所遵循的不同变换法则，给予该量以不同的名称。在物理量或几何量中，有一些量与参考坐标无关，例如质量、温度、长度等；另有一些量，它们的分量却与参考坐标的选择有关,例如位移、速度等。前者称为标量，后者称为矢量。当坐标作容许变换时，矢量的分量根据相应的 变换法则进行变换。A)标量、逆变矢量、协变矢量(1)标量 一个量被称为标量或绝对标量，若它在坐
7、标系xi 中只有一个分量，在新坐标系yi中也只有一个分量 ，并且在两个坐标系中的对应点上，与的数值相等。(2)逆变矢量(一阶逆变张量)一个量被称为逆变矢量或一阶逆变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 i ，它们由以下的变换法则相联系；逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。(3)协变矢量(一阶协变张量)一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 i ，其变换法则相为；协变矢量用下标表示，下标也称为协变指标B)高阶张量(1)二阶协变张量(2)二阶逆变张量(3)二阶混合张量C)张量特性1）张量是矢
8、量概念的推广。2）张量由它的分量的集合所规定。3）张量的基本性质由坐标变换时张量的分量所遵循的变换法则来确定，变换法则与张量表示什么物理量无关。4）张量可分为零阶、一阶、二阶。张量的阶等于变换法则中变换系数的维度，也等于张量的指标的数目。在三维空间，r阶张量的分量总数为N=3r，标量是零阶张量，矢量是一阶张量。5）按照张量的变异(结构)，张量可分为逆变、协变和混合，张量的变异也由张量的指标的位置(上标、下标、或兼有上标下标)来区别。注：在曲线坐标系中，必须很好地理解逆变张量与协变张量的意义以及变换法则的区别。但若采用直角坐标系描述，则张量的逆变与协变的区别消失，把所有张量的指标写成下标。此张量
9、称为笛卡尔张量或直角坐标张量。5.2张量代数也是张量。可以证明，相加(减)的结果是一个同阶同变异的张量。一、张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构)的张量可以相加(或相减)。张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量。设是张量，则二、对称张量、斜对称张量A)对称张量若张量满足如下的关系式：这样的张量称为二阶对称张量。例如，基本度量张量和相伴度量张量 都是对称张量。B）斜对称张量若张量 满足以下关系式：则称 为二阶斜对称张量。斜对称张量也称为反对称张量。C)二阶张量的分解任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和，即：反对称张量之对称张量D)高阶张量的对称和反对称高
10、阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张量，它关于任一对下标是反对称的：三、张量的乘法也是张量。两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张量，其阶数是相乘两张量的阶数之和。设 Aij、Bk 是张量，则外积张量的乘法（续）若 Aij、是对称张量，Bij是斜对称张量，可以很容易证明，它们的乘积等于0，即:张量乘法的性质：张量的乘法是不可交换的。由几个张量连乘的乘积，则乘积张量中指标排列的次序由连乘张量的排列次序确定。张量 与张量 不想等。由于置换张量是关于任一对指标的反对称张 量，因此它与任何一个二阶对称张量 的乘积等于0。四、张量的缩并、内积在混合张量中，使一个上
11、标和一个下标相等，然后按求和约定求和，这样的运算，称为缩并。每一缩并，得到一个新张量，比原张量降两阶。设 Aijkl 是一个四阶混合张量。作缩并运算，则:若令指标i与k相等，可得：张量的缩并、内积（续）缩并运算可以应用于任意阶混合张量。还可将乘法和缩并结合起来形成新张量，这种运算称为两张量的内乘法，得到的张量称为该两张量的内积。如：五、张量指标的提升和下降运用度量张量 gij 或 gij 可以提升或下降高阶张量的指标。A)提升指标B)下降指标注：在度量空间，张量可以用它的任一种变异形式的分量的集合来表示。一个张量的协变分量、逆变分量或混合分量是同一个张量的不同异变形式的分量。5.3 张量演算一
12、、基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量演算发展中最重要的里程碑。张量的协变导数是本节讨论的重点。求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导：A)基矢量 gi 的偏导数式中:ijk是 沿 gk方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号；ijk 是 沿 gk方向的分量;称为第二种克里斯托弗符号。可以看出基矢量 gi对于坐标 xj 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量：B)克里斯托弗符号的性质及其计算 1)克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指标一样提升或
13、下降(但不是张量)2)克里斯托弗符号对前两个指标是对称的3)克里斯托弗符号de计算公式若度量张量的分量已知，坐标系的克里斯托弗符号。由此可知，克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性。由于直角坐标系的 是常数，所以在直角坐标系中4)克里斯托弗符号不是张量C)对偶基矢量 gi 的偏导数gi,j 二、矢量的协变导数A)矢量的偏导数变换最后一项中两个哑指标的字符，称为逆变矢量 vi的协变导数。协变矢量 vi的协变导数。B)矢量的微分B)协变导数是一二阶张量设坐标系 xi 作容许变换成新坐标系 yi 把矢量V用它在的分量表示为 协变导数是一二阶张量(续）上式表明在坐标变换时，vi|j 服从二阶协变张量的变换法则，因此 vi|j 是二阶协变张量。求导的指标 j 服从张量的协变分量的变换法则，所以叫协变导数。同样可以证明 vi|j是二阶混合张量。求导的指标j是协变指标。由此可知，一阶张量(矢量)的协变导数是另一个张量，它比原来的张量高一阶，增加一个协变指标。由此可以推论,协变导数的指标可以提升和下降：三、高阶张量的协变导数A)二阶张量的协变导数上式对于 xk 求导，可得:用两个矢量 乘一个张量得到一个标量：定义:高阶张量的协变导数二阶张量的协变导数 的定义。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！47