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1、微分方程作业解答微分方程作业解答 所以所以是所给微分方程的解是所给微分方程的解 因为因为解解24.镭的衰变有如下的规律镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存：镭的衰变速度与它的现存量量R 正比。正比。由经验材料得知，镭经过由经验材料得知，镭经过1600年后，只余年后，只余原始量原始量R0的一半。试求镭的量的一半。试求镭的量R与时间与时间t的函数关系的函数关系 即即由题设知由题设知 解解两边积分得两边积分得故故因为当因为当时时 故故 即即 又当又当时时 故故从而从而 因此因此95 5求下列齐次微分方程的解求下列齐次微分方程的解:解解 此题是齐次方程此题是齐次方程,令令则原方程化为则原方程化
2、为即即两边积分得两边积分得 即即将将代入上式得原方程的通解为代入上式得原方程的通解为 10 解解 原方程变形为原方程变形为令令则上式化为则上式化为即即分离变量分离变量 两边积分得两边积分得 即即将将代入上式得原方程的通解代入上式得原方程的通解即即11 解解 这是齐次方程这是齐次方程 即即则方程化为则方程化为或或两边积分得两边积分得 即即将将代入上式得原方程的通解为代入上式得原方程的通解为由由得得故所求特解为故所求特解为即即 令令12 解解即即两边积分得两边积分得 将将代入上式得原方程的通解为代入上式得原方程的通解为由由得得故所求特解为故所求特解为则原方程化为则原方程化为令令136 6 设有联接
3、点设有联接点和和的一段向上凸的曲线弧的一段向上凸的曲线弧对于对于曲线弧曲线弧上任一点上任一点与直线段与直线段所围图形的面积为所围图形的面积为求曲线弧求曲线弧的方程的方程 曲线弧曲线弧解解 设所求曲线弧设所求曲线弧的方程为的方程为由题意得由题意得两边求导得两边求导得即即令令则有则有 ,即即14因而因而从而所求方程为从而所求方程为在曲线上在曲线上，由于由于将将代入上式得方程的通解为代入上式得方程的通解为两边积分得两边积分得 15解解 原方程变为原方程变为由通解公式由通解公式,得得7 7求下列微分方程的解求下列微分方程的解:16 解解 原方程变形为原方程变形为所以所以17 解解 原方程变形为原方程变
4、形为 由一阶线性微分方程的通解公式由一阶线性微分方程的通解公式,得得 18 解解 由一阶线性微分方程的通解公式由一阶线性微分方程的通解公式,得得 由由 得得 故所求特解为故所求特解为19 解解 由一阶线性微分方程的通解公式由一阶线性微分方程的通解公式,得得故所求特解为故所求特解为 得得由由20 解解 这是一个伯努利方程这是一个伯努利方程.,则则原方程可化为原方程可化为由一阶线性微分方程的通解公式由一阶线性微分方程的通解公式,得得 通解为通解为（另有一特解（另有一特解）令令21 解解 即即两边积分得两边积分得 将将代入上式代入上式,得原方程的通解为得原方程的通解为即即 则原方程化为则原方程化为
5、令令22 解解 则原方程化为则原方程化为 即即将将代入上式得原方程的通解代入上式得原方程的通解即即令令两边积分两边积分 即即23解解 由题意知由题意知并且并且根据一阶线性微分方程的通解公式得根据一阶线性微分方程的通解公式得 由由 得得故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为8.8.求一曲线的方程求一曲线的方程,这曲线通过原点这曲线通过原点,并且它在并且它在点点 处的切线斜率等于处的切线斜率等于 .24解解 解解 方程不显含方程不显含,令令,即即两边积分得两边积分得 原方程的通解为原方程的通解为9.9.求下列微分方程的解求下列微分方程的解:则原方程化为则原方程化为,即即25 则原方程化为则原方程化为
6、即即由一阶线性齐次方程的通解公式得由一阶线性齐次方程的通解公式得即即于是于是 原方程的通解为原方程的通解为解解 方程不显含方程不显含,令令26 解解 则则原方程化为原方程化为两边积分得两边积分得即即原方程的通解为原方程的通解为令令27(5)(5)解解由由得得这是原方程的一个解这是原方程的一个解 再由再由得得即即从而从而故原方程的通解为故原方程的通解为 令令 则则原方程化为原方程化为 即即28(6)(6)解解原方程化为原方程化为 或或两边积分得两边积分得 ，两边积分得，两边积分得从而原方程的特解为从而原方程的特解为 则则令令由由,得得由由得得291111的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解的
7、两个线性无关的特解，并写出该方程的通解.并且并且 不恒为常数不恒为常数 所以所以与与是方程的线性无关解是方程的线性无关解解解 因为因为及及是方程是方程验证验证从而方程的通解为从而方程的通解为30因为因为的线性无关解的线性无关解 解解令令1212的通解的通解.是方程是方程验证验证又因为又因为是齐次方程的通解是齐次方程的通解.从而从而且且不恒为常数不恒为常数 所以所以 与与 是齐次方程是齐次方程31解解特征根是特征根是故方程通解为故方程通解为 特征方程为特征方程为特征根是特征根是故方程通解为故方程通解为 特征方程为特征方程为13 13 求解下列微分方程求解下列微分方程:解解的通解的通解 是方程是方
8、程因此因此所以所以 是方程是方程的特解的特解.32(3)(3)特征方程为特征方程为特征根是特征根是故方程通解为故方程通解为(4)(4)特征方程为特征方程为特征根为特征根为故微分方程的通解为故微分方程的通解为解解解解33(5)(5)特征方程为特征方程为特征根是特征根是,故方程通解为故方程通解为 (6)(6)特征方程为特征方程为特征根是特征根是,故方程通解为故方程通解为 解解解解34 特征方程为特征方程为解之得特征根解之得特征根故方程通解为故方程通解为代入初始条件得代入初始条件得解得解得因而所求特解为因而所求特解为(7)(7)解解35方程的特征方程为方程的特征方程为特征根为特征根为故对应的齐次方程
9、的通解为故对应的齐次方程的通解为因为因为所以设原方程的特解为所以设原方程的特解为代入原方程得代入原方程得解得解得从而从而因此因此 原方程的通解为原方程的通解为14 14 求解下列微分方程求解下列微分方程:解解不是特征方程的根不是特征方程的根,36 方程的特征方程为方程的特征方程为特征根为特征根为 故对应的齐次方程的通解为故对应的齐次方程的通解为因为因为不是特征方程的根不是特征方程的根代入原方程得代入原方程得比较系数得比较系数得 ,从而从而 因此因此 原方程的通解为原方程的通解为(3)(3)解解设原方程的特解为设原方程的特解为 37特征方程为特征方程为,特征根为特征根为齐次方程的通解为齐次方程的
10、通解为因为因为是特征方程的单根是特征方程的单根,代入得代入得比较系数得比较系数得,从而从而因此因此 原方程的通解为原方程的通解为(2)(2)解解设原方程的特解为设原方程的特解为38特征方程为特征方程为,特征根为特征根为齐次方程的通解为齐次方程的通解为故原方程的特解设为故原方程的特解设为代入原方程得代入原方程得比较系数得比较系数得,从而从而因此因此 原方程的通解为原方程的通解为(4)(4)解解具有具有方程方程形式的特解形式的特解方程方程具有具有 形式的特解形式的特解39 特征方程为特征方程为,特征根为特征根为齐次方程的通解为齐次方程的通解为因为因为不是特征方程的根不是特征方程的根,设原方程的特解为设原方程的特解为代入原方程得代入原方程得从而从而原方程的通解为原方程的通解为由由得得故满足初始条件的特解为故满足初始条件的特解为 (5)(5)解解40 特征方程为特征方程为,特征根为特征根为齐次方程的通解为齐次方程的通解为 容易看出容易看出为非齐次方程的一个特解为非齐次方程的一个特解,由由得得 解之得解之得因此满足初始条件的特解为因此满足初始条件的特解为 (6)(6)解解故原方程的通解为故原方程的通解为 41