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1、微分方程和差分方程简介微分方程和差分方程简介动态动态模型模型 描述对象特征随描述对象特征随时间时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程直接利用非齐次方程的通解公式，得 3.二阶常系数线性微分方程的微分方程称为二阶常系数线性微分方程。解法：齐次方程的通解+原方程的特解=原方程
2、的通解特征方程 的根 齐次方程 的通解两个相异实根两个相等实根一对共扼复根二阶非齐次常系数微分方程相关的参考书：1.常微分方程.高等教育出版社.2.数学建模与数学实验.赵静，但琦.高等教育出版社3.数学建模方法及其应用.韩中庚.高等教育出版社三、利用三、利用MatlabMatlab求微分方程的解析解求微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量)结 果：u=tg(t-c)解解 输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为:y=3e-2xsin（5x）
3、解解 输入命令：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t)；x=simple(x)%将x化简 y=simple(y)z=simple(z)结 果 为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 返 回四、微分方程的数值解四、微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解
4、。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。返 回（二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数、用差商代替导数 若步长h较小，则有故有公式：此即欧拉法欧拉法。2、使用数值积分、使用数值积分对方程y=f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：实际应用时，与欧拉公式结合使用：此即改进的欧拉法改进的欧拉法。故有公式：3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格龙格-库塔（库塔（Ru
5、nge Kutta）法）法、线性多步法线性多步法等方法。4、数值公式的精度、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返 回（三）可以用（三）可以用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf
6、为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.Exapmle：人口增长模型i.指数增长模型指数增长模型(Malthus模型模型)ii.阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型、模型、Verhulst模型模型)传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析
7、受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康
8、人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型模型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大最大模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天
9、治愈的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)可以看作模型可以看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手
10、段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s0 0 且且 q 0平衡点平衡点 P0不稳定不稳定(对对2,1)p 0 或或 q 0仅当仅当 1,2 1时，时，P3才有意义才有意义模型模型平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析平衡点平衡点 Pi 稳定条件：稳定条件：p 0 且且 q 0种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定不稳定平平 衡点衡点 21,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11,21
11、P1稳定的条件稳定的条件 11?11 21稳定条件稳定条件结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对于于N1)的的 1 倍。倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件：11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件：11,21 P3稳定的条件：稳定的条件：11,21通常通常 1 1/2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足其他的微分方程模型其他的微分方程模型经济增长模型经济增长模型正规战与游击战正规战与游击战
12、药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用人口预测和控制人口预测和控制烟雾的扩散与消失烟雾的扩散与消失万有引力定律的发现万有引力定律的发现其他的稳定性模型其他的稳定性模型军备竞赛军备竞赛种群的相互依存种群的相互依存种群的弱肉强食种群的弱肉强食参考文献：姜启源参考文献：姜启源.数学模型数学模型六、差分方程建模六、差分方程建模处理动态的离散型的问题处理动态的离散型的问题处理处理对象虽然涉及的变量对象虽然涉及的变量(如时间如时间)是连续的，是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将
13、连为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型续模型(微分方程微分方程)化为离散型化为离散型(差分方程差分方程)问题问题 对于对于k阶差分方程阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (3-6)若有若有xn=x(n),满足满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称则称xn=x(n)是差分方程是差分方程(3-6)的的解解,包含个任意常包含个任意常数的解称为数的解称为(3-6)的的通解通解,x0,x1,xk-1为已知时称为已知时称为为(3-6)的的初始条件初始条件,通解中的任意常数都由初始条通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为件确定后的解称为(3-6)的的特解特解.
14、若若x0,x1,xk-1已知已知,则形如则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(3-6)的解的解,即即F(n;a,a,a)=0,则称则称 a是差分方程是差分方程(3-6)的的平衡点平衡点.又对差分方程又对差分方程(3-6)的任意由初始条件确定的的任意由初始条件确定的解解 xn=x(n)都有都有xna(n),则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中其中a,b为常数为常数,且且a-1,0)的通解为的
15、通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点,由上式知由上式知,当且仅当当且仅当|a|1时时,b/(a+1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中其中a,b,r为常数为常数.当当r=0时时,它有一特解它有一特解x*=0；当当r 0,且且a+b+1 0时时,它有一特解它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形不管是哪种情形,x*是其平衡点是其平衡点.设其特征方设其特征方程程 2+a +b=0的两个根分别为的两个根分别为 =1,=2.当当 1,2是两个不同实根时是两个不同实根时,
16、二阶常系数线二阶常系数线性差分性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当当 1,2=是两个相同实根时是两个相同实根时,二阶常系数线二阶常系数线性差分性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;当当 1,2=(cos +i sin )是一对共轭复是一对共轭复根时根时,二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+n(C1cosn +C2sinn ).易知易知,当且仅当特征方程的任一特征根当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时时,平衡点平衡点x*是稳定的是稳定的.则则对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1=f
17、(xn)其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x=f(x)解出解出.为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性,将上述差分方程近将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程似为一阶常系数线性差分方程时时,上述近似线性差分方程与上述近似线性差分方程与原原非线性差分方程的非线性差分方程的稳定性相同稳定性相同.因此因此当当时时,x*是稳定的；是稳定的；当当时时,x*是不稳定的是不稳定的.当当Application:Application:常微分方程可化为差分方程常微分方程可化为差分方程 用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代含有导数的表达式，可以得到这
18、些近似值满足的含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程代数方程-差分方程差分方程 以二阶常微分方程边值问题为例以二阶常微分方程边值问题为例 目的求目的求差差分分法法差分方程差分方程抵押贷款买房问题抵押贷款买房问题 背背景景 每户人家都希望有一套属于自己的住房，但每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性园之高尚住宅
19、公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价付款优惠价40.240.2万元。若不能一次性付款也没万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为关系，只付首期款为1515万元，其余每月万元，其余每月1977.041977.04元等额偿还，元等额偿还，1515年还清。年还清。(公积金贷款月利息为公积金贷款月利息为3.6753.675）。）。问问题题公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？假假设设贷款期限内利率不变贷款期限内利率不变 银行利息按复利计算银行利息按复利计算 记记号号A（元）：贷款额（本金）（元）：贷款额（本金）n（月）：货款期限（月）：货款期限r：月利率：
20、月利率B(元元):月均还款额月均还款额 C Ck k：第：第k个月还款后的欠款个月还款后的欠款模模型型求求解解代入代入n=180、r=0.003675、B=1977.04结果：结果：A=260000（元）（元）一次性优惠价一次性优惠价9.89.8折折还款总额还款总额？利息负担总额利息负担总额？差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口
21、)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知
22、识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性01的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=0不稳定不稳定01/2101的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b其他差分方程模型其他差分方程模型银行复利问题银行复利问题减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长最优捕鱼策略（最优捕鱼策略（赵静赵静）