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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 等腰三角形问题例 8. 已知平面直角坐标系 xOy 中,点 A在抛物线 y= 2 3x + 2 3 上,过 A 作 ABx 轴于3 3点 B,ADy 轴于点 D,将矩形 ABOD沿对角线 BD折叠后得 A 的对应点为 A ,重叠部分（阴 影）为BDC（1）求证：BDC是等腰三角形（2）假如 A 点的坐标是（ 1, m ）,求BDC的面积（3）在（ 2）的条件下,求直线 BC的解析式,并判定点 A 是否落在已知的抛物线上？请说 明理由解： （1）由折叠知：ABD DBC四边形 ABOD是矩形AB DO ABD CDB CBD BDC BDC是等腰
2、三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）点 A（1,m）在 的图像上在 Rt ABD中, ABD 30 CBO 30（3）设直线 BC解析式为：解得设的坐标为（ x,y）,过作轴于 M,就名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,即代入,得点 的坐标是把代入,得：在此抛物线上22、（此题满分 10 分） 如图将腰长为 5的等腰 Rt ABC C 是直角 放在平面直角坐标系中的其次象限, 其中点 A 在 y 轴上,点 B 在抛物线 yax
3、 2ax2 上,点 C 的坐标为 1,0 1 点 A 的坐标为,点 B 的坐标为,其顶点坐标为的位置请判定点B 、 2 抛物线的关系式为 3 将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转90,到达AB CC 是否在 2 中的抛物线上,并说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22、已知抛物线yxm21 与 轴的交点为A、 B（ B 在 A 的右边）,与 y 轴的交点为 C（1）写出m1 时与抛物线有关的三个正确结论（2）当点 B 在原点的右边, 点 C 在原点的下方时, 是否存在如存在,求出 m 的值；如不存在,
4、请说明理由BOC为等腰三角形的情形？（3）请你提出一个对任意的 m 值都能成立的正确命题（说明：依据提出问题的水平层次,得分略有差异） 解：（1）当 m=1 时,抛物线的解析式为 y=-x2+2x 正确的结论有：抛物线的解析式为y=-x2+2x；开口向下；顶点为（ 1,1）；抛物线经过原点；与 x 轴另一个交点是（2, 0）；对称轴为 x=1 ；等（ 3 分）名师归纳总结 说明：每正确写出一个得一分,最多不超过（3 分）第 4 页,共 35 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）存在当 y=0 时, -（x-m）2+1=0 ,即有（ x-m）2=1
5、x 1=m-1 ,x 2=m+1 点 B 在点 A 的右边,A（ m-1 ,0）,B（ m+1 , 0）（ 4 分）点 B 在原点右边OB=m+1 当 x=0 时, y=-m2+1 ,点 C 在原点下方OC=m 2-1（5 分）当 m 2-1=m+1 时, m 2-m-2=0 m=2 或 m=-1 （不合要求,舍去） ,存在 BOC 为等腰三角形的情形,此时 m=2 （ 7 分）（3）如对任意的 m,抛物线 y=-（ x-m ）2+1 的顶点都在直线 y=1 上；对任意的 m ,抛物线 y=- （ x-m）2+1 与 x 轴的两个交点间的距离是一个定值；对任意的 m ,抛物线 y=- （ x-
6、m）2+1 与 x 轴两个交点的横坐标之差的肯定值为 2如图,抛物线与 x 轴交于 A x1,0 、B x 2,0 两点,且 x 1 x2,与 y 轴交于点 C 0,4 ,其中 x 1、x 2 是方程 x 22x 80 的两个根 1 求这条抛物线的解析式 2 点 P 是线段 AB 上的动点,过点 的面积最大时,求点 P 的坐标P 作 PE AC ,交 BC 于点 E,连接 CP,当 CPE 3 探究： 如点 Q 是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使 QBC 成为等腰三角形？如存在,请直接写出全部符合条件的点Q 的坐标；如不存在,请说明理由y C E B O P A x 23已知抛物线y
7、x22 32 xbxc 与 x 轴交于不同的两点A x, 和B x , ,与 y 轴交于点 C,且x 1,是方程x22x30的两个根（x 1x ）（1）求抛物线的解析式（2）过点 A 作 AD CB 交抛物线于点D,求四边形ACBD 的面积（3）假如 P 是线段 AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合）,过点 P 作平行于 x 轴的直名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线 L 交 BC 于点 Q,那么在 x 轴上是否存在点R,使得PQR 为等腰直角三角形？如存在,求出点 R 的坐标；如不存在,请说明理由y C A
8、O B x 23、如图,已知抛物线与 x 轴交于 A,B 两点 A 在 B 的左侧 ,与 y 轴交于点 C 0,2 ,顶点为 D1,8 3（1）求抛物线的函数关系式（2）如 E 是抛物线上一点, 且直线 CE 将四边形 ACDB 分成面积相等的两部分,求直线 CE的解析式（3）如直线 ym 2 m0 与线段 AC,BC 分别相交于 点 Q,使 DNQ 为等腰直角三角形？如存在,求出点M,N 两点,在 x 轴上是否存在 Q 的坐标；如不存在,说明理由y A O B x C D 180（湖北省十堰市）如图,已知抛物线yax2bx3（a 0）与 x 轴交于点A 1, 0和点 B 3,0 ,与 y 轴
9、交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点 M,问在对称轴上是否存在点P,使 CMP 为等腰三角形？如存在,请直接写出全部符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由；名师归纳总结 （3）如图,如点E 为其次象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE 面第 6 页,共 35 页积的最大值,并求此时E 点的坐标y B y C C B M A A - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 26、（此题 14 分）如图,已知抛物线y3x2bxc 与坐标轴交于A, ,C三点,点 A4的横坐标为1,过点C0 3, 的直线y3 x 3
10、4 t5 t ,且 0与 x 轴交于点 Q ,点 P 是线段 BC 上的一个动点, PHOB 于点 H 如PBt1y（1）确定 b,c的值：b_,c_；C的坐标（其中 Q,P用含 t 的式子表示） ：（2）写出点 B,Q,PPB _ _,Q_ _,P_ _；为AOQHBx（3）依点 P 的变化,是否存在t 的值,使PQB等腰三角形？如存在,求出全部26、解：（1）b9 4c3t 的值；如不存在,说明理由（2）B4 0, ,Q 4 t, ,0 P 4,3；（3）存在 t 的值,有以下三种情形名师归纳总结 当 PQ4 tPB 时HB1第 7 页,共 35 页PHOB ,就 GH44 t4 tt3-
11、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 PBQB 时得 44 t5 tt49名师归纳总结 当 PQQB 时,如图CPDBBB第 8 页,共 35 页解法一：过 Q 作 QDBP ,又 PQQB就BDBP5t22又BDQBOCOQBDBQBOBC5 t2444 t532 t57解法二：作 RtOBC斜边中线 OE就OEBE,BEBC5,22PEQ此时OEBPQBCBEOBBQPBQ5O2444 t5 tt32 57PQ2CP解法三：在 RtPHQ中有QH2PH28 t423 244 2OH57t232t0又t32,570 tt0（舍去）1为等腰三角形当t1或
12、4 9或32 57时,PQB3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 27（本小题满分 10 分）如图,抛物线 y 1x 2bx c 经过 A 3顶点为 C ,且 l 与直线 AB 交于点 D 3 0,、（0, ）两点,此抛物线的对称轴为直线l ,y l （1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）连接 BC ,求证： BCDC ；A O x B如图,有一条抛物线的解析式为C y=- 1/2x2+x+4,与 x 轴交于 A4,0, D O ,B（-2,0 ）两点,与 y 轴交于点 C（0,4 ）（1）点 P是线段 AB上的动点,
13、过点 最大时,求点 P 的坐标；P作 PE AC,交 BC于点 E,连接 CP,当 CPE的面积（2）探究：如点 Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使 QBC成为等腰三角形？如存在,请直接写出全部符合条件的点Q的坐标；如不存在,请说明理由；（1）设 P 点坐标为（ m,0）,过点 E 作 EGx 轴于点 G点 B 坐标为（ -2,0）,点 A 坐 标（ 4,0）,AB=6 ,BP=m+2 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - PE AC, BPE BAC BPAB= EGCO EG4= m+26 EG= 2m
14、+43S CPE=S CBP-S EBP = 12BP.CO- 12BP.EGS OPE= 12（m+2）（4- 2m+43）2+ 23m+ 83 =- 13mS CPE=- 13 （m-1）2+3又 -2m4,当 m=1 时, S CPE 有最大值 3此时 P 点的坐标为（ 1,0）（2）存在Q 点,其坐标为Q1（1,1）,Q2（1, 11）,Q3（ 1,- 11）,Q4（1,4+ 19）,Q5（1,4- 19）24. （原创）（本小题满分 12 分）如图,已知抛物线yax2bx3（a 0）与x 轴交于点A1,0 和点 B 3,0 ,与 y 轴交于点 C1 求抛物线的解析式；x 轴交于点 N
15、 ,问在对称轴上是否存在点P,使 CMP为等腰三角2 设抛物线的对称轴与形？如存在,请直接写出全部符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由 3 如图,如点E为第三象限抛物线上一动点,连接5BE、CE,求四边形BOCE面积的1510最大值,并求此时E点的坐标2y10x52y5BN0AxB0A24. 本小题满分12 分 -2C-2C-4-4图图名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解: 1由题知 : aab3 b3300 1 分9解得 : a1 1 分4b2所求抛物线解析式为:yx22x3 1 分 2 存在符合条件的
16、点P, 其坐标为 P 1, 10 或 P 1, 10 或 P 1, -6 或 P 1,13 3分3 解法：过点 E 作 EFx 轴于点 F , 设 E a , a +2a-3 2 3 a 0 EF= a +2a-3 ,BF=a3,OF=a 21 分 S 四边形 BOCE = 1 BFEF + 1 OC + EF OF2 2= 1 a3 -a 2- 2a+3 + 1 a 2a 6 （ a） 21 分2 2= 3a 2 9a 9 1 分2 2 2=3a 3 2+ 632 2 8当 a =3 时, S 四边形 BOCE 最大 , 且最大值为 63 1 分2 8此时,点 E 坐标为 3 ,-15 1
17、分2 41、如图抛物线 y 1x 2bx c 经过 A 3 0,、（0, ）两点, 此抛物线的对称轴为直线3L,顶点为C,且 L 与直线 AB交于点 D y l （1）求此抛物线的解析式（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标（3）连接 BC,求证： BC=DC A O x B名师归纳总结 O C第 11 页,共 35 页D O O - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 24. （此题满分12 分） 如图,抛物线yax2bx+c 过原点,且当x3时有最小值,2并经过点 A（4, 2 ）,同时 AB平行于 x 轴交抛物线于点B （1）求该抛物线的解析式和点
18、B 的坐标（2）过点 A 作 AC x 轴于 C,在 x 轴上是否存在点D,使 AOC与 BOD相像？名师归纳总结 （3）如图,将AOB围着点 O按逆时针方向旋转后到达A OB 的位置,当线段A B第 12 页,共 35 页的中点 E 正好落在直线OA上时,求直线A B与直线 AB的交点 P的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 24、（此题满分 12 分）名师归纳总结 解:1 抛物线解析式为y1x23x , -1分第 13 页,共 35 页22点 B 坐标为（ 1, 2）-1分2 可证 AOB 0 90 , AOC+BOD900如 BDO 0 90
19、,就 AC O ODB ,此时 D（1,0）-2分如 OBD 0 90 ,就 AC O OBD ,2 5 OD2,得 OD 5 5 D（5,0）-2分（3）当线段A B 的中点落在其次象限时,设A B 与直线 OA 的交点为 M A OB 900A MOMMOA A A ABOAAB x轴OAOA 与x轴重合此时A （2 5 ,0）,B 0, 5就直线A B 的函数y1x5-2分2 P坐标为 42 5, 2 -2分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当线段A B 的中点落在第四象限时,同理P坐标为42 5, 2 -2分25（此题满分11 分） 如图, 已
20、知抛物线yax2bx3（a 0）与 x 轴交于点A1,0和点 B 3,0,与 y 轴交于点 C1 求抛物线的解析式；2 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使 CMP 为等腰三角形？如存在,请直接写出全部符合条件的点 P 的坐标；如不存在,请说明理由3 如图,如点 E 为其次象限抛物线上一动点, 连接 BE、CE,求四边形 BOCE面积的最大值,并求此时E 点的坐标题知: 25解 : 1 由ab3300 分分3 分9a3 b解得 : a1 2b2 所求抛物线解析式为: yx22x3 2 存在符合条件的点P, 其坐标为 P 1, 10 或 P1,10 名师归纳总结
21、 或 P 1, 6 或 P 1, 5 7 分第 14 页,共 35 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3解法：过点 E 作 EFx 轴于点 F , 设 E a ,-2 a -2a3 3 a 0 2EF =-a -2a3,BF=a3,OF=a 8 分1 1S四边形BOCE = BF EF + OC +EF OF2 21 2 1 2= a 3 a 2a3 + a2a6 （ a） 9 分2 2= 3 a 2 9 a 9 10 分2 2 2=3 a 3 2 + 632 2 8 当 a =3 时, S 四边形 BOCE 最大 , 且最大值为 63 11 分2
22、 8此时,点 E 坐标为 3 ,15 分 122 4解法：过点 E 作 EFx 轴于点 F, 设 E x , y 3 x 0 8 分就 S四边形 BOCE = 13 + y x + 1 3 + x y 9 分2 2= 3 y x= 3x 23 x 3 10 分2 2= 2 3x 32 2 + 8 63 当 x =3 时, S 四边形 BOCE 最大,且最大值为 63 11 分2 8此时,点 E 坐标为 3 ,15 12 分2 426. 如图点 A 1 0, ,B 3 0, ,C 0,t ,且 t 0, tan BAC 3,抛物线经过 A、B、C 三点,点P2,m 是抛物线与直线l:yk x1的
23、一个交点（ 1）求抛物线的解析式（ 2）对于动点Q1,n,求 PQQB 的最小值AMP的边 AP上的高 h 的最大值（ 3）如动点 M 在直线 l 上方的抛物线上运动,求y C 名师归纳总结 A O B x 第 15 页,共 35 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 24. 如图抛物线经过原点O 和 x 轴上另一点A, 它的对称轴x=2 与 x 轴交于点C,直线名师归纳总结 y=-2x-1 经过抛物线上一点B- 2, m ,且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点D、E. 第 16 页,共 35 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -
24、- - - - - （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式（2）求证：CB=CE D 是 BE 的中点（3）如 P x,y是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点 试求出全部符合条件的点 P 的坐标；如不存在,请说明理由P, 使得 PB=PE, 如存在,25一开口向上的抛物线与x 轴交于 Am 2,0,Bm 2,0两点,记抛物线顶点为C,且 AC BC 1 如 m 为常数,求抛物线的解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如 m 为小于 0 的常数,那么 1中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点
25、？3 设抛物线交y 轴正半轴于D 点,问是否存在实数m,使得BOD 为等腰三角形？如存在,求出 m 的值；如不存在,请说明理由y D O A B x C 25解： 1设抛物线的解析式为：yaxm2xm2axm24a 2 分 ACBC,由抛物线的对称性可知：ACB 是等腰直角三角形,又AB4,5 分 Cm, 2代入得 a1 2解析式为：y1 2xm22 亦可求 C 点,设顶点式 2 m 为小于零的常数,只需将抛物线向右平移m 个单位,再向上平移 2 个单位,可以使抛物线 y1 2x m 22 顶点在坐标原点 7 分3 由1得 D0,1 2m 22,设存在实数 m,使得BOD 为等腰三角形 BOD
26、 为直角三角形,只能 ODOB 9 分1 2m 22|m2|,当 m20 时,解得 m4 或 m 2舍当 m2 0 时,解得 m0舍或 m 2舍；名师归纳总结 当 m2 0 时,即 m 2 时, B、O、D 三点重合 不合题意,舍 12 分第 18 页,共 35 页综上所述：存在实数m4,使得BOD 为等腰三角形 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、如图二次函数 yx 2bxc（ c 0）的图象经过点 A 2,m m0 ,与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 C、D 两点（ C 在 D 的左侧）, AB x 轴,且 AB : OB 2: 3（1）求
27、m 的值（2）求二次函数的解析式（3）在线段 BC 上是否存在点P,使POC 为等腰三角形？如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由y C A O B D x 1、二次函数yax2bxc a0的图象以过点A（3,0）、B（2, 3）,并且以x1为对称轴（1）求此函数的解析式（2）在给出的坐标系中作出此二次函数的大致图象（3）对称轴x1上是否存在一点P,使PAB中 PA=PB,如存在,求出P点的坐标,如不存在,主说明理由4321 43 2 101234 1 234名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 27、（1）
28、由题意得b1c0 （22a9 a3 b分）,解得xa4 a2 bc3为1b2 （ 2 分）yx22c3式解析3； （ 1 分）（2）如图示（ 3 分）（3）存在；作 AB 的垂直平分线交对称轴 x 1 于点 P,连结 PA、PB,就 PA=PB,设 P点坐标为（ 1, m ）,就由勾股定理得 （1 分）2 2 22 m 3 m （1 1 分）解得 m 1 （1 分）点 P 的坐标为（ 1, 1） （1 分）4321-3-2-101234-1-2 -3-4名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、抛物线y2 axbx2
29、与 x 轴交于点A x, ,B x,0x 1x2,且x 1,x 2是方程x22x30的两个实数根,点C 为抛物线与 y 轴的交点（1）求 A 、 B 两点的坐标；（2）求出抛物线和直线AC 的解析式；2. 设动直线ym 0m2（3）如将过点（ 0,2）且平行于 x 轴的直线定义为直线yP ,使得与线段 AC、BC分别交于 D、E两点 . 在 x 轴上是否存在点DEP为等腰直角三角形？如存在,求出点P的坐标；如不存在,说明理由y C A O B x 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）由x22x30,得x
30、11,x 23A 1 0 B, ,把 A,B两点的坐标分别代入yax2bx2联立求解,得a2,3b44,就x3（2）由（ 1）可得y2x 24x2,当x0时,y2,C0 2, 33设 AC:ykxb,把 A,C两点坐标分别代入ykxb ,联立求得k2,b2直线 AC 的解析式为y2x2同理可求得直线BC 的解析式是y2x23（3）假设存在满意条件的点P,并设直线ym与y轴的交点为F0,m 当 DE 为腰时,分别过点D,E作DP 1x 轴于1P ,作EP 2x 轴于P ,如图1P DE和P ED都是等腰直角三角形,yDEDP 1x 1FOEP 2m ,C0 2F E ymABx 24D DEAB
31、,CDECAB,A 1 0P 1O P 2B ,3 0DECF,即m22m图 4 ABOC4解得m43点 D 的纵坐标是4 3,点 D 在直线 AC 上,2 x24,解得x1,D1 4,3 333P 11 0, ,同理可求3P 210, 当 DE 为底边时,名师归纳总结 过 DE 的中点 G 作GP 3x 轴于点3P ,如图 5,C0 2yymx第 22 页,共 35 页就DGEGGP 3m ,D F G E - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由CDECAB,得DE ABCF,即2 m422m,1, ,0P 21 0,P 31,0OC解得m1同 1 方法求得D1, ,1E3, ,122DGEGGP 31OP 3FGFEEG1,P 31 0 22结合图形可知,P D2P E22,ED24,ED2P D2P E2,DEP 3是 Rt ,P 31 0 2也满意条件综上所述,满意条件的点P 共有 3 个,即P 122说明：以上各题如有其他解（证）法,请酌情给分八、解答题（此题满分 7 分）24在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y x 2bx c 与 x 轴交于 A,B