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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载24 函数的奇偶性【学问网络】1奇函数、偶函数的定义及其判定方法；2奇函数、偶函数的图象3应用奇函数、偶函数解决问题【典型例题】名师归纳总结 例 1（ 1）下面四个结论中,正确命题的个数是（A ）第 1 页,共 4 页偶函数的图象肯定与y 轴相交；函数f x 为奇函数的充要条件是f00；偶函数的图象关于y 轴对称；既是奇函数,又是偶函数的函数肯定是f（x）=0（xR）A 1 B2 C3 D4 提示：不对,如函数 f x 12 是偶函数,但其图象与 y 轴没有交点；不对,由于奇函x数的定义域可能不包含原点；正确；不对,既是奇函数
2、又是偶函数的函数可以为 f（ x）=0 x（a,a）,答案为A（2）已知函数f x ax2bx3ab 是偶函数,且其定义域为a1, 2a ,就（）A a1 3,b0 2Ba1,b0 Ca1,b0 Da3,b0 提示：由f x axbx3 ab 为偶函数,得b0又定义域为a1, 2a ,a12a0,a1故答案为A3（3）已知f x 是定义在 R 上的奇函数,当x0时,f x x22x ,就f x ）在 R 上的表达式是（）A yx x2Byx|x| 2Cy|x|x2Dyx|x|2提示：由x0时,f x x22x ,f x 是定义在 R 上的奇函数得：当 x0 时,x0,f x fxx22 x x
3、2f x x xx2x0,即f x x |x| 2,答案为 Dx 2x0（4）已知f x 5 xax3bx8,且f 210,那么 f （2）等于26提示：f x 8x5ax3bx 为奇函数,f 2818,f2 818,f226（ 5）已知f x 是偶函数,g x 是奇函数,如fxgx x11,就f x 的解析式为提 示 ： 由f x 是 偶 函 数 ,g x 是 奇 函 数 , 可 得fx gx11, 联 立xfx gxx11,得：f x 1x11112 x11, fxx2112x例 2判定以下函数的奇偶性：（1）f x x11x；2f x 1x2x21；1x（3）f x |lg1x2；（4）
4、f x x2xxxx0x22 |22 x0解：（1）由1 1x0,得定义域为 1,1,关于原点不对称,f x 为非奇非偶函数x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2122 x0x21x1精品资料0欢迎下载,f x f x 既是奇函数又是偶函数x10（3）由 1| x 2 x 22 | 2 00 得定义域为 1,0 0,1 ,f x lg1x 22 x 22 lg1x 2 x 2,2 2f x lg1 2 x lg12 x f x f x 为偶函数 x x（4）当 x 0 时,x 0,就 f x x 2x x 2x f x ,2 2当 x 0 时,x 0,
5、就 f x x x x x f x ,综上所述,对任意的 x , ,都有 f x f x ,f x 为奇函数例 3如奇函数 f x 是定义在（1,1）上的增函数,试解关于 a 的不等式：2f a 2 f a 4 02解：由已知得 f a 2 f a 4因 fx 是奇函数,故 f a 24 f 4 a 2,于是 f a 2 f 4 a 2又 f x 是定义在（1,1）上的增函数,从而2a 2 4 a 3 a 21 a 2 1 1 a 3 3 a 221 a 4 1 5 a 3 或 3 a 5即不等式的解集是 3, 2 例 4已知定义在 R 上的函数 f x 对任意实数 x 、y ,恒有 f x
6、f y f x y ,且当 x 0时,f x 0,又 f 1 23（1）求证：f x 为奇函数；（ 2）求证：f x 在 R 上是减函数； （3）求 f x 在 3, 6上的最大值与最小值（1）证明：令 x y 0,可得 f 0 f 0 f 0 0 f 0,从而, f0 = 0 令y x ,可得 f x f x f x x f 0 0,即 f x f x ,故 f x 为奇函数（2）证明：设 x 1 , x R,且 x 1 x ,就 x 1 x 2 0,于是 f x 1 x 2 0从而f x 1 f x 2 f x 1 x 2 x 2 f x 2 f x 1 x 2 f x 2 f x 2 f
7、 x 1 x 2 0所以,f x 为减函数（3）解：由（ 2）知,所求函数的最大值为 f 3,最小值为 f 6f 3 f 3 f 2 f 1 2 f 1 f 1 3 1 2f 6 f 6 f 3 f 3 4于是,f x 在 -3,6上的最大值为 2,最小值为-4【课内练习】名师归纳总结 1以下命题中,真命题是（C ）第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A函数y1精品资料欢迎下载是奇函数,且在定义域内为减函数x 3 xB函数yx0 1是奇函数,且在定义域内为增函数2C函数 y x 是偶函数,且在（3,0）上为减函数2D函数 y ax
8、c ac 0 是偶函数,且在（0,2）上为增函数提示： A 中,y 1在定义域内不具有单调性；B 中,函数的定义域不关于原点对称；D 中,x2当 a 0 时,y ax c ac 0 在（ 0,2）上为减函数,答案为 C2 如 x ,g x 都是奇函数,f x a bg x 2 在（ 0,）上有最大值 5,就 f x 在（, 0）上有（）A最小值 5 B最大值 5 C最小值 1 D最大值 3 提示：x 、g x 为奇函数,f x 2 a x bg x 为奇函数又 f x 有最大值 5, 2 在（ 0,）上有最大值 3f x 2 在 , 0 上有最小值 3,f x 在 , 0 上有最小值 1答案为
9、 C3定义在 R 上的奇函数 f x 在（ 0,+）上是增函数,又 f 3 0,就不等式 xf x 0的解集为（ A ）A（ 3,0）（ 0,3）C（ 3, 0）（ 3,+）B（, 3）（ 3,+）D（, 3）（ 0,3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解答案为 A4. 已知函数 y f x 是偶函数,y f x 2 在 0,2上是单调减函数,就（A）A. f 0 f 1 f 2 B. f 1 f 0 f 2C. f 1 f 2 f 0 D. f 2 f 1 f 0提示：由 f（ x2）在 0,2上单调递减,f x 在 2,0上单调递减 . y f x 是偶函数,f x 在 0,2上单调
10、递增 . 又 f 1 f 1,故应选 A.5已知 f x 奇函数,当 x （ 0,1）时,f x lg 1,那么当 x （ 1,0）时,f x 1 x的表达式是 lg1 x 提示：当 x（ 1,0）时,x（ 0, 1）,f x f x lg 1lg1 x 1 x6已知 f x log 3 2a ax x 是奇函数,就 a 2007 2007 a = 2022提示：f 0 log 3 2a a 0,2a a 1,解得：a 1,经检验适合,a 20072007 a20227如 f x 是偶函数,当 x 0,+ 时,f x x 1,就 f x 1 0 的解集是 x | 0 x 2提示：偶函数的图象关
11、于 y 轴对称,先作出 f x 的图象,由图可知 f x 0的解集为 x | 1 x 1,f x 1 0 的解集为 x | 0 x 2 . 8试判定以下函数的奇偶性：名师归纳总结 （1）f x |x2|x2|；f（ 2）|fx x13x2；x（3）|fx |x|x1 0第 3 页,共 4 页3x解：（1）函数的定义域为R,x x2|x2| |2|x2|f x ,故f x 为偶函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）由1x2 x00得：1x精品资料0欢迎下载0, 1 ,关于原点对称,1 且x,定义域为 1, 0|3|3f x x132 x31xx2,
12、fx12 xf x ,故f x 为奇函数x（3）函数的定义域为- ,00,11,+,它不关于原点对称,故函数既非奇函数,又非偶函数名师归纳总结 9已知函数f x 对一切x yR ,都有fxyf x f y ,如ff 3a ,用 a第 4 页,共 4 页表示f12 y 中,解：明显f x 的定义域是 R ,它关于原点对称在x ,得 f 0 f x f x ,fxyf x 令 y3,求 a 、b 、c令xy0,得f0f0f0,f00,f fx0,即fxf x , f x 是奇函数f 3a , f122f64f34f 34a 10已知函数f ax21 , a b,cZ是奇函数,又,f12,f2bxc的值 . 2 b ,解：由fxf x 得bxc bxc c=0.又f12,得a1而f23,得4 aa13,解得1a2. 1又 aZ ,a0或a1. 如a0,就 b=1Z ,应舍去；如a1,就 b=1Z. 2a1,b1,c0. - - - - - - -