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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载二次函数一、学问点梳理1. 定义： 一般地, 假如 y ax 2 bx c a , b , c 是常数,a 0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 . 22. 二次函数 y ax bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 . 二次函数 y ax 2bx c a , b , c 是常数,a 0 a0 a0 y y 0 x 0 x （1）抛物线开口向上,并向上无限延长；（1）抛物线开口向下,并向下无限延长；（2）对称轴是 x=b,顶点坐标是（b,（2）对称轴是 x=b,顶点坐标是 （b,2a2 a2a2a4acab2
2、）；4acab2）；44（3）在对称轴的左侧,即当 x 时, y 随 x 的增大而增大2 a（4）抛物线有最低点,当 x= b时, y 有2 a（3）在对称轴的左侧,即当 x 时, y 随 x 的增大而减小2 a（4）抛物线有最高点,当 x= b时, y 有2 a最小值,y 最小值4acb2最大值,y最大值4acb24 a4 a3. 用待定系数法求二次函数的解析式名师归纳总结 （1）一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式. 第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）顶点式：yaxh2k优秀教
3、案欢迎下载. . 已知图像的顶点或对称轴以及最值,通常挑选顶点式求抛物线的顶点、对称轴的方法：y ax 2bx c a x b 24 ac b 2,2 a 4 a2顶点是（b,4 ac b）,对称轴是直线 x b. 2 a 4 a 2 a（ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 、 2 x ,通常选用交点式：y a x x 1 x x 2抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 如 抛 物 线 y ax 2 bx c 与 x 轴 两 交 点 为A x 1,0,B x 2,0,由于 x 、2x 是方程 ax 2bx c 0 的两个根,故x 1 x 2 b , x 1 x
4、 2 ca a2 2AB x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 24 x 1 x 2 b 4 c b 4 aca a a a4. 抛物线 y ax 2 bx c 中,a , b , c 的作用（1） a 打算开口方向及开口大小：名师归纳总结 a 0 ,开口向上； a 0,开口向上,又 y=x 2x+m=x 2x+ （1）21 +m=（x1）2+4 m 12 4 2 4对称轴是直线 x=1,顶点坐标为（1,4 m 1）2 2 4（2）顶点在 x 轴上方,顶点的纵坐标大于 0,即4 m 10 4m14m1 时,顶点在 x 轴上方4（3）令 x=0 ,就 y=m即抛物线 y=x2x+m
5、与 y 轴交点的坐标是A （0,m）AB x 轴B 点的纵坐标为 m当 x 2x+m=m 时,解得 x 1=0,x2=1A（0,m）, B（ 1,m）在 Rt BAO 中, AB=1 ,OA= m SAOB =1 2OA AB=4 2x+8 或 y=x2x81 2 m 1=4, m= 8 故所求二次函数的解析式为y=x【点评】正确懂得并把握二次函数中常数a,b,c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载题的关键之处例 2 已知： m,n 是方程 x26x+5=0 的
6、两个实数根,且mn,抛物线 y=x2+bx+c 的图像经过点 A（ m,0）, B（ 0,n）,如下列图（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点,过点P 作 PHx 轴,与抛物线交于 H 点,如直线BC 把 PCH 分成面积之比为2：3 的两部分,恳求出 P 点的坐标【分析】（ 1）解方程求出 m,n 的值用待定系数法求出 b, c 的值（2）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M ,可求出DMC ,梯形 BDBO , BOC 的面积,用割补法可求出BCD
7、 的面积（3）PH 与 BC 的交点设为 E 点,就点 E 有两种可能： EH=3 EP, EH=2 EP2 3【解答】（ 1）解方程 x 26x+5=0 ,得 x 1=5,x2=1由 mn,有 m=1,n=5所以点 A,B 的坐标分别为A（1, 0）, B（0,5）将 A （1,0）, B（0,5）的坐标分别代入 y=x 2+bx+c ,1 b c 0, b 4,得 解这个方程组,得c 5 c 5所以抛物线的解析式为 y=x 24x+5（2）由 y=x 24x+5,令 y=0,得 x 2 4x+5=0 解这个方程,得 x1= 5,x 2=1所以点 C 的坐标为（ 5,0）,由顶点坐标公式运算
8、,得点过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M ,如下列图就 SDMC =1 9 （ 52）=272 2S梯形MDBO =1 2 （ 9+5）=14,2S BDC =1 5 5=252 2D（ 2,9）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载=15所以 SBCD =S梯形MDBO +SDMC SBOC =14+27 225 2（3）设 P 点的坐标为（ a,0）由于线段 BC 过 B, C 两点,所以BC 所在的直线方程为y=x+5 2+4x+5 .的交点坐那么, PH 与直线 BC 的交点坐标为E（a,
9、a+5）,PH 与抛物线 y= x标为 H（a, a 24a+5）由题意,得 EH=3 2EP,即2mxm22,这两个二次函数的（ a 24a+5）（ a+5） =32（a+5）解这个方程,得a=3 2或 a=5（舍去）EH=2 3EP,得（ a 24a+5）（ a+5） = 32（a+5）解这个方程,得a=2 3或 a=5（舍去）P 点的坐标为（3,0）或（2 3,0）2例 3 已知关于 x 的二次函数y=x2 mx+m21与 y=x22图像中的一条与x 轴交于 A,B 两个不同的点（1）试判定哪个二次函数的图像经过A ,B 两点；（2）如 A 点坐标为（ 1,0）,试求 B 点坐标；（3）
10、在（ 2）的条件下,对于经过A,B 两点的二次函数,当x 取何值时, y 的值随 x 值的增大而减小？名师归纳总结 【解答】（ 1）对于关于x 的二次函数y=x2mx+2 m1第 5 页,共 10 页2由于 b24ac=（ m） 4 12 m1=m220 ,2所以此函数的图像与x 轴有两个不同的交点m222故图像经过A, B 两点的二次函数为y=x2mx（2）将 A （ 1,0）代入 y=x2mx2 m22得 1+m2 m2=02整理,得 m22m=0解得 m=0 或 m=2当 m=0 时, y=x21令 y=0 ,得 x2 1=0x1= 1,x 2=1解这个方程,得此时,点 B 的坐标是 B
11、（1,0）当 m=2 时, y=x22x3令 y=0,得 x22x3=0x1=1,x 2=3解这个方程,得此时,点 B 的坐标是 B（3,0）（3）当 m=0 时,二次函数为 y=x 21,此函数的图像开口向上,对称轴为 x=0,所以当 x0 时,函数值 y 随 x 的增大而减小当 m=2 时,二次函数为 y=x 22x 3=（x 1）24,此函数的图像开口向上,对称轴为 x=1 ,所以当 x1 时,函数值 y 随 x 的增大而减小【点评】 此题是一道关于二次函数与方程、不等式有关学问的综合题,但它仍旧是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系,抓住问题的实质,敏捷运用所学学问,这类综合题并
12、不难解决课堂习题一、填空题名师归纳总结 1右图是二次函数y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n 的图像,第 6 页,共 10 页观看图像写出y2y1 时, x 的取值范畴 _2已知抛物线y=a2+bx+c 经过点 A（ 2,7）, B（6, 7）,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载_C（3, 8）,就该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标是3已知二次函数 y= x 2+2x+c 2 的对称轴和 x 轴相交于点（ m,0）,就 m 的值为 _4如二次函数 y=x 24x+c 的图像与 x 轴只有 1 个交点,就 c=_ 5已知抛物
13、线 y=ax 2+bx+c 经过点（ 1,2）与（ 1,4）,就 a+c 的值是 _6甲,乙两人进行羽毛球竞赛,甲发出一非常关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离 s（m）与其距地面高度 h（m）之间的关系式为 h=1 s 2+2 s+3如下左图所示,12 3 2已知球网 AB 距原点 5m,乙（用线段 CD 表示）扣球的最大高度为 9m,设乙的起跳点4C 的横坐标为 m,如乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,就 m 的取值范畴是 _7 二次函数 y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_8杭州市“ 安居工程” 新建成的一批楼房都是8 层高,房子的价格y（元 /m
14、2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1,2,3,4,5,6,7,8）,已知点（ x,y）都在一个二次函数的图像上（如上右图）,就6 楼房子的价格为_元/m2二、挑选题9二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像如下列图,.就以下关系式不正确选项（）A a0 Ca+b+c0 第 9 题 第 12 题 第 15 题 名师归纳总结 10已知二次函数y=ax2+bx+c 的图像过点A（1,2）,B（3,2）,C（ 5,7）如点 M（第 7 页,共 10 页2,y1）, N（ 1,y2）, K（8,y3）也在二次函数y=ax2+bx+c 的图像上,就以下结论中正确选项（）- - - - - - -精选学
15、习资料 - - - - - - - - - Ay1y 2y 3B y2y 1y 3优秀教案欢迎下载Dy1y 3y2Cy 3y 10）交 x 轴 A ,B 两点,交 y 轴于点 C,抛物线第 8 页,共 10 页的对称轴交x 轴于点 E,点 B 的坐标为（ 1, 0）（ 1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（ 2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判定四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 18如下列图, m,n 是方程 x优秀教案欢迎下载mn ,.抛物线 y=x2+bx+c 的26x+5=0
16、 的两个实数根,且图像经过点 A （m,0）, B（0,n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点,过点 P作 PH x 轴,与抛物线交于点 H,如直线 BC 把 PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分,恳求出点 P 的坐标19某地方案开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道,.其截面是抛物线拱形 ACB ,而且能通过最宽3m,最高 3.5m 的厢式货车按规定,.机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通
17、过的隧名师归纳总结 道,在图纸上以直线AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为y 轴,建立如下列图的直角第 9 页,共 10 页坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB 和拱高 OC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载20已知一个二次函数的图像过如下列图三点（ 1）求抛物线的对称轴；（ 2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为y=25 4,抛物线与A 点坐（ 3）x 轴交于 A,B 两点在抛物线的对称轴上找点P,（ 4）使 BP 的长等于直线L 与 x 轴间的距离求点P 的坐标21如下列图,二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图像与x.轴交于 A,B 两点,其中标为（ 1,0）,点 C（0,5）, D（ 1,8）在抛物线上,（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积M 为抛物线的顶点名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页