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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 微分几何复习题与参考答案一、填空题1极限 lim3 t 21i rt 3 rj k r13 i r8 rj k rt 22设 f rsin i rt rj,g t 21i re t rj,求 lim t 0 rf t g t r 0 3 已知 2r d = 4 r1,2,3,4r d = 6 r2,1,2,ar 2,1,1,b r1, 1,0,就4 r r r 6 r r2 a r t dt+b 2 a r t dt= 3, 9,5 .4已知 r t r a r （ ar 为常向量）,就 r t r ta r c r 5已知 r t r ta
2、r ,（ ar 为常向量）,就 r t r 1t a 2 rc r 26. 最“贴近 ”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的 _ 切线 _和 亲密平面 _. 7. 曲率恒等于零的曲线是 _ 8. 挠率恒等于零的曲线是 _ 直线_ . 平面曲线 _ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线 r rr t r 在 t = 2 处有 v& 3 v,就曲线在 t = 2 处的曲率 k = 3 .11. 如在点 u 0 , v 0 处 ur r r rv 0 r,就 u v 0 为曲面的 _ 正常 _点. r fg dt r26cos 412 已知r f t 2r
3、t jr ln t k,g t r r sin t ir cos t j,t0,就4ddt0z2113曲线r t r 2 , t t3,t e在任意点的切向量为2,3 t2,t e14曲线r r t acosh , sinh , t at在t0点的切向量为0, , a a 15曲线r r t acos , sin , t bt在t0点的切向量为0, ,a b 16设曲线C:xt e,yet,z2 t ,当t1时的切线方程为xeey1e 1e17设曲线xetcost,yt esint,zt e,当t0时的切线方程为x1yz1. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _.
4、19. u曲线（ v曲线）的正交轨线的微分方程是_ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20. 在欧拉公式nkk 1cos2k 2sin2中,是方向d 与 u曲线的夹角 . K0.21. 曲面的三个基本形式,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2H22已知 r , ruv uv uv,其中ut2,vsinr t ,就drdt2 tcos ,2tcos ,2vtucos t r 23已知 r, acoscos ,2t ,就acos sin ,asin,其中t ,1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - r dr, asi
5、ncos2 atcos sin ,r r uasinsin2atcos cos ,acosr r:Gr G rdt 24设r rr r u v , 为曲面的参数表示, 假如r r vr 0,就称参数曲面是正就的； 假如是 一一对应的,就称曲面是简洁曲面25 假如 u 曲线族和 v 曲线族到处不相切,就称相应的坐标网为 正规坐标网26 平面 r , r u v , ,0 的第一基本形式为 d u 2d v ,面积微元为 d d 2u v 27 悬链面 r , r cosh cos ,cosh sin , v u 第一基本量是 E cosh 2u,F 0, G cosh 2u228 曲面 z ax
6、y 上坐标曲线 x x ,y y 的交角的余弦值是 2 a x y2 02 2 .1 a x 0 1 a y 0 29 正螺面 r u v r , u cos , v u sin , v bv 的第一基本形式是 d u 2 u 2b 2d v 230 双曲抛物面 r , r a u v , b u v , 2 uv 的第一基本形式是2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 4 v d u 2 a b 4 uv d d u v a b 4 u d v 31 正螺面 r u v r , u cos , v u sin , v bv 的平均曲率为 0 2 232 方向 d d : d v 是渐
7、近方向的充要条件是 k n 0 或 Ldu 2 Mdudv Ndv 033. 方向 d d : d v 和 : v共轭的充要条件是II dr r r r 0 或 Lduu M duv dvu Ndvv 0E L F M34. 是主曲率的充要条件是 0F M G N2 2dv dudv duE u F v L u M v35.d d : d v是主方向的充要条件是 0 或 E F G 0F u G v M u N vL M N36. 依据罗德里格斯定理,假如方向 d d u :d v 是主方向,就dn r k dr r,其中 k n 是沿方向 d 的法曲率 37 旋转曲面中的微小曲面是平面 或悬
8、链面38 测地曲率的几何意义是曲面 S上的曲线在 P 点的测地曲率的肯定值等于 C 在 P 点的切平面 上的正投影曲线 C* 的曲率2 2 239k k g , k 之间的关系是 k k g k n40 假如曲面上存在直线,就此直线的测地曲率为 0 41 正交网时测地线的方程为2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - d=2EvGcosG uEsindsE2 Gdu = dscos E直线 . dv= dssin G C 上任一点在其切平面的正投影曲线是42曲线是曲面的测地线,曲线二、单项挑选题1已知r t r e t
9、 e tt,就 r 0 r为（ A ）1,0, 1 .e ar. A. 1,0,1 ； B. 1,0,1 ； C. 0,1,1 ； D. 2已知r r t r r t ,为常数,就r t r 为（ C ）A. tar； B. 其中 ar为常向量ar； C. e ar； D. 3. 曲线 C是一般螺线,以下命题不正确选项（D ）A切线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直；B副法线与固定方向成固定角；D副法线与固定方向垂直4. 曲面在每一点处的主方向（A ）. C ）A至少有两个；B只有一个；C只有两个；D可能没有 .5球面上的大圆不行能是球面上的（D ）A测地线；r 6. 已知 r , B
10、曲率线；x y xy,求 drr 1,2C法截线；D渐近线 . 为（ D ）A. d ,d ,dx2d y ； B. d xd ,dxd ,0；C. d -d ,d +d ,0； D. d ,d ,2dxd y . 7圆柱螺线r rcos ,sin , t t的切线与 z 轴（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角； D. 有固定夹角4 3r s r ,s 为自然参数,r , r是曲线的基本向量表达错误选项（8设平面曲线C r rA. r 为单位向量； B. rr&； C. r&kr； D. r &krr. 9直线的曲率为（ B ）A. -1 ； B. 0； C. 110关于
11、平面曲线的曲率 C r r； D. 2. r s r 不正确选项（ D ）A. k s r& ； B. k s & ,为r 的旋转角；k s k s | | r&. r&； D. C. 11对于曲线,“ 曲率恒等于 0” 是“ 曲线是直线” 的（ D ）3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件 . 12以下论述不正确选项（ D ）A. r , r, r 均为单位向量； B. r r； C. r r ； D. r P r. 13对
12、于空间曲线 C ,“ 挠率为零” 是“ 曲线是直线” 的（B ）A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件 . 14x a t sin t , y a 1 cos t , z 4 a sin t 在点 t 的切线与 z 轴关系为（ D ）2 2A. 垂直；B. 平行； C. 成 的角；D. 成 的角. 3 42 2 2x y z15椭球面 2 2 2 1 的参数表示为（ C ）a b cA. x y z cos cos ,cos sin ,sin；B. x y z a cos cos , cos sin ,sin；C. x y z a cos cos
13、 , cos sin , sin；D. x y z a cos cos , sin cos , sin 2 . 16曲面 r u v r , 2 u v u 2v 2, u 3v 3 在点 M 3,5,7 的切平面方程为（ B ）A. 21 x 3 y 5 z 20 0； B. 18 x 3 y 4 z 41 0；C. 7 x 5 y 6 z 18 0； D. 18 x 5 y 3 z 16 0 . 17球面 r u v r , R cos cos , v R cos sin , v R sin u 的第一基本形式为（ D ）A. R 2d u 2sin 2u v 2； B. R 2d u 2
14、cosh 2u v 2；2 2 2 2 2 2 2 2C. R d u sinh u v ； D. R d u cos u v . 18正圆柱面 r u v r , R cos , v R sin , v u 的第一基本形式为（ C ）2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A. d u d v ； B. d u d v ； C d u R d v ； D. d u R d v . 19在第一基本形式为 I d ,d d u 2sinh 2u v 2 的曲面上,方程为 u v v 1 v v 2 的曲线段的弧长为（ B ）Acoshv 2coshv ； Bsinhv 2sinhv ； B ）Cc
15、oshv 1coshv ； Dsinhv 1sinhv 20设 M 为正就曲面,就 M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（M0AE0； BF0； CG0； D21高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）平面A微小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D22曲面上直线（假如存在）的测地曲率等于（ A ） 3 A 0 ； B 1； C 2 ； D4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 23当参数曲线构成正交网时,参数曲线u- 曲线的测地曲率为（ B ） A 21ElnE； B 21lnE； D 圆柱螺线uGvC21ElnG
16、； D 21lnEvGu24假如测地线同时为渐近线,就它必为（ A ） A 直线；B 平面曲线； C 抛物线；三、判定题（正确打,错误打 ）1. 向量函数r rr r t 具有固定长度,就r t r r t r .2. 向量函数r rr r t 具有固定方向,就r t r P r t r .3. 向量函数r r t 关于 t 的旋转速度等于其微商的模r t r .4. 曲线的曲率、挠率都为常数,就曲线是圆柱螺线 . 5. 如曲线r r的曲率、挠率都为非零常数,就曲线是圆柱螺线 . 6. 圆柱面Rcos ,Rsin, ,z线是渐近线 . . 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形
17、式成比例8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 9. 等距变换肯定是保角变换. 10. 保角变换肯定是等距变换 . 11. 空间曲线的位置和外形由曲率与挠率唯独确定 . 12. 在光滑曲线的正常点处,切线存在但不唯独13. 如曲线的全部切线都经过定点,就该曲线肯定是直线14. 在曲面的非脐点处,有且仅有两个主方向15. 高斯曲率与其次基本形式有关,不是内蕴量16. 曲面上的直线肯定是测地线17. 微分方程 A u v du B , u v dv 0 表示曲面上曲线族 . 2 218. 二阶微分方程 A u v du 2 , B u v dudv C u v dv 0
18、总表示曲面上两族曲线 . 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0,这里 F 是第一基本量 . 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面 . 21. 连接曲面上两点的全部曲线段中,测地线肯定是最短的 .22. 球面上的圆肯定是测地线 .23. 球面上经线肯定是测地线 .24. 测地曲率是曲面的内蕴量 . 四、运算题1求旋轮线xatsint,ya 1cost的0t2一段的弧长t,就在0t2一解旋轮线r t r r t r aacos , sina tsin , 1 cos 的切向量为5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - -
19、 - - 段的弧长为：s2rr t d t22a1cos d t t8a0 02求曲线 x t sin t , y t cos t , z te t 在原点的切向量、主法向量、副法向量解 由题意知 r t r sin t t cos ,cos t t sin , t e t te t,r r 2cos t t sin , 2sin t t cos ,2 e tte t,在原点,有 r r 0 0,1,1, r r 0 2,0,2,又 r r rr , r r rr r rr rr r rr r r r r,r r rr r rr,r r r r r r所以有 r0, 2, 2, r 6, 6,
20、 6, r 3, 3, 3 . 2 2 3 6 6 3 3 33圆柱螺线为 r t r a cos , t a sin , t bt,求基本向量 r , r, r ；求曲率 k 和挠率 . 解 r t r a sin , t a cos , t b,r r a cos , a sin ,0,又由公式 r r rr , r r rr rr r rr r rr r r r r, r r rr r rrr r r r r rr 1 r r 12 2 a sin , t a cos , t b , cos , sin ,0 , 2 2 b sin , b cos , t aa b a b由一般参数的曲
21、率公式 k t r rr r3 r及挠率公式 r rr , r rr , r r2 r r r有 k 2 a2,2 b2 . a b a b4求正螺面 r u v r , u cos , sin , v bv 的切平面和法线方程解 ur r cos ,sin ,0,vr ru sin , cos , v b,切平面方程为x u cos v y u sin v z bvcos v sin v 0 0,u sin v u cos v bb sin v x b cos u y uz buv 0,法线方程为 x u cos v y u sin v z bvb sin v b cos v u5求球面 r
22、 r , a cos cos , cos sin , a sin 上任一点处的切平面与法线方程解 r r a sin cos , a sin sin , cos,r r a cos sin , a cos cos ,0,e r1 e r2 e r3r r r r a sin cos a sin sin a cosa cos sin a cos cos 06 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - a2 coscoscos ,cos sin ,sin球面上任意点的切平面方程为xacos cos ,yacos sin ,za
23、sina2coscos cos , cos sin , sin0,即 coscosxcossinysinza0,法线方程为xacoscos ,yacossin,zasina2coscoscos ,cossin ,sin,即xacoscosyacossinzasincoscoscossinsin6求圆柱螺线xacos , t yasin , t zt 在点 ,0,0处的亲密平面 .解r t r asin , t acos ,1,r r acos ,asin ,0,所以曲线在原点的亲密平面的方程为xay0z00,1,2ay,b2dv2asintacost1=0,acostasint0即 sin t
24、 xcos t yazasint0.7求旋转抛物面za x2y2的第一基本形式解参数表示为r x y r , x y a x22 y,xr r1,0,2ax,yr rEr rxr r x12 4 a x2,Fr r xr r y2 4 a xy,Gr r yr r y12 24 a y,d u2u2Id ,d 142 a x2dx282 a xy x y142 a y2dy28求正螺面r u v r , ucos , sin , v bv的第一基本形式解ur rcos ,sin ,0,vr rusin , cos , v b,Er r ur r u1,Fr r ur r v0,Gr rvr r
25、vu2b2,Id ,d 9运算正螺面r u v r , ucos , sin , v bv的第一、其次基本量,解r urcos ,sin ,0,r vrusin , cos , v b,rr uu0,0,0,r ruvsin ,cos ,0,r rvvucos ,usin ,0r r ur r vr ivr jvr kbsin ,bcos , v u,cossin0usinvucosvbn rr r ur rur r vr rv1bsin ,bcos , v u,r rvr rvu2b2,F2 br r ur r vu20,Er r ur r u,GLr r uur n0,Mr r uvr n
26、b2bu2,Nr r vvr n07 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10运算抛物面zx22 y 的高斯曲率和平均曲率解 设抛物面的参数表示为r x y r , x y x 2y2,就,rr yyy20 0 2, ,r xr1,0,2x,yr r0,1,2y,rr xx0,0,2,r rxyr ryx0,0,0r r xr r yr ir jr k2 , 2 ,1,102x4x221,012yr n|r r xr r xr rr ry|42 ,2 ,11,x24y2yEr rxr r x14x2,Fr r xr
27、r y4xy,Gr r yr r y142 y,Lr r xxr n4x22y21,Mr rxyn r0,Nr r yyr n44KLNM214x24y2210xy24x24212,4EGF242 x14y44yH1GL2FM2EN42 x42 y22EGF4x24y231 211. 运算正螺面r u v r , ucos , sin , v av的高斯曲率 . 解 直接运算知E1,F0,Gu22 a ,L0,Muaa2,N0,2y,t2z2x2KLNM2u2a222EGF2a2z12. 求曲面z2 xy 的渐近线 . 解z2 xy ,就pzy2,qz2xy,r2z0,sxyx2x yy2所以
28、, L=0,M12y42 x y2,N1y2x42 x y24 y40,渐近线微分方程为14y42 x y2dxdy1y2 x42 x y22 dy4 y4化简得dy2ydxxdy0,dy0 或2ydxxdy0渐近线为 y=C1,x 2y=C2 13. 求螺旋面r rvucos , sin , v bv上的曲率线 . 解r r ucos,sin v,0,r r vu sin v, u cos v, b8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - Er 2r u1,Fr r ur r v0,Gr 2r vu22 b ,r n
29、r r urr ur r vrr vbsin v, bcos v,ubsin v, bcos v,u,L0,Mu2b2 b, N0bsin v, bcos v,ub 2u2r rr = 0,0,0 , r =r sin v,cos v,0 , r vvucos v, usin v,0曲率线的微分方程为 : dv2dudvudu2或dvu21b2du102b =0 20b0u22 b积分得两族曲率线方程 : vlnuu2b 2c 1 和vlnu 2b 2uc .212 dv 2. 14. 求马鞍面r r , , u v u2v2在原点处沿任意方向的法曲率. 解r r u1,0, 2 ,r r v
30、0,1,2 v ,Er ru214u2,Fr r r rv4uv G14 v214 u2du28 uvdudv14v2dv2n rr r urr ur r vrr v2u,2v,11,4u24v2Lr r n r uu4u2221,Mr rg uv0,Nn r r rg vv4u22214v4v1424v2du2124v2dv2,k =124v（2du1 4u2 24u du2u24 u22 4v dv8uvdudv15. 求抛物面za x2y2在0,0点的主曲率 . 解 曲面方程即rrx y a x2y2,r rx1,0, 2ax ,r ry0,1, 2ay ,E0,0=1,F0,0=0,G0,0=1,r r xx0,0, 2 ,r r xy0,0,0,r ryy0,0, 2 a , L0,0=2 , a M0,0=0,N0,0=2a,代入主曲率公式,2a0kN2a0kN0,所以两主曲率分别为k 1k22a . 16. 求曲面r r , , u v u2v2在点1,1的主方向 . 解r ur =1,0 2 , u,vr r = 01,2v,E14 u2,F4uv G14 v29 名师归纳总结 -