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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 59 年1. 求证 21n+4/14n+3 对每个自然数n 都是最简分数；x 的实数解：a A=22. 设 x+ 2x-1+ x- 2x-1=A ,试在以下3 种情形下分别求出bA=1 ；cA=2 ；3. a、b、c 都是实数,已知 cos x 的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程, 使它的根与原先的方程一样；当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x的方程式；4. 试作始终角三角形使其斜边为已知的c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值
2、；5. 在线段 AB 上任意选取一点 M ,在 AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形 AMCD 、MBEF ,这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q,设这两个外接圆又交于 M 、N, a. 求证 AF 、BC 相交于 N 点；（b. 求证 不论点 M 如何选取 直线 MN 都通过肯定点S；c. 当 M 在 A 与 B 之间变动时,求线断 PQ 的中点的轨迹；6. 两个平面 P、Q 交于一线 p,A 为 p 上给定一点, C 为 Q 上给定一点,并且这两点都不在直线 p 上；试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于 CD ）,使得它有一个内切圆,并且顶点B、D 分别落在平面P 和 Q
3、 上；60 年1. 找出全部具有以下性质的三位数N：N 能被 11 整除且N/11 等于 N 的各位数字的平方和；2. 查找使下式成立的实数x： 4x2/1 - 1 + 2x2 = 4 3 A. 并求出等号何时成立；名师归纳总结 3. 解方程cosnx - sinnx = 1, 其中 n 是一个自然数；第 1 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. P 是三角形 ABC 内部一点, PA 交 BC 于 D,PB 交 AC 于 E,PC 交 AB 于 F,求证 AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2,也至少有一个不小
4、于2；5. 作三角形 ABC 使得 AC=b, AB=c ,锐角 AMB = a,其中 M 是线断 BC 的中点；求证这个三角形存在的充要条件是 b tana/2 = c 1/2.3. 正方体 ABCDABCD （ABCD 、ABCD 分别是上下底） ；一点 x 沿着正方形 ABCD 的边界以方向 ABCDA 作匀速运动；一点 Y 以同样的速度沿着正方形 BCCB 的边界以方向BCCBB 运动；点 X、 Y 在同一时刻分别从点 A、B开头运动；求线断 XY 的中点的轨迹；4. 解方程 cos2x + cos22x + cos23x = 1 ；5. 在圆 K 上有三个不同的点A 、B、C；试在
5、K 上再作出一点D 使得这四点所形成的四边形有一个内切圆；6. 一个等腰三角形,设R 为其外接圆半径,内切圆半径为r,求证这两个圆的圆心的距离是RR-2r；7. 求证：正四周体有 5 个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来,假如一个四周体有 5 个这样的球,就它必定是正四周体；63 年第 5 届1. 找出以下方程的全部实数根（其中 p 是实参数）： x2-p+2 x2-1 = x. 2. 给定一点 A 及线断 BC,设空间中一点 P 使得存在线段 BC 上有一点 X 满意 角 APX 是直角,试求出全部这样的点 P 的轨迹；3. 在一个 n 边形中,全部内角都相等,边长依次是 a
6、1 = a2 = . = an ,求证：全部边长都相等；名师归纳总结 4. 设 y 是一个参数,试找出方程组xi + xi+2 = y xi+1 i = 1, . , 5的全部解x1, . , x5 ；第 2 页,共 24 页5. 求证cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 五个同学 A、B、C、D、E 参与竞赛,一种推测说竞赛结果的名次依旧是 ABCDE ；但是实际上没有一位同学的名次被猜中,而且推测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如, C、D 两位同学名次不是 1,2
7、、2,3、3,4、4,5中的任何一种） ；仍有一种推测说结果会是 DAECB的次序；实际上是恰好有两个同学所得的名次与推测的一样；而且有两对同学（4 个不同的同学）的名次像推测中的一样是相连；试争论最终的名次如何？64 年第 6 届1. a 求全部正整数n 使得 2n - 1 能被 7 整除；b 求证不存在正整数n 使得2n + 1 能被 7 整除；2. 假设 a、b、c 是某三角形的三边长, 求证： a2b + c - a + b2c + a - b + c2a + b - c 2 个点,任何两点之间都有线断相连,这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径,求证：长度为直径的线断至多有 n
8、 条；66 年第 8 届1. 在一次数学竞赛中共有A 、B、 C 三道题, 25 名参赛者每人至少答对了一题；在全部没有答对 A 的同学中,答对B 的人数是答对C 的人数的两倍,只答对问题A 的人数比既答对A 又至少答对其他一题的人数多1；又已知在全部恰好答对一题的参赛者中,有一半没有答对 A ；请问有多少同学只答对 B？2. 三角形 ABC ,假如, BC + AC = tan C/2 BC tan A + AC tan B.就该三角形为等腰三角形；3. 求证：从正四周体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距 离之和；4. 对任何自然数n 以及满意sin 2nx 不为0
9、 的实数 x,求证： 1/sin 2x + 1/sin 4x + . + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx. 5. ai （i=1,2,3,4 ）是互不相同的实数,解方程组（a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1 ；i=1,2,3,4） |ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - 6. 在三角形 ABC 的边 BC、CA 、AB 上分别任选三内点 K、L、M ,求证三角形 AML 、BKM 、CLK 之中至少有一个的面积小于活等于三角形 ABC 的四分之一；67 年第 9 届1. 平行四边形 ABCD ,边长 AB = a, AD
10、= 1, 角 BAD = A, 已知三角形 ABD 是一个锐角三角形,求证以 A,B,C,D 为圆心半径为 1 的四个圆能够掩盖此平行四边形的充要条件是 a cos A + 3 sin A. 2. 如四周体有且仅有一边大于 1,求证其体积 1/8. 3. k, m, n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数,令 cs = ss+1 ,求证 cm+1 - ckcm+2 - ck . cm+n - ck 可被乘积 c1c2 . cn 整除；4. 任意两个锐角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 ；考虑全部与三角形 A1B1C1 相像且外接于三角形 A0B0C0 的全部三角
11、形 ABC （即 BC 边包含 A0,CA 边包含 B0,AB 边包含 C0）,试构造出满意此条件的面积最大的三角形 ABC ；5. a1, . , a8 是不全为 0 的实数,令 cn = a1n + a2n + . + a8n n = 1, 2, 3, . ,假如数列 cn 名师归纳总结 中有无穷多项等于0,试求出全部使cn0 的自然数 n；第 4 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 在一次运动会中,连续n 天内（ n1）一共颁发了m 块奖牌；在第一天,颁发了一块奖牌以及剩下m-1 个中的1/7；在其次天颁发了两块奖牌以及剩下的
12、1/7；依此类推；在最终一天即第n 天,剩下的n 块奖牌全部颁发完毕；问该运动会共进行了几天,一共颁发了多少块奖牌？68 年第 10 届1. 求证有且仅有一个三角形,它的边长为连续整数,有一个角是另外一个角的两倍；2. 试找出全部的正整数 n,其各位数的乘积等于 n2 - 10n - 22；3. a, b, c 是不全为 0 的实数； x1, x2, . , xn 是满意下述方程组的未知数： axi2 + bxi + c = xi+1, 对于 i=1,2,.,n-1 ； axn2 + bxn + c = x1 ；如设 M= b - 12 - 4ac ,求证： a. 如M0 ,就方程组不止有一个
13、解；4. 求证任何四周体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边；5. 令 f 是定义在全部实数并取值实数的函数,并且对于某个a0 及任何x0 有 fx + a = 1/2 + fx-fx2 求证 f 是周期函数,并且当a=1 时请给出一个特别值函数的例子；6. 对任何自然数 n,试运算下式的值 n+1/2 + n+2/4 + n+4/8 + . + n+2k/2k+1 + . 其中 x 表示不超过 x 的最大整数；69 年1. 对任意正整数 n,求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数；2. 令 fx = cosa1 + x + 1/2 cosa2 + x +
14、 1/4 cosa3 + x + . + 1/2n-1 cosan + x, 其中 ai 是实数常量, x 是实数变量；现已知 fx1 = fx2 = 0 ,求证 x1 - x2 是 的整数倍；3. 对每一个 k = 1, 2, 3, 4, 5 ,试找出 a0 应满意的充要条件使得存在一个四周体,其中 k个边长均为 a,其余 6-k 个边的长度均为 1；4. 以 AB 为直径的半圆弧,C 是其上不同于 A 、B 的一点, D 是 C 向 AB 作垂线的垂足；K1 是三角形 ABC 的内切圆,圆 K2 与 CD 、DA 以及半圆都相切,圆 K3 与 CD、 DB 及半圆相切；求证：圆 K1、 K
15、2 、 K3 除 AB 外仍有一条公切线；5. 平面上已给定了 n4 个点,无三点共线；求证至少有 n-3n-4/2 个凸四边形,其顶点都是已给点集中的点；6. 给定实数 x1, x2, y1, y2, z1, z2, 满意x1 0, x2 0, x1y1 z12, x2y2 z22 ,求证：8 1 +1 x1 + x2y1 + y2 - z1 + z22x1y1 - z12x2y2 - z22并给出等号成立的充分必要条件；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 70 年第 12 届1. M 是三角形 ABC 的边 AB
16、 上的任何一点,r、r1、r2 分别是三角形 ABC 、AMC 、BMC的内切圆的半径,q 是 AB 外旁切圆的半径 （即与 AB 边相切, 与 CA 、CB 的延长线上相切的圆）,类似的,q1、q2 分别是 AC 、BC 外旁切圆的圆心；求证：r1r2q = rq1q2 ；2. 已知 0 xi 0, xn-1 0 ；假如ab,xnxn-1.x0 是数 A 在 a进制下的表示、也是 B 在 b 进制下的表示,就 xn-1xn-2.x0 表示了 A在 a 进制下的表示、B在 b 进制下的表示；求证：ABAB ；3. 实数 a0, a1, a2, .满意 1 = a0 = a1 = a2 = .
17、,并定义 bn = 1 - ak-1/ak/ ak 其中求和是 k 从 1 到 n；a. 求证 0 bn2； b. 设 c 满意 0c c 成立；4. 试找出全部的正整数 n 使得集合 n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5 可被分拆成两个子集合,每个子集合的元素的乘积相等；5. 四周体 ABCD ,角 BDC 是直角,D 向平面 ABC 作垂线的垂足恰好是三角形 ABC 的垂心；求证：AB + BC + CA2 6AD2 + BD2 + CD2. 并问何时等号成立？6. 平面上给定 100 个点,无三点共线,求证：这些点构成的三角形中至多 70% 是锐角三角形；71 年第 13
18、 届1. 令 En = a1 - a2a1 - a3 . a1 - an + a2 - a1a2 - a3 . a2 - an + . + an - a1an - a2 . an - an-1. 求证 En = 0 对于 n=3 或 5 成立,而对于其他自然数 n2 不成立；2. 凸多边形 P1 的顶点是 A1, A2, . , A9 ,如将顶点 A1 平移至 Ai 时就 P1 平移成了多边形 Pi ,求证 P1, P2, . , P9 之中至少有两个具有一共同内点；3. 求证能够找到一个由形式 互质；2n - 3 （n 是正整数）的整数构成的集合并满意任何两个元素4. 四周体 ABCD 的全
19、部面都是锐角三角形,在线段AB 上取一内点X,现在 BC 上取内点Y,CD 上取内点 Z,AD 上内点 T；求证： a. 假如 DAB+ BCD CDA+ ABC ,就没有一条闭路径XYZTX具有最小值；b. 假如 DAB+ BCD CDA+ ABC ,就有无穷多最短路径XYZTX ,它们的长度是2AC sink/2 ,其中 k=BAC+ CAD+DAB ；名师归纳总结 5. 对任何自然数m ,求证存在平面上一有限点集S,满意：对S 中的每一个点A,存在第 6 页,共 24 页S 中的恰好m 个点与A 的距离为单位长；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
20、6. 设 A = aij, 其中i, j = 1, 2, . , n ,是一个方阵,元素aij 都是非负整数；如i、j 使得 aij = 0,就第 i 行和第 j 列的元素之和大于或等于n；求证：该方阵中全部元素之和大于或等于 n2/2；72 年第 14 届1.有十个互不相同的二位数,求证必可从中选出两个不相交的子集,使得这两个子集中的元素之和相等；2. 设 n4, 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 3. m,n 是任意非负整数,求证下式是一整数；2m.2n. m.n.m+n.4. 试找出下述方程组的全部正实数解： x12 - x3x5x22 - x3x5 = 0 x22 - x4x1x32
21、 - x4x1 = 0 x32 - x5x2x42 - x5x2 = 0 x42 - x1x3x52 - x1x3 = 0 x52 - x2x4x12 - x2x4 = 0 n 个圆内接四边形；5. f、g 都是定义在实数上并取值实数的函数,并且满意方程fx + y + fx - y = 2fxgy,又已知f 不恒等于 0 且 |fx| = 1 ；求证对全部x 同样有|gx| = 1. P1, P2, . , P2n+1 都是位于通过点2. 问能否在空间中找到一个不共面的有限点集 M 使得,对 M 中的任何两点 A 、B,都可以再在 M 中查找到两点 C、D,而直线 AB 、CD 是不相同的并
22、且是相互平行的；3. 考虑全部这样的实数 a、b 使得方程x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 名师归纳总结 至少有一个实根；试找出a2 + b2 的最小值；第 7 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷,他的扫雷器的半径是三角形高的一半, 士兵从三角形的一个定点动身,样的路径？试问假如要完成任务且使行程最短他应当走什么5. G 是具有下述形式且特别值的函数的集合：fx = ax + b ,其中 a,b,x 都是实数；并且已知 G 具有这些性质：假如 f,g 都属于
23、G,就 fgx = fgx 也属于 G；假如 f 属于 G,就 f-1x = x/a - b/a 也属于 G；对任何 f 属于 G,存在一个实数 xf 使得 fxf = xf 成立；求证：存在实数 M 使得 fM=M 对全部 G 中的函数 f 都成立；6. a1, a2, . , an 是正实数,实数 q 满意 0 q 1,试求出 n 格实数 b1, b2, . , bn 使得：a.ai bi ,i = 1, 2, . , n ；b.q bi+1/bi 1/q , i = 1, 2, . , n-1 ；c.b1 + b2 + . + bn a1 + a2 + . + an1 + q/1 - q
24、. 74 年第 16 届1. 三个玩家玩嬉戏；在三张扑克牌上分别写上一个正整数,并且每张牌上的数都不相同；在每一轮嬉戏中都是随机的把卡片分给这些玩家,然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码；当嬉戏进行时,玩家手上的筹码自然是越来越多；假设嬉戏至少进行了两轮以上；在最后一轮终止时, 第一个玩家有筹码 20 个,其次个玩家有 10 个,第三个玩家有 9 个；又已知在最终一轮嬉戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码；到了中间数量的筹码？试问,在第一轮嬉戏中哪个玩家收2. 三角形 ABC ,求证在边AB 上存在一点D 使得 CD 是 AD 、DB 的几何平均值的充要条件是sin A sin B 0 的整
25、系数多项式,n 是 PX=1 或-1 的不同整根的个数,就有 n = x2 = . = xn, 以及 y1 = y2 = . = yn 都是实数,求证如 z1 ,z2 ,.,zn 是yi 的任意排列就有 xi-yi2 = xi-zi2 上式中左右两边的求和都是 i 从 1 到 n；2. 令 a1 a2 a3 =1 ,存在无穷多个 an 可以写成 an = rai + saj 的形式,其中 r,s 是正实数且 j i ；3. 任意三角形 ABC 的边上,向外作三角形 ABR,BCP ,CAQ ,使角 CBP、角 CAQ 都是 45度,角 BCP、角 ACQ 都是 30 度,角 ABR 、角 BA
26、R 都是 15 度；求证角 QRP 是直角并且QR=RP；4. 令 A 是将 44444444 写成十进制数字时的各位数字之和,令 B 的各位数字之和；B 时 A 的各位数字之和,求5. 判定并证明能否在单位圆上找到 1975 个点使得任意两点间的距离为有理数；6. 找出全部两个变量的多项式 Px, y 使其满意：I. 对某一正整数 n 及全部实数 t、x、 y 有 Ptx, ty = tnPx, y 成立；II. 对全部实数 x、 y、z 有 Py + z, x + Pz + x, y + Px + y, z = 0; III. P1, 0 = 1 ；76 年第 18 届1. 平面上一凸四边
27、形的面积是32,两对边与一对角线之和为16,求另外一个对角线的全部可能的长度；2. 令 P1x = x2 - 2, Pi+1 = P1Pix, i = 1, 2, 3, .,求证对任何一个正整数n,方程式 Pnx = x 的全部根都是互不相同的实数；3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满,假如用体积为2 的正方体来尽量装填,使得每个边都与箱子的边平行,就恰能装满箱子的 40,求全部这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）；4. 试将 1976 分解成一些正整数之和,求这些正整数乘积的最大值,并加以证明；名师归纳总结 5. n 是一个正整数,m = 2n, aij = 0 、1 或 -1 （1
28、= i = n, 1 = j = m ）；仍有 m 个未知数第 9 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1, x2, . , xm 满意下面 n 个方程：ai1x1 + ai2x2 + . + aimxm = 0, 其中 i = 1, 2, . , n；求证这 n 个方程有一组不全为 6. 一个序列 u0, u1, u2, . 0 的整数解（ x1, x2, . , xm ）使得 |xi|2 是一给定整数, Vn 是全部 1+kn 形式的整数构成的集合,其中 k 是正整数,对于 Vn 中的一个数 m,假如不存在 Vn 中的两个数 p、q
29、 使得 m=pq,就称 m 是不行分解的；求证：Vn 中存在一数 r,它可有多于一种的方式表示为 Vn 中不行分解数的乘积； （乘积中如仅仅是因数的次序不同就视为是同一种分解；）4. 定义 fx = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x fx=0 对全部实数 x 都成立,求证 a2 + b2 = 2 且 A2 + B2 ffn 对全部正整1. m、n 都是正整数且 nm；假如 1978m 和 1978n 的十进制表示法的末三位数字相同,试求满意此条件并使 m+n 达到最小的 m 与 n；2. P 是某已知球内部一点,A 、B、C 是球面上三点,
30、且有 PA、PB、PC 相互垂直,由 PA、PB、PC 打算的平行六面体与 P 点对角相向的顶点为 Q,试求出 Q 点的轨迹；3. 两不交集合 f1, f2, f3, . 和g1, g2, g3, . 的并集是全部的正整数,其中 f1 f2 f3 . ,g1 g2 g3 = 1/k；上式中两边的求和都是 k 从 1 到 n；6. 某国际组织共有来自六个国家的共 1978 名会员,会员编号分别是 1,2,.,1978；求证至少有某一会员的编号,恰为与他同国家的另外两位会员编号的和,或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍；79 年1. m,n 是满意下述条件的正整数 求证： m 可被 1979 整除；: m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + . - 1/1318 + 1/1319. 2. 一个棱柱的上底和下底分别是正五边形 A1A2A3A4A5 、B1B2B3B4B5 ；这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj 边都被染上红色或蓝色；又已知每个边都被着色的三角形（其顶点即这个棱柱的顶点）必有两边着不同色,求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色；3. 平面上的两个圆相交,A 是其中一个交点； 现有两质点同时从 A 动身各自以恒定的速度,同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动,在绕过一周之后这两点又同时回到了 A