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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点 第一章 随机大事与概率本章重点：随机大事的概率运算1* 大事的关系及运算1 AB或BA2 和大事 ：AB；A 1A 2LA n（简记为n U i 1A i）3 积大事 ：AB,A 1A 2LA n（简记为A A 2LA n或n I i 1A4 互不相容 ：如大事 A 和 B 不能同时发生,即AB5 对立大事 ：A6 差大事 ：如大事 A 发生且大事B 不发生,记作AB或AB 7 德g 摩根（ De Morgan ）法就 ：对任意大事A 和 B有ABAB, ABAB.2 * 古典概率的定义 古典概型 ：P AA 中所含样本点的个数nA中所
2、含样本点的个数n几何概率P A A 的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）3* 概率的性质名师归纳总结 1 P 0,A n两两互不相容,就有第 1 页,共 10 页2 有限可加性 设 n 个大事A A 2,LP A 1A 2LnA nP A i3P A 1P Ai14 如大事 A,B 满意AB,就有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P BAP BP A,P A P B.n 11P A 1LA n.5 P A 1P B P AB6 加法公式 对于任意两个大事A,B,有P ABP A 对于任意 n 个大事A A 2,L,A n,有P A A
3、 A kLPn U i 1A iinP A i1ij nP A Aj1ij1k n4* 条件概率与乘法公式P A BP AB.P B乘法公式：P ABP A P B AP B P A B.5* 随机大事的相互独立性 大事 A 与 B 相互独立的充分必要条件一：P ABP A P B,大事 A 与 B 相互独立的充分必要条件二：对于任意P A BP A 2, L,n,任意的n 个大事A A 2,L,A n相互独立性定义如下：对任意一个k1i 1Likn,如大事A A 2,L,A n总满意就称大事P A i 1LA i kP A 1LP A i k,A A 2,L,A n相互独立这里实际上包含了2
4、nn1个等式6*贝努里概型与二项概率设在每次试验中,随机大事发生的概率P Ap 0p1,就在 n 次重复独立试验中,大事恰发生k次的概率为p nk,k0,1, L,n,P k npk1k7* 全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如大事A A 2,L,A n两两互不相容,且n U i 1A i,P A i0,i1,2, L,n,就P A k|BP A k P B|A k,k1,2,L,nni1P A P B|A i其次章一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其
5、概率运算概率论主要讨论随机变量的统计规律,也称这个统计规律为随机变量的分布1* 离散型随机变量及其分布律p iP Xa i,i1,2,L, ,L.分布 律也可用以下表格形式表示：Xa 1a2La nnLrPp 1p2LpL2* 概率函数的性质1ip0,i1,2,L, ,L;2i1p i13*常用离散型随机变量的分布名师归纳总结 101 分布B1, ,它的概率函数为i p1p1 i,第 3 页,共 10 页P Xi其中,i0或 1,0p1i p1p n i2二项分布B n p,它的概率函数为P Xini其中,i0,1,2,L,n,0p1*泊松分布P ,它的概率函数为- - - - - - -精选
6、学习资料 - - - - - - - - - P Xiiie,.其中,i0,1,2,L, ,L,04* 二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量X Y的分布可用以下联合概率函数来表示：P Xa Ybjpij,i j1,2,L,p ij0,i j1,2,L,p ij1其中,ij5* 二维离散型随机变量的边缘概率设X Y , 为 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ,ijp为 其 联 合 概 率 （i,j1,2,L）, 称 概 率P Xaii1,2,L为随机变量X的边缘分布律,记为ipg并有p i.P Xa ip i ij1,2,Lj,称概率P Ybjj1,2,L为随机变量Y 的边缘分布率,
7、记为p . j,并有p.j=P Ybjip ij,j1,2, L. 6随机变量的相互独立性设X Y为二维离散型随机变量,X与Y相互独立的充分必要条件为pijp pgj,对一切i j1,2,L.多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论7* 随机变量函数的分布设 X 是一个随机变量,g x 是一个已知函数,Y g X 是随机变量 X 的函数,它也是一个随机变量对离散型随机变量 X,下面来求这个新的随机变量 Y 的分布设离散型随机变量 X 的概率函数为X a 1 a 2 L a n L名师归纳总结 就随机变量函数Yg XrPp 1p2LpnL第 4 页,共 1
8、0 页的概率函数可由下表求得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Yg Xg a 1g a 2Lg anL但要留意, 如g airP1pp 2Lpn同时把对应的概率ip的值中有相等的, 就应把那些相等的值分别合并,相加第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率运算 ,边缘分布和独立性运算1* 分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示,F x P XxX落在任意区间 , 内的概率2分布函数F x 的性质10F x 1;2 lim xF x 0,lim xF x 1;由已知随机变量X的分布函数F x ,可算得P aXb F b
9、 F a 3联合分布函数二维随机变量X Y的联合分布函数P Xx YxF x y , 4联合分布函数的性质10F x y , 1；02F x2,y 1F x 1,y 2F x y 12 lim xF x y , 0,lim yF x y , ,3lim xyF x y , 0,lim xyF x y1；P x 1Xx 2,y 1Yy2F x2,y5* 连续型随机变量及其概率密度名师归纳总结 x设随机变量X的分布函数为F x ,假如存在一个非负函数f x ,使得对于任一实数第 5 页,共 10 页,有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - F x xf x d
10、x成立,就 称 X 为连续型随机变量,函数f x 称为连续型随机变量X的概率密度6* 概率密度f x 及连续型随机变量的性质c0；（）f 0;（）f x dx1；（）F f x ；（4）设X为连续型随机变量,就对任意一个实数c,P X5设f x 是连续型随机变量X的概率密度,就有XbP aXbP aXbP aXbP ab af x dx7* 常用的连续型随机变量的分布其中,1匀称分布R a b , ,它的概率密度为,2abf x b1a,axb ;0,其余 .E ,它的概率密度为指数分布f x ex,x0;其中,300,其余 .N ,2,它的概率密度为正态分布f x 1ex2,x其中,222,
11、0,当0,1时,称N0,1为标准正态分布,它的概率密度为名师归纳总结 标准正态分布的分布函数记作f x 1ex 2,x,第 6 页,共 10 页22,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1et2dt,22当出x0时, 可查表得到；当x0时, 可由下面性质得到设XN ,2,就有x1 F x xa；P aXb b * 二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量X,Y的分布函数F x y , ,假如存在一个二元非负函数f x y , ,使得对于任意一对实数 , x y有xyf s t dtdsF x y , 成立,就X Y为二维连续型随机变量,f x
12、 y为二维连续型随机变量的联合概率密度 * 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质名师归纳总结 Y1 f x y , 0,x y；第 7 页,共 10 页2 f x y dxdy1；3 在f x y的连续点处有2F x y , f , ;x y4 设X Y , 为二维连续型随机变量,就对平面上任一区域D有P X Y , Df x y dxdyD1, * 二维连续型随机变量X Y的边缘概率密度设f x y , 为二维连续型随机变量的联合概率密度,就X的边缘概率密度为fX f x y dy；的边缘概率密度为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Yf f x y
13、 dx11常用的二维连续型随机变量1匀称分布2x12假如X Y在二维平面上某个区域G 上听从匀称分布,就它的联合概率密度为f x y , 1,（x y G;G 的面积0,其余.2 二维正态分布N1,2,2,2,12假如X Y的联合概率密度f x y , 21112exp2112x2122x1y221121就称X Y听从二维正态分布,并记为X Y N1,2,2,2,.12,即二维正假如X Y N1,2,2 1,2 2,就XN1,2 1,YN2,2 2态分布的边缘分布仍是正态分布12* 随机变量的相互独立性0F x y , FX x F Y ,对一切x y,那么,称随机变量X与Y相互独立设X Y为
14、二维连续型随机变量,就X与Y相互独立的充分必要条件为f x y , fX x fY ,在一切连续点上.假如X Y N1,2,2,2,那么,X与Y相互独立的充分必要条件是12第四章随机变量的数字特点本章重点：随机变量的期望；方差的运算1* 数学期望名师归纳总结 设X是离散型的随机变量,其概率函数为p i,i1,2, L,第 8 页,共 10 页就定义XP Xai的 数学期望 为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E Xia pi；设X为连续型随机变量,其概率密度为f x ,就定义X的数学期望 为E Xxf x dx2*随机变量函数的数学期望就设X为离散型随
15、机变量,其概率函数,P Xaip i,i1,2, L,X的函数g X的数学期望为就E g Xg aip ii设X Y为二维离散型随机变量,其联合概率函数P Xa Ybjpij,i j1,2,LX Y的函数g X Y的数学期望为E g X Y , g a b jp ijji；3* 数学期望的性质1 E c c其中 c 为常数 ；为常数 ；.2 E kXbkE Xbk b3 E XYE XE Y ；E X E Y与相互独立,就E XY4 假如X4* 方差与标准差随机变量X的方差定义为D XE XE X2运算方差常用以下公式：名师归纳总结 就D XE X2E X2第 9 页,共 10 页当X为离散型
16、随机变量,其概率函数为,i1,2, L,P Xaip iX的方差为E X2p iD Xaii；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当X为连续型随机变量,其概率密度为f x ,就X的方差为随机变量XD XxE x 2f x dx.的标准差定义为方差D X的算术平方根D X5* 方差的性质1 D c 0c 是常数 ；D XD Y .2 D kX与2 k D Xk为常数 ；3 假如XY独立,就D XY6原点矩与中心矩随机变量X的k阶原点矩定义为E Xk；k ；随机变量X的k阶中心矩定义为EXE X7* 常用分布的数字特点名师归纳总结 1 当X听从二项分布B n p时,第 10 页,共 10 页2 当E Xnp ,D Xnp 1pX听从泊松分布p 时,3 当E X,D X,X听从区间 , 上匀称分布时,4 当E Xa2b,D Xba212X听从参数为的指数分布时,5 当E X1,D X12X听从正态分布N,2时,6 当E X,D X2X Y听从二维正态分布N1,2,12,22,时,E X1,D X2 1；E Y 2,D Y 22；- - - - - - -