《2022年八年级下册勾股定理知识点归纳2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年八年级下册勾股定理知识点归纳2.docx（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 八年级下册勾股定理学问点和典型例习题DEFHGCb一、基础学问点：勾股定理ab内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；AccB表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么a2b2c2bac .勾股定理的证明ac勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法c用拼图的方法验证勾股定理的思路是ba图形通过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理aAbDa常见方法如下：方法一： 4SS 正方形EFGHS 正方形ABCD,化简可证Bcb方法二：四个直角三
2、角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形E ac的 面 积 与 小 正 方 形 面 积 的 和 为S41abc22 abc2大 正 方 形 面 积 为bC2Sab2 a22abb2所以a2b22 c方法三：S 梯形1 2ab ab,S 梯形2SADESABE21ab1c2,化简得证22 .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC 中,C90,就ca22 b,b
3、c2a2,ac2b2知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实际问题 .勾股定理的逆定理假如三角形三边长 a , b , c 满意 a 2 b 2 c ,那么这个三角形是直角三角形,其中 2 c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形 ” 来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和 a 2 b 与较长边的平方 2 c 作比较,如它们相等时,以 2 a ,b , c 为三边的三角形是直角三角形；否就,就不是直角三角形；a定理中 a , b , c 及a2b22 c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,
4、如如三角形三边长a , b , c 满意2c22 b ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b22 c 中, a ,b ,c 为正整数时, 称 a ,b ,c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 , 8,15,17 等- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
5、,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - n21,2 , n n21（n2,n 为正整数）；2 n1,2n22 ,2n22n1（ n 为正整数）；m2n2,2mn m22 n （mn m , n 为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线） .勾股定理逆定理的应用,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一
6、个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决常见图形：A30BCADCBBCABCDAD二、 经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中,C9082 a2 bc2已知AC6,BC8求 AB 的长已知AB17,AC15,求 BC 的长分析：直接应用勾股定理解：ABAC2BC2
7、10BCAB2AC2题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 假如梯子的底端离建筑物 9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析： 这是一道大家熟知的典型的“ 知二求一” 的题；把实物模型转化为数学模型后,. 已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理！依据勾股定理 AC 2+BC 2=AB 2, 即 AC 2+9 2=15 2, 所以 AC 2=144, 所以 AC=12.例题 2 如图（ 8）,水池中离岸边 D点 1.5 米的 C处,直立长着一根芦苇,出水部分 BC的长是 0.5 米,把芦苇拉到岸边,它的顶端 B 恰好落到 D点,并求水池的深度
8、 AC.解析： 同例题 1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知ACD中 , ACD=90 , 在 Rt ACD中,只知道 CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“ 知二求一”的类型；标准解题步骤如下（仅供参考）：- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 如图 2,依据勾股定理,AC 2+CD 2=AD 2设水深 AC= x 米,那么 AD=AB=AC+CB= x+0.5 故水深为 2 米.x2+1.52=（ x+0.5 ）2 解之得 x=2.题型三 ：勾股定理和逆定理并用例题 3 如图
9、3,正方形 ABCD中, E是 BC边上的中点, F 是 AB上一点,且FB1AB那么 DEF是直角三角形4吗？为什么？解析： 这道题把许多条件都隐匿了,乍一看有点摸不着头脑；认真读题会意可以发觉规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由FB1AB可以设 AB=4a,那么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a, 那么在 Rt AFD 、Rt BEF4和 Rt CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判定DEF是否是直角三角形；具体解题步骤如下：解： 设正方形 ABCD的边长为 4a, 就 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a 在 Rt C
10、DE中, DE 2=CD 2+CE 2=4 a2 + 2 a2 2 =20 a2=5a 2+ 20a 2=25a 2=DF 2 同理 EF 2=5a 2, DF2=25a 2 在 DEF中, EF 2+ DE DEF是直角三角形,且DEF=90 . 注：此题利用了四次勾股定理,是把握勾股定理的必练习题；题型四 ：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点 E,将 ADE折叠使点 D恰好落在 BC边上的点 F,求 CE的长 .解析： 解题之前先弄清晰折叠中的不变量；合理设元是关键；解： 依据题意得 Rt ADERt AEF
11、AFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,就 DE=EF=CDCE=8x 在 Rt ABF中由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2,即 8 2+BF 2=10 2, BF=6cm CF=BCBF=106=4cm 在 Rt ECF中由勾股定理可得：EF 2=CE 2+CF 2,即 8 x 2 =x2+4 26416x+x2=2+16 x=3cm, 即 CE=3 cm注：此题接下来仍可以折痕的长度和求重叠部分的面积；题型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和 CD边,他测得- 3 - 名师归纳总结 - - - -
12、 - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证AD边与 CD边是否垂直？解析： 由于实物一般比较大,长度不简单用直尺来便利测量；我们通常截取部分长度来验证；如图 4,矩形 ABCD表示桌面外形,在 AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm想想为什么要设为这两个长度？ ,连结 MN,测量 MN的长度；假如 MN=15,就 AM 2+AN 2=MN 2, 所以 AD边与 AB边垂直；假如 MN=a 15, 就 9 2+12 2=81+144=225, a 2 2
13、25, 即 9 2+12 2a 2,所以 A 不是直角；例题 6 有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离地高4.5 米的墙上,任何东西只要移至 5 米以内,灯就自动打开,一个身高 1.5 米的同学,要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析： 第一要弄清晰人走过去,是头先距离灯 5 米仍是脚先距离灯 5 米,可想而知应当是头先距离灯 5 米；转化为数学模型,如图 6 所示, A点表示掌握灯,BM表示人的高度,BC MN, BCAN当头（ B 点）距离 A有 5 米时,求 BC的长度；已知 AN=4.5 米, 所以 AC=3米,由勾股定理,可运算 BC=4米. 即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开；
14、题型六 ：关于翻折问题如图,矩形纸片ABCD的边 AB=10cm,BC=6cm,E 为 BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点 B 恰好落在 CD边上的点 G 处,求 BE 的长 . 变式：如图, AD 是 ABC的中线, ADC=45 ,把的长 . 三、勾股定理练习题（一）、挑选题ADC 沿直线 AD 翻折,点 C落在点 C 的位置, BC=4,求 BC1、以下各组数中,能构成直角三角形的是（）：5,12,23 A：4,5, 6 B： 1,1,2 C：6,8,11 D2、在 Rt ABC中, C90 , a12,b16,就 c 的长为 A：26 B ： 18 C ：20 D ：21 3、在平面
15、直角坐标系中,已知点P 的坐标是 3,4,就 OP的长为 A：3 B ：4 C ：5 D ：75第 4 页,共 6 页4、在 Rt ABC中, C90 , B45 ,c 10,就 a 的长为 A： 5 B ：10 C ： D： 5、已知 Rt ABC中, C=90 ,如 a+b=14cm,c=10cm,就 Rt ABC的面积是（）D 2 A 、24cmB、36cm2C、48cm2D、60cm26、如等腰三角形的腰长为10,底边长为12,就底边上的高为（）A、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知,如图长方形ABCD中, AB=3cm,AD=9cm,A E C - 4 - B F 第 7 题
16、名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将此长方形折叠,使点B与点 D重合,折痕为EF,就 ABE 9的面积为（） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、 6cm 2 D、12cm2B8、如 ABC中,AB13 cm AC15cm ,高 AD=12,就 BC的长为 A 、14 B、4 C、14 或 4 D、以上都不对C、 如图,正方形网格中的ABC,如小方格边长为1,就 ABC是 （）（A）直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D以上答案都不对10、在一棵树的10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20 米处的池A塘的 A 处；
17、另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线运算,假如两只猴子所经过的距离相等,就这棵树 D 高是（）A、 17 B、14 C 、16 D、 1 5 B （二）、填空题1、如一个三角形的三边满意c2a22 b ,就这个三角形是；100cm,C 第 10 题图A 2、木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm,宽为 60cm,对角线为就这个桌面；（填“ 合格” 或“ 不合格”）3、直角三角形两直角边长分别为3 和 4,就它斜边上的高为_；4、如右图所示的图形中,全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,就正方形A,B,C,D的面积的和为；A D 5
18、、如右图将矩形ABCD沿直线 AE折叠 , 顶点 D恰好落在 BC边上 F 处, 已知 CE=3,AB=8,就 BF=_；6、将一根长为15 的筷子置于底面直径为5 ,高为 12 的圆柱形水杯中,B 第 6 题图F E 设筷子露在杯子外面的长为h ,就 h 的取值范畴是 _；C （三）、解答题1、已知 ABC 的三边分别为 k21,2k,k2+1（k 1）,求证： ABC 是直角三角形 .（9 分）如图,在2、如图,四边形 ABCD中, AB3cm,BC 4cm,CD12cm,DA13cm,且 ABC90 0,求四边形 ABCD的面积；（2 题图）- 5 - 名师归纳总结 - - - - -
19、- -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - A3如图,在Rt ABC中, ACB=90 , CDAB, BC=6, AC=8,DAFDBCE求 AB、CD的长BC（3 题图）（ 4 题图 ）4如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为 8cm, .长 BC.为 10cm当小红折叠时,顶点 D落在 BC边上的点 F处（折痕为 AE）想一想,此时 EC有多长？ . 5如图, A、 B是笔直大路 l 同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是 300m和 500m,两村庄之间的距离为d 已知 d2=400000m 2 ,现要在大路上建一汽车停靠
20、站,使两村到停靠站的距离之和最小；B问最小是多少？Al（5 题图）参考答案：（一） 、A 、 9 、A 10 、D 、（二）、直角三角形、合格、12、 6（三） 、提示：证（k21）2+（2k）2=（ k2+1）522、解：连接AC 在 Rt ABC中, =916=5cm S ABC= AB2BC=324=6cm在 ACD中,S ACD= ACDA =+CD ACD是 Rt2S 四边形 ABCD= S ABC+ S ACD=6+30=36 cm 3、解：在 Rt ABC中, BC=6,AC=8 +CD =25+144=169,DA =13 2=169,2DC=512=30 cm223684ACBC684.8 1000mAB10、解析 : 依据勾股定理可求得BF=6cm,所以 CF=4cm.设 EC=x cm, 就 EF=DE=8-xcm 依据勾股定理,得x2+4 2=8-x2 x=4cm 5、解析 : 依据勾股定理可求得A、B两个村庄的水平距离是600m, 再依据勾股定理可求得最小值是- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页