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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 初高中数学连接教材（ 2）其次讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变 形；在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用；是一种重要的基 本技能；因式分解的方法较多,除了中学课本涉及到的提取公因式法和公式法 平方 差公式和完全平方公式 外,仍有公式法 立方和、立方差公式 、十字相乘法和 分组分解法等等；一、公式法 立方和、立方差公式 在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：a3b 3ab a2abb2【例 1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：1 83 x3 2 ,2 中0.1252
2、 0.1253 27b分析： 1 中,83 0.5 ,27b33 3；说明： 1 在运用立方和 差 公式分解因式时,常常要逆用幂的运算法就,如3 38 a b2ab 3,这里逆用了法就 ab nn na b ；2 在运用立方和 差公式分解因式时,肯定要看准因式中各项的符号；二、分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式；而对于四项以上的多项式,如mambnanb 既没有公式可用,也没有公因式可以提取；因此,可以先将多项式分组处理；这种利用分组来因式分解 的方法叫做分组分解法；分组分解法的关键在于如何分组；1分组后能提取公因式【例 3】把 2ax10ay5
3、bybx 分解因式；分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降名师归纳总结 幂排列,然后从两组分别提出公因式2a 与b,这时另一个因式正好都是x5y ,第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这样可以连续提取公因式；说明：用分组分解法,肯定要想想分组后能否连续完成因式分解,由此合理挑选分组的方法；此题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试；【例 4】把ab c2d2a 2b cd 分解因式；2分析：根据原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式；说明：由例 3、例 4
4、可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了安排律；由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用；2分组后能直接运用公式【例 5】把x22 yaxay分解因式；分析：把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,其中一个因式是 x y ；把第三、四项作为另一组,在提出公因式 a 后,另一个因式也是 x y ；【例 6】把 2 x 24 xy 2 y 28 z 分解因式；2分析：先将系数 2 提出后,得到 x 22 xy y 24 z ,其中前三项作为一组,2它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可连续分解因式
5、；说明：从例 5、例 6 可以看出：假如一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式；三、十字相乘法12 xpq xpq 型的因式分解这类式子在很多问题中常常显现,其特点是：1 二次项系数是 1；2 常数项是两个数之积； 3 一次项系数是常数项的两个因数之和；名师归纳总结 x2pq xpqx2pxqxpqx xp q xpxpxq第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此,2 xpq xpqxp xq运用这个公式,可以把某些二
6、次项系数为【例 7】把以下各式因式分解：1 的二次三项式分解因式； 1 x27x62 x213x36说明：此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号 与一次项系数的符号相同；【例 8】把以下各式因式分解：1 x25x242 x22x15说明：此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中肯定 值较大的因数与一次项系数的符号相同；到：2一般二次三项式ax2bxc型的因式分解大家知道, a xc 1a xc 2a a x2a c 2a c xc c 反过来,就得2 a a x 1 2 a c 1 2a c x 2 1c c 1 2a x 1c 1a x 2c 2成a
7、 1a 2我们发觉,二次项系数 a 分解成a a ,常数项 c 分解成c c ,把a a 2,c c 写c c,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 2a c 2a c ,假如它正好等于ax2bxc 的一次项系数 b ,那么ax2bxc就可以分解成a x 1c 1a x 2c 2,其中a c 位于上一行,1 1a c 位于下一行；2 2这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫 做十字相乘法；必需留意,分解因数及十字相乘都有多种可能情形,所以往往要经过多次 尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解；【例 10】把以下各式因式分解：名师归纳总结 1 12x25x22
8、5 x26xy82 y第 3 页,共 6 页说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 详细分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,如原常数为负 数,用减法” 凑” ,看是否符合一次项系数,否就用加法” 凑” ,先” 凑” 绝 对值,然后调整,添加正、负号；四、其它因式分解的方法 1配方法【例 11】分解因式x26x16说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为 两个平方式,然后用平方差公式分解；当然,此题仍有其它方法,请大家试验；2拆、添项法【例 12】
9、分解因式3 x3x24分析：此多项式明显不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行细查 式中无一次项,假如它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把 一次项系数合并为 0 了,可考虑通过添项或拆项解决；说明：本解法把原常数4 拆成 1 与 3 的和,将多项式分成两组,满意系数对应成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件；此题仍可以将 3x 拆成 2x 2 4 x 2,将多项式分成两组 x 3 x 2 和 4 x 2 4；一般地,把一个多项式因式分解,可以根据以下步骤进行：1 假如多项式各项有公因式,那么先提取公因式；2 假如各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解；3 假如用上述
10、方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法 如十字相 乘法 来分解；名师归纳总结 4 分解因式,必需进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 本章节练习巩固 1、多项式6x2y2xy 24 xyz中各项的公因式是 _； 8 ,2、mxynyxxy_；3、mxy2nyx2xy2_；4、mxyznyzxxyz_；5、mxyzxyzxyz_；6、13ab2x639a3 b2x5分解因式得 _；7运算99299= b2,a3b3的公因式是 _；a22 abb2,a29、用适当方法分解以下式子（1）a2b5a
11、5b（2）3 xx923x23xy2（3）a416（4）3y2x（5）x25x6（6）、4x24x22（7）2y24y6（8）2 xa1xa（9）4m212m9（10）57x6x2（11）12x2xy6y2（12）x2a1xa（13）x2y2a2b22ax2 by（14）a24ab4b26a12b9名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （15）b42 b28（16）x2xy3y3 x（17）2x2xyy24x5y6；10、以下式子可用平方差公式运算的式子是（）A、abba B 、x1 x1C、abab D、x1 x111
12、、以下四个多项式是完全平方式的是（）A、x2xyy2B、x22 xyy2C、4m22mn4n2D、1a2abb2412、如x2mx10xaxb其中 a 、 b 为整数,就 m的值为（）A、 3或 9 B、3 C、9 D、3 或913、已知a1 4 就 aa、 14 C 21 2 a、 8 D 、16 A、12 B14、已知 x2y2=2, xy=1、就 xy 的值为 （）1 B 211 C、1 D、215、如x2axbx2x4就 a, b；16、在多项式（ 1）x27x6（2）x24x3（3）x26x8（4）x27x10,（5）x215x44中,有相同因式的是（）A、只有（ 1）（2） B、只有（ 3）（4）C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）17、分解因式a28 ab33 b2得（）C、a11 ba3 bD、A、a11 a3B、a11 ba3 ba11 ba3 b）ABC 的外形；18、ab28ab20分解因式得（A、ab10ab2 B、ab5ab4C、ab2ab10 D、ab4ab519ABC 三边 a , b , c 满意a2b2c2abbcca ,试判定20如a b都是实数,且ab2122,求a的值名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页