《2022年二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载二 七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答20XX 年 9 月 23 日上午（ 830-11 00）考生留意： 1、本试卷共三大题（15 个小题）,全卷满分150 分2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答3、解题书写不要超出装订线4、不能使用运算器一、挑选题（此题满分36 分,每道题 6 分）的；此题共有 6 小题,每道题均给出 A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确请将正确答案的代表字母填在题后的括号内；每道题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内）,一律得 0 分. 1、a b c 为互
2、不相等的正数,a2ac22 bc ,就以下关系中可能成立的是（）cb；A 、 abc；B 、 bca ；C 、 bac；D 、 a答案： C ；解：如 ab ,就2c2b2c22 bc ,不合条件,排除A D ,又由a22 c2 c bc ,故 ac 与 bc同号, 排除 B ；且当 bac时,a2c22 bc有可能成立,名师归纳总结 例如取a b c3,5,1,应选 C fk1x1ffkxx,k21,2,就第 1 页,共 8 页2 、 设fx1x, 又 记f 1xfx,1xf2007x（）x1；C、 x ；D、；A 、1 1x；B、xx1x答案：B；解：f1x1x,f2x14f111,1x1
3、f1xf3x1f2x1 , 1f4x1f3x, 据 此 ,1,f4n1x,fx1f2x1f31xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f4n3xx1, 1f 4nxx优秀学习资料欢迎下载,因 2007为 4 n3型,应选 B . xx3、设为锐角,xsincos,ysinxcos,z2sincos,sincossincosx ；就x y z的大小次序为（）y ；D 、 zyA 、 xyz；B 、 xzy ；C 、 z答案： A；解：xsincossincos1,ysincossincoscosy,故z2sincos2sincossincossinsinc
4、os2 sincosy. 4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（答应只用其中几种）,使邻区（有公共边的小格）不同色,就不同的涂色方式种数为（） . ABA 、 24 ；B 、 36；C 、 72 ；D 、 84. 答案： D ；解：选两色有2 C 种,一色挑选对角有2 种选法,共计2 C2 412种；选三色有3 C 种,其中一色重复有1 C 种选法,该色挑选对角有2 种选法,另两色选位有2CD种,共计 4 3 2248种；四色全用有 4.24种（因A B C D 为固定位置） ,合计 84种. 5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为6 : 2 ,就其侧面与底
5、面的夹角为名师归纳总结 . PCA 、3；B 、4；C 、6；D 、12 . D答案： A ；解：设底面正方形边长为1,棱锥的高为 h ,侧面三角形的高为l ,就AC2,62h,就sinPMHh3,PMH3. AHMB2ll2第 2 页,共 8 页6、正整数集合A 的最小元素为 1,最大元素为2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为 k 的等差数列,就并集A 17A 59中的元素个数为（）A 、 119B 、120；C、151；D 、 154. 答案： C ；解：用kA 表示集A 的元素个数,设A kn1,由 20071nk ,得n2006,于是k- - - - - - -精选学习资料
6、- - - - - - - - - A 1720061119,A 59优秀学习资料1欢迎下载A 59A 1003200613；200635,A 17175917 59从而A 17A 59A 17A 59A 1003119353151二、填空题（此题满分54 分,每道题 9 分）此题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. tx310 5yy3 31,1 就 0637、如实数,x y满足：1 2x532y01 , 63013xy . 是关于 t 的方程xt31 的两个答案：21010 3533 6 ；解：据条件,10 102 ,356根,即t2xy3 53 6t0的两个根,所以21010 3x
7、y53p63；F,0xy10 210 33 5638、抛物线顶点为 O ,焦点为 F ,M 是抛物线上的动点,就MO MF的最大值为,答案：2 3 3；解：设抛物线方程为y22px ,就顶点及焦点坐标为O0,0 ,2如设点 M 坐标为名师归纳总结 Mx yxx2yx2x2pxpx,x y2p,2p 时取等号）就第 3 页,共 8 页2MO2MFp2y2pxp2423x2x22px3xx22px4 3,1x2p22px2px4444故MO MF2 3（当Mx yp,2p或M39、运算13 . sin100cos100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案
8、： 4 . 解：1030优秀学习资料欢迎下载2sin 30 0100421cos10 03sin10 022sin10cos10sin10 cos10 0 01 20 sin 2010 、 过 直 线 l ：yx9上 的 一 点 P 作 一 个 长 轴 最 短 的 椭 圆 , 使 其 焦 点 为yF2xF 13,0 ,F 23,0,就椭圆的方程为 . 答案：x2y21；解：设直线 l 上的点为P t t9,取F 13,0关于直QP4536O线 l 的对称点Q9,6,据椭圆定义,F 12aPF 1PF 2PQPF 2QF 21222 66 5,当且仅当Q P F2共线,即KPF2KQF2,也即t
9、96时,上述不等式取等号,此时t5,t312点 P 坐 标 为P5,4, 据c3 ,a35 得 ,a245,b236, 椭 圆 的 方 程 为x2y21. 453611、把一个长方体切割成 k 个四周体,就 k 的最小值是 . 答案： 5；解：据等价性,只须考虑单位正方体的切割情形,先说明4 个不够,如为 4 个,因四周体的面皆为三角形,且互不平行, 就正方体的上底至少要切割成两个三角形,下底也D 1B1C 1至少要切割成两个三角形,每个三角形的面积1,且这四个三角形要属于四个不A12同的四周体,以这种三角形为底的四周体,其高1,故四个不同的四周体的体积D之和411121,不合；323ABC所
10、以k5,另一方面,可将单位正方体切割成5个四周体；例如从正方体ABCDA B C D 中间挖出一个四周体A BC D ,剩下四个角上的四周体,合计 5 个四周体 . 名师归纳总结 12、将各位数码不大于3 的全体正整数m 按自小到大的次序排成一个数列a n,12第 4 页,共 8 页就a 2007答案： 133113；解：简称这种数为“ 好数” ,就一位好数有3个；两位好数有 3 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个；三位好数有342优秀学习资料欢迎下载k1,2,记S n3kn14k1,48 个； ,k 位好数有3 4k1个；因 S 5 2007 S
11、 ,2007 S 5 984,即5第 2007个好数为第 984 个六位好数； 而六位好数中, 首位为 1的共有 4 1024 个,前两位为10,11,12,13 的各有 4 4 256 个,因此第 2007个好数的前两位数为 13 ,且是前两位数为13的第 984 3 256 216个数； 而前三位为 130,131,132,133 的各 64 个,就 a 2007 的前三位为 133,且是前三位数为 133的第 216 3 64 24个数；而前四位为 1330,1331,1332,1333 的各 16个,就 a 2007 的前四位为 1331,且是前四位数为1331的第 24 16 8个数
12、；就 a 2007 的前五位为 13311,且是前五位数为 13311的第8 4 4个数,就 a 2007 133113三、解答题（此题满分60 分,每道题 20 分）名师归纳总结 13、数列a n满意：a 11 , 2a n1nnan1；令x kka 1a 21ak,第 5 页,共 8 页1nanyk111 , a kk1,2,；求nkx ya 1a2k111解：改写条件式为n1an11n1,就11na1111nannann1a n1n1an1n2an22a2a 1a 1n12n1,111k1；所以an11,x kik1a iik1n n1ii1k1ykik1iki i1iki2iki1ai
13、111- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k k162k1k k1优秀学习资料欢迎下载k k1k2；23n1x y k1n1k2k21n n122n n12n1EDCMBkk26A333n n1 3 n211 n43614、 如图 ,ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直线 OE 交 AB 于 D ,点M N 分别是BCD 的外心与内心,N如AB2 BC ,证明：DMN 为直角三角形 . O名师归纳总结 证：由于点O M 皆在 BC 的中垂线上,设直线 OM 交 BC 于 P ,交M 于 F ,就CMFBP 是 BC 的中点, F 是 BC
14、的中点 ; 因 N 是BCD 的内心,故D N F 共线,且FPBC . 又OE 是 AC 的中垂线,就 DCDA ,而DF,OE 为BDC 的内、外角平分线,故有ODDF ,就 OF 为M 的直径,所以, OMMF ,又因ENBNF1BDC1DBCNBF ,ADP22就 NFBF . 作 NHBD 于 H ,就有,H第 6 页,共 8 页DH1BDDCBCO21 BD DA BC2所以, Rt NDH1 AB BC2Rt FBP ,故得1 BC2DNBP ,且 NDH 1 BDC FBP ,2BF NF ,因此, MN 是 FOD 的中位线,从而MN OD ,而 ODDN ,就 MNDN .
15、 故DMN 为直角三角形证二：记BCa CDb BDc ,因 DE 是 AC 的中垂线,就ADCDb ,由条件bc2a1延长 DN 交M 于 F ,并记FNe DNx ,就 FBFCFNe,对圆内接四边形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BDCF 用托勒密定理得FC BD优秀学习资料欢迎下载eba xe2 ,FB CDBC DF ,即 ec名师归纳总结 由1 、2 得 2aea xe ,所以 xe ,第 7 页,共 8 页即 N 是弦 DF 的中点,而 M 为外心,所以MNDF ,故DMN 为直角三角形15、如四位数 nabcd 的各位数码a b c
16、d 中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,就称n 为四位三角形数,试求全部四位三角形数的个数解：称a b c d为 n 的数码组,就a b c dM1,2,9；一、当数码组只含一个值,为a a a a,a1,2,9,共得 9 个 n 值；二、当数码组恰含二个值a b, ab 1 、数码组为a a a b 型,就任取三个数码皆可构成三角形,对于每个9a2,9, b 可取a1 个值,就数码组个数为a136,对于每组a a a b ,a2b 有 4 种占位方式,于是这种n 有 36 4144个2 、数码组为a b b b 型, ab ,据构成三角形条件,有ba2 b ,b 的取值1 2 3 4
17、 5 6 7 8 9 b ,2bM 中 a 的个数012343210共得 16个数码组,对于每组a b b b , a 有 4 种占位方式,于是这种n 有 16 464 个3 、数码组为a a b b 型, ab ,据构成三角形条件,有ba2 b ,同上得 16个数码组, 对于每组a a b b ,两个 a 有C26种占位方式, 于是这种 n 有16696 个4以上共计 1446496304 个三、当数码组恰含三个值a b c , abc1 、数码组为a b c c 型,据构成三角形条件,就有cba2 c,这种a b c c有14组,每组中a b 有2 A 412种占位方式,于是这种n 有 1
18、4 12168个2 、数码组为a b b c 型, cbabc ,此条件等价于M1,2,9中取三个不同的数构成三角形的方法数,有34组,每组中a b 有2 A 412种占位方式,于是这种 n 有 34 12408个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 、数码组为a a b c优秀学习资料b欢迎下载2 ,有342 A 4408个 n 值型, cbac ,怜悯形名师归纳总结 以上共计 168408408984 个 n 值acd ,这种a b c d 有 16组,每组有 4.第 8 页,共 8 页四、a b c d 互不相同,就有 dcb个排法,共得 164.384 个 n 值3049843841681个综上,全部四位三角形数n 的个数为 9- - - - - - -